1、工程硕士(GCT)数学-26 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.若 ，则 的值( )。（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 是边长为 a 的正方形， 1是以 四边的中点为顶点的正方形， 2是以 1四边的中点为顶点的正方形，则 2的面积与周长分别是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.3.甲、乙两地相距 96km，P，Q 两辆车同时从甲地出发匀速驶往乙地，开车 1h 后，P 车在 Q 车前方 12km处，P 车比 Q 车早 40min 到达乙地，P 车的行车速度是( )km/h。(A) 12 (B) 24 (C)
2、36 (D) 48（分数：4.00）A.B.C.D.4.按一定规律排列的一列数依次为： ，按此规律排列下去，这列数中的第 10 个数是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.5.从 1，2，3，4，5，6 这 6 个数中任取 3 个不同的数，使这 3 个数之和能被 3 整除，则不同的取法有( )种。(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9（分数：4.00）A.B.C.D.6.某课程试卷由 5 道选择题组成，每题所列的 5 个备选项中只有 1 项是正确的，一个没学过该课程的学生参加了这次考试，对每个题目，该考生只能从 5 个备选项中随机选择 1 个备选项，该考生对 4 题以上的概率是(
3、)。(A) 0.0064 (B) 0.00192 (C) 0.4096 (D) 0.7372（分数：4.00）A.B.C.D.7.下列函数中，既是奇函数又在-1，1上单调递减的函数是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 c 为实数，二次方程 x2+x+c=0 有两个复数根 x1和 x2，满足|x 1-x2|=3，则 c=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.9.设(1+x)+(1+x) 2+(1+x)3+(1+x)20=a0+a1x+a2x2+a20x20，则 a1+a2=( )。(A) 210 (B) 231 (C) 1150 (D) 1540（分数：4.00）A.B.C.
4、D.10.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在0，1上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.11.由动点 P 向圆 x2+y2=2 引两条切线 PA，PB，切点分别为 A 和 B，且APB=60，则动点 P 轨迹为( )。(A) 椭圆 (B) 圆 (C)双曲线 (D) 抛物线（分数：4.00）A.B.C.D.12.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.13.下面 4 个点中，在直线 x+y-1=0 上且到点 A(-2，3)的距离等于 的点是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.14.已知双曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.15.已
5、知矩形的长与宽分别为 8cm 和 6cm，则其各边中点连接所得的四边形的周长与面积分别为( )。(A) 20cm，24cm 2 (B) 20cm，36cm 2(C) 14cm，24cm 2 (D) 14cm，36cm 2（分数：4.00）A.B.C.D.16.设函数在(-，+)上可导，则有( )。（分数：4.00）A.B.C.D.17.设函数 f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且 f(x)g(x)-f(x)g(x)0，则当 axb 时有( )。(A) f(x)g(b)f(b)g(x) (B) f(x)g(x)f(a)g(x)(C) f(x)g(x)f(b)g(b) (D) f(x)g(x)
6、f(a)g(a)（分数：4.00）A.B.C.D.18.设 （分数：4.00）A.B.C.D.19.f(x)，g(x)是连续函数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.20.若 f(x)在a，b上具有连续的导数，且 f(a)=f(b)=0，又 ，则 =( )。（分数：4.00）A.B.C.D.21.设在0，+)上 f(x)0，则当 x(0，+)时如下不等式成立的是( )。(A) f(0)xf(0)-f(x)f(x)x (B) f(0)xf(x)-f(0)f(x)x(C) f(x)-f(0)f(0)xf(x)x (D) f(x)xf(0)xf(x)-f(0)（分数：4.00）A.B.C.D.22
7、.在 （分数：4.00）A.B.C.D.23.设 A= （分数：4.00）A.B.C.D.24.设 a1=(1，2，3，1) T，a2=(3，4，7，-1) T，a3=(2，6，a，6) T，a4=(0，1，3，a) T，则 a=8 是a1，a2，a3，a4 线性相关的( )。(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件(C) 必要而非充分条件 (D) 既不充分也不必要条件（分数：4.00）A.B.C.D.25.设 A 是三阶矩阵，|A|=3，2A-I，A-2I 均不可逆，A*是 A 的伴随矩阵，则 A*的 3 个特征值是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-26
8、 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.若 ，则 的值( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 ，所以2.设 是边长为 a 的正方形， 1是以 四边的中点为顶点的正方形， 2是以 1四边的中点为顶点的正方形，则 2的面积与周长分别是( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 如题 2 图所示，设 的边长为 a，则 1的边长为 ， 2的边长为 ， 2的面积为 ， 2的周长为故选(B) 3.甲、乙两地相距 96km，P，Q 两辆车同时从甲地出发匀速驶往乙地，开车 1h 后，P 车在 Q 车前方 12
9、km处，P 车比 Q 车早 40min 到达乙地，P 车的行车速度是( )km/h。(A) 12 (B) 24 (C) 36 (D) 48（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 P 车行车速度为 km/h，Q 车 1h 比 P 车慢 12km，Q 车速度为(-12)km/h，从甲地到乙地，P 车需 ，Q 车需 ，因此4.按一定规律排列的一列数依次为： ，按此规律排列下去，这列数中的第 10 个数是( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 可以写成 ，所以这列数中的第 10 个数是5.从 1，2，3，4，5，6 这 6 个数中任取 3 个不同的数，使这 3 个数之和能被
10、 3 整除，则不同的取法有( )种。(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题讨论取出 3 个数之和的性质，是与 3 个数次序无关的组合问题，因为数目不太大，可以将各种情形逐个列出，例如，首先取 1，然后取 2，第 3 个可以取 3 或 6，然后再依次(从小到大)考虑，列出1，2，3，1，2，6，1，3，5，1，5，6，2，3，4，2，4，6，3，4，5，4，5，6，共 8 种取法，只要按顺序不遗漏即可。故选(C)。6.某课程试卷由 5 道选择题组成，每题所列的 5 个备选项中只有 1 项是正确的，一个没学过该课程的学生参加了这次考试，对
11、每个题目，该考生只能从 5 个备选项中随机选择 1 个备选项，该考生对 4 题以上的概率是( )。(A) 0.0064 (B) 0.00192 (C) 0.4096 (D) 0.7372（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 根据题意，该考生每道题做对的概率都是 0.2，该考生 5 道题全对的概率为 0.25，做对 4道题的概率为 ，所以该考生对 4 题以上的概率是7.下列函数中，既是奇函数又在-1，1上单调递减的函数是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 先考查奇偶性，易见(A) 奇，(B) 非奇非偶，(C) 偶，再看(D) ：所以(A) ，(D) 为奇函数，再考查
12、它们的单调性，f(x)=sinx 在 上单调增，而1.57， ，所以 f(x)在-1，1上单调增，故排除(A)。故选(D)。事实上，若令 ，即8.已知 c 为实数，二次方程 x2+x+c=0 有两个复数根 x1和 x2，满足|x 1-x2|=3，则 c=( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 x1，x 2是二次方程 x2+x+c=0 的一对复根，故 x1=a+i，x 2=a-i，其中 a， 为实数，由根与系数的关系得 x1+x2=-1，即由条件|x 1-x2|=3，得|2i|3，即 ，不妨写成所以9.设(1+x)+(1+x) 2+(1+x)3+(1+x)20=a0+a1x+
13、a2x2+a20x20，则 a1+a2=( )。(A) 210 (B) 231 (C) 1150 (D) 1540（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 所以10.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在0，1上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值是( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 若 a1，函数 ax和 loga(x+1)均为增函数，故 f(x)在0，1上为增函数，若 0a1，f(x)在0，1上为减函数，所以 f(x)在0，1上最大值与最小值之和为f(0)+f(1)=a0+loga1+a+loga2=1+a+loga2，其值为 a，故 1+loga2=0，
14、得 loga2=-1，故11.由动点 P 向圆 x2+y2=2 引两条切线 PA，PB，切点分别为 A 和 B，且APB=60，则动点 P 轨迹为( )。(A) 椭圆 (B) 圆 (C)双曲线 (D) 抛物线（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 如题 11 图所示，圆半径为 ，直角PAO 中 ，APO=30，故 ，即动点 P到原点距离为常数 ，其轨迹为圆 x2+y2=8。故选(B)。12.函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 ，所以13.下面 4 个点中，在直线 x+y-1=0 上且到点 A(-2，3)的距离等于 的点是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.
15、 解析：解析 A 点在直线 x+y-1=0 上，到 A 的距离为 的点在以 A 为中心，半径为14.已知双曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 过点(1，1)的直线，如果斜率不存在，则直线为 x=1，它与 C 有一个公共点，即 C 右支上的顶点(1，0)。过点(1，1)且斜率为 k 的直线方程为 y=k(x-1)+1，将 y 代入 C 的方程，得(4-k2)x2+2(k2-k)x-(k2-2k+5)=0 (*)若 k=2，方程(*)可分别解出一个 x，即有两条符合条件的直线，若 k2，(*)式为二次方程，其判别式=4(k 2-k)2+4(4-k2)(k2-2k+5)=4(-8k
16、+20)当15.已知矩形的长与宽分别为 8cm 和 6cm，则其各边中点连接所得的四边形的周长与面积分别为( )。(A) 20cm，24cm 2 (B) 20cm，36cm 2(C) 14cm，24cm 2 (D) 14cm，36cm 2（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 如题 15 图所示， ，因此所求四边形 A1B1C1D1的周长为 54=20(cm)。A1C1=8cm，B 1D1=6cm，A 1B1C1D1的面积=A 1C1D1的面积2，A 1C1D1的面积 12(cm2)，故四边形A1B1C1D1面积为 24cm2。故选(A)。16.设函数在(-，+)上可导，则有( )。（
17、分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 f(x)在不是分段点处是初等函数，因此，只需讨论在分段点 x=1 处的情形，要使 f(x)在 x=1 处可导，必须使 f(x)在 x=1 处连续，即 f(1)，也就是 ，所以 a=0。要使 f(x)在 x=1 处可导，必须使 f-(1)=f+(1)，而17.设函数 f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且 f(x)g(x)-f(x)g(x)0，则当 axb 时有( )。(A) f(x)g(b)f(b)g(x) (B) f(x)g(x)f(a)g(x)(C) f(x)g(x)f(b)g(b) (D) f(x)g(x)f(a)g(a)（分数：4.00）
18、A. B.C.D.解析：解析 因此， 在a，b内单调下降，于是当 axb 有，有18.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 f(x)=x 3(x-2)，令 f(x)=0，得 x1=0，x 2=2，f(x)在 x1和 x2的两边改变了符号，因此，x1 和 x2都是 f(x)的极值点。故选(C)19.f(x)，g(x)是连续函数，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 ，则 F(a)=F(b)=0，F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，由罗尔定理，至少存在 (a，b)使得 F()=0，而 F(x)=f(x)-g(x)，F()=0，即 F()-g()=0。故选(C
19、) 评注也可用积分中值定理解析本题，因 ，所以20.若 f(x)在a，b上具有连续的导数，且 f(a)=f(b)=0，又 ，则 =( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 21.设在0，+)上 f(x)0，则当 x(0，+)时如下不等式成立的是( )。(A) f(0)xf(0)-f(x)f(x)x (B) f(0)xf(x)-f(0)f(x)x(C) f(x)-f(0)f(0)xf(x)x (D) f(x)xf(0)xf(x)-f(0)（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由拉格朗日中值定理得f(x)-f(0)=f()x，(0，x)又因 f(x)0，所以 f(x)单调递
20、增，所以有 f(0)f()f(x)，因而有f(0)xf(x)-f(0)f(x)x故选(B)22.在 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于在 f(x)的表达式中，与 x2有关的项只有-(x+1) 2(x-1)一项，所以 x2的系数为-(1+1-1)=-1。故选(B)23.设 A= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 为 A 的特征值，有由已知比较上面两式中关于 的同次幂系数得24.设 a1=(1，2，3，1) T，a2=(3，4，7，-1) T，a3=(2，6，a，6) T，a4=(0，1，3，a) T，则 a=8 是a1，a2，a3，a4 线性相关的( )。(A
21、) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件(C) 必要而非充分条件 (D) 既不充分也不必要条件（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 n 个 n 维向量线性相关性的判定一般用行列式|a1,a2,an|=0 较方便。25.设 A 是三阶矩阵，|A|=3，2A-I，A-2I 均不可逆，A*是 A 的伴随矩阵，则 A*的 3 个特征值是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 按定义，如果行列式|I-A|=0，则 是矩阵 A 的特征值，由于 2A-I，A-2I 不可逆，所以有|2A-I|=0，|A-2I|=0，这表明 是 A 的特征值，又由|A|= 1 2 3=3 可知， 3=3 为 A 的特征值，因而 A*的 3 个特征值分别是故选(D)。注意 如果矩阵 A 可逆，设 是 A 的特征值，a 是 A 的属于 a 的特征向量，即 Aa=a，两边左乘 A-1得，A-1Aa=A -1，即 a=A -1a，把 代入，得 ，这表明
