1、工程硕士(GCT)数学-17 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.设 ，C 为三阶矩阵，且满足(B -1AT)C=2E，则 C的第 3列元素为( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.若 a为实数 ，则 a等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则( )（分数：4.00）A.如果 mn，则 0不是 AB的特征值B.如果 mn，则 0是 AB的特征值C.如果 0是 AB的特征值，则 mnD.如果 0不是 AB的特征值，则 mn4.函数 的图像为 C，如下结论中正确的有( )个图
2、像 C关于直线 对称；图像 C关于点 对称；函数 f(x)在区间 内是增函数；由 y=3sin2x的图像向右平移 （分数：4.00）A.B.C.D.5.周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4又 ，则 f(5)为( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.7.若直线 y=kx+1与圆 x2+y2=1相交于 P、Q 两点，且POQ=120(其中 O为原点)，则 k的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A是 3阶方阵，将 A的第 1列与第 2列交换得 B，再把 B的第 2列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C的可逆矩阵 Q为( )（
3、分数：4.00）A.B.C.D.9.两个正整数的最大公约数是 6，最小公倍数是 198，满足条件的数组共有( )组（分数：4.00）A.4B.1C.2D.310.过曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.11.设 ba，将一次函数 y=bx+a与 y=ax+b的图像画在同一平面直角坐标系内，则有一组 a，b 的取值，使得下列 4个图中的一个为正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.12.一袋中装有大小相同，编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取 2次，则取得两个球的编号和不小于 15的概率为( )（分数：4.00）A.B.C.D.13.一工
4、人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做 10个，则提前 （分数：4.00）A.B.C.D.14.A是 mn矩阵，r（分数：4.00）A.=r，B 是 m阶可逆方阵，C 是 m不可逆方阵，且 r(C)r，则( )(A) BAx=0 的基础解系由 n-m个向量组成B.BAx=0的基础解系由 n-r个向量组成C.CAx=0的基础解系由 n-m个向量组成D.CAx=0的基础解系由 n-r个向量组成15.某公司一批货物的 60%用现金售出，25%用支票售出，其他用记账方式赊售，如果支票售出的货款比记账赊出的货款多 4万元，则现金售出的货款为( )（分数：4.00）A.24万元B.20万元C.
5、28万元D.30万元16.f(x)在(-，+)上连续，且满足 则 为( )（分数：4.00）A.B.C.D.17.设 f(x)=|x(1-x)|，则下列正确的为( )（分数：4.00）A.x=0是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点18.某商场进了一批橘子，第一天卖出了 40%，第二天卖出剩下的 50%，第三天比第一天少卖 1/3，这时还剩下 50公斤，则这
6、批橘子共有( )公斤（分数：4.00）A.1600B.1550C.1450D.150019.已知 ，若 (a，b 为正整数)，则 a+b=( )（分数：4.00）A.B.C.D.20.如图 64所示，直角梯形 ABCD的上底是 5cm，下底是 7cm，高是 4cm，且三角形 ADE、ABF 和四边形AECF的面积相等，则三角形 AEF的面积是( )cm 2（分数：4.00）A.B.C.D.21.方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.22.已知数列 an的前 n项和 Sn=n2-9n，第 k项满足 5a k8，则 k=( 。（分数：4.00）A.9B.8C.7D.623.设椭圆 (ab0)的
7、离心率为 （分数：4.00）A.B.C.D.24. （分数：4.00）A.B.C.D.25.设矩阵 ，矩阵 B满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则|B|=( )（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-17 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.设 ，C 为三阶矩阵，且满足(B -1AT)C=2E，则 C的第 3列元素为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据题意 AT=A，B -1AT可逆，则 C=2(B-1AT)-1=2A-1B，故 C的第 3列元素
8、为*，选(A)2.若 a为实数 ，则 a等于( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 显然*，即*，选(B)3.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则( )（分数：4.00）A.如果 mn，则 0不是 AB的特征值B.如果 mn，则 0是 AB的特征值C.如果 0是 AB的特征值，则 mnD.如果 0不是 AB的特征值，则 mn 解析：解析 AB 是 mm矩阵，又 mn，则 AB的秩 r不超过 n，即 rnm，所以 0一定是 AB的特征值，选(D)4.函数 的图像为 C，如下结论中正确的有( )个图像 C关于直线 对称；图像 C关于点 对称；函数 f(x)在区间 内是增函数；由
9、y=3sin2x的图像向右平移 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 f(x)的对称轴是*，即*，正确；中心对称点是*，即*，正确；增区间是*，即*，正确；y=3sin2x 向右平移，得到*，错误，选(C)5.周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4又 ，则 f(5)为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由*知，*是周期函数，则*，选(D)6.设函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *得到 f(x)=e3x(1+3x)，故 f(1)=4e3，选(A)7.若直线 y=kx+1与圆 x2+y2=1相交于 P、Q 两点，且POQ=120(其中 O为
10、原点)，则 k的值为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据题意，圆心 O到直线的距离为*，所以*，解得*选(A)8.设 A是 3阶方阵，将 A的第 1列与第 2列交换得 B，再把 B的第 2列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C的可逆矩阵 Q为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行(列)变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现由题*所以*，从而*，选(D)9.两个正整数的最大公约数是 6，最小公倍数是 198，满足条件的数组共有( )组（分数：4.00）A.4B.1C.2 D.3解析：解析 设这两个数为
11、6a，6b(其中 a、b 互质)，则 6a6b=1986，即 ab=33，得两个数为 6和198或 18和 66，选(C)10.过曲线 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 如图 70所示，阴影部分面积为 SABC -SOAC =0.75，设 A的横坐标为 x0，则切线 AB方程为*，B 的横坐标为-2x 0，则*，即*，解得 x=1，选(B)*11.设 ba，将一次函数 y=bx+a与 y=ax+b的图像画在同一平面直角坐标系内，则有一组 a，b 的取值，使得下列 4个图中的一个为正确的是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 只有 B选项两函数的参数 a，b，其正负
12、、大小与图像一致，选(B)12.一袋中装有大小相同，编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取 2次，则取得两个球的编号和不小于 15的概率为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 只有(7，8)、(8，7)，(8，8)，故概率为*，选(D)13.一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做 10个，则提前 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设每天做 x个零件，一共做 y个零件，则*，解得*选(B)14.A是 mn矩阵，r（分数：4.00）A.=r，B 是 m阶可逆方阵，C 是 m不可逆方阵，且 r(C)r，则(
13、)(A) BAx=0 的基础解系由 n-m个向量组成B.BAx=0的基础解系由 n-r个向量组成 C.CAx=0的基础解系由 n-m个向量组成D.CAx=0的基础解系由 n-r个向量组成解析：解析 Ax=0 的基础解析含有 n-r个解向量，又因矩阵 B为可逆方阵，所以 BAx=0与 Ax=0是同解线性方程组，因而(B)正确r(CA)minr(A)，r(C)r，因而 CAx=0得基础解析所含解向量个数大于 n-r由于 C为不可逆矩阵，且 r(C)r，矩阵 A是 mn矩阵，r(A)=r，所以 r(C)m，r(CA)minr(A)，r(C)m，因而 CAx=0的基础解系中所含解向量个数大于 n-m，
14、选(B)15.某公司一批货物的 60%用现金售出，25%用支票售出，其他用记账方式赊售，如果支票售出的货款比记账赊出的货款多 4万元，则现金售出的货款为( )（分数：4.00）A.24万元 B.20万元C.28万元D.30万元解析：解析 设全部货款为 x，则 25%x-(1-60%-25%)x=4，解得 x=40，现金售出的货款为4060%=24万元，选(A)16.f(x)在(-，+)上连续，且满足 则 为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 对*两边求导，得 f(x)=2x3，则*=2x 2，所以*，选(C)17.设 f(x)=|x(1-x)|，则下列正确的为( )（分数：4
15、.00）A.x=0是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论 x=0两侧 f(x)，f“(x)的符号*从而-1x0 时，f(x)凹，1x0 时，f(x)凸，于是(0，0)为拐点又 f(0)=0，x0、1 时，f(x)0，从而 x=0为极小值点所以 x=0是极值点，(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点，选(C)
16、18.某商场进了一批橘子，第一天卖出了 40%，第二天卖出剩下的 50%，第三天比第一天少卖 1/3，这时还剩下 50公斤，则这批橘子共有( )公斤（分数：4.00）A.1600B.1550C.1450D.1500 解析：解析 设这批句子共 x千克，第一天卖出 0.4x，第二天卖出(1-40%)0.5x，第三天卖出*，有*，解得 x=1 500，选(D)19.已知 ，若 (a，b 为正整数)，则 a+b=( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然有规律*当 n=8时，有 b=8，a=63，所以 a+b=71，选(D)20.如图 64所示，直角梯形 ABCD的上底是 5cm，下底
17、是 7cm，高是 4cm，且三角形 ADE、ABF 和四边形AECF的面积相等，则三角形 AEF的面积是( )cm 2（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 显然梯形 ABCD的面积为 24，则 BF=3.2，DE=4，从而 CF=0.8，CE=3 即 SCEF =1.2，即 SAEF=6.8，选(A)21.方程组 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据题意 y=k-x，代入第一个方程并化简得 x2-kx+3-k=0，有实数解，即=k 2-4(3-k)0，解得 k2 或 k-6，选(A)22.已知数列 an的前 n项和 Sn=n2-9n，第 k项满足 5a k8，则 k=
18、( 。（分数：4.00）A.9B.8 C.7D.6解析：解析 此数列是-a 1=-8，d=2 的一个等差数列，故 an=2n-10又 5a k=2k-108，解得7.5k9，所以 k=8，选(B)23.设椭圆 (ab0)的离心率为 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *，选(A)24. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 原式=*=1.25，选(B)25.设矩阵 ，矩阵 B满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则|B|=( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 方法一 利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值ABA*=2BA*+E*ABA*-2BA*=E*(A-2E)BA*=E，所以|A-2E|B|A *|=|E|=1，*选(A)方法二 由 A*=|A|A-1，得ABA*=2BA*+E*AB|A|A-1=2B|A|A-1+AA-1*|A|AB=2|A|B+A*|A|(A-2E)B=A*|A|3|A-2E|B|=|A| 所以*
