1、工程硕士(GCT)数学-27 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1. （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知关于 x 的一元二次方程 8x2+(m+1)x+m-7=0 有两个负数根，那么实数 m 的取值范围是( )。Am7 Bm7 Cm1 Dm1（分数：4.00）A.B.C.D.3.一元二次方程 x2-x-3=0 的两个根的倒数和等于( )。A3 B-3 C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.不等式 （分数：4.00）A.B.C.D.5.若 x=a2-bc，y=b 2-ac，z=c 2-ab，a，b，c 是不完全
2、相等的任意实数，则 x，y，z( )。A至少有一个大于 0 B都大于 0C至少有一个小于 0 D都不小于 0（分数：4.00）A.B.C.D.6.一批产品共有 100 件，其中 90 件是合格品，10 件是次品，从这批产品中任取 3 件，求其中有次品的概率为( )。A0.7265 B0.24768 C0.2735 D0.7425（分数：4.00）A.B.C.D.7.用数学归纳法证明不等式 的过程中，由“k”推导“k+1”时，不等式左边增加了( )。A BC （分数：4.00）A.B.C.D.8.下列函数中，存在反函数的是( )。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.9.函数 f(x)=s
3、in(x+)cos(x+)(0)以 2 为最小正周期，且在 x=2 处取得最大值，则 的一个值是( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.10.复数 z=l+cos+i sin(2)的模为( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.11.光线经过点 P(2，3)射在直线 x+y+1=0 上，反射后经过点 Q(3，-2)，反射线所在直线的方程是( )。A7x-y-11=0 Bx-7y-17=0 C5x+y-13=0 D7x+5y+13=0（分数：4.00）A.B.C.D.12.设 、b、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题(1)(b)c-(C)b=0(
4、2)|-|b|-b|(3)(bc)-(C)b 不与 c 垂直(4)(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中，是真命题的有( )。A(1)，(2) B(2)，(3) C(3)，(4)D(2)，(4)（分数：4.00）A.B.C.D.13.等腰三角形一腰所在的直线 1的方程是 X-2y=0，底边所在直线 2的方程是 x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，则这腰所在直线 3的方程为( )。A2x-y+4=0B2x+2y-4=0C2x+y+4=0D2x-2y+4=0（分数：4.00）A.B.C.D.14.长方体的全面积为 11，12 条棱长度之和为 24，则该长方体的一条对角线的长度
5、为( )。A B （分数：4.00）A.B.C.D.15.一抛物线以 y 轴为对称轴，且过 点及原点，一直线 经过 点和 点，则直线 被抛物线截得的线段的长度为( )。A2 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.16.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.17.设函数 f(x)在 x=2 点处连续，且 ，则曲线 y=f(x)在点 处切线的斜率为( )。A2 B1 C-1 D （分数：4.00）A.B.C.D.18.设 ，则 I=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.19.设三次多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 （分数：4.00）A.B.C.D.20.设 A 为 4
6、 阶矩阵，且|A|=2，把 A 按列分块为 A=(A1，A 2，A 3，A 4)，其中 Aj(j=1，2，3，4)是 A 的第 j列，则|-A 2，-A 1，A 4，-A 3|=( )。A-2 B2 C1 D0（分数：4.00）A.B.C.D.21.己知 （分数：4.00）A.B.C.D.22.如果 ，那么 （分数：4.00）A.B.C.D.23.设 A，B 为 3 阶矩阵，且满足方程 A-1BA=6A+BA，若 ，则 B=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.24.A 为 mn 矩阵，且 mn，Ax=0 是 Ax=b 的导出组，则下述结论正确的是( )。AAx=b 必有无穷多组解 BAx
7、=0 必有无穷多组解CAx=0 只有零解 DAx=b 必无解（分数：4.00）A.B.C.D.25.齐次线性方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-27 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于2.已知关于 x 的一元二次方程 8x2+(m+1)x+m-7=0 有两个负数根，那么实数 m 的取值范围是( )。Am7 Bm7 Cm1 Dm1（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设方程的两个根为 x1和 x2，则由题意，得3.一元二次方程 x2
8、-x-3=0 的两个根的倒数和等于( )。A3 B-3 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设方程的两个根为 x1，x 2，4.不等式 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 直接对不等式求解显然很麻烦，用“根排序法”会很轻松。对原不等式作同解变形令(x-1)(x-3)(x+5)=0，有 x1=-5，x 2=1，x 3=3，将 x1，x 2，x 3从左到右依小到大进行排序，得5.若 x=a2-bc，y=b 2-ac，z=c 2-ab，a，b，c 是不完全相等的任意实数，则 x，y，z( )。A至少有一个大于 0 B都大于 0C至少有一个小于 0 D都不小于 0（分数
9、：4.00）A. B.C.D.解析：解析 解法一：因为 a，b，c 不全相等，所以有6.一批产品共有 100 件，其中 90 件是合格品，10 件是次品，从这批产品中任取 3 件，求其中有次品的概率为( )。A0.7265 B0.24768 C0.2735 D0.7425（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 A=有次品，A i=有 i 件次品，i=1，2，3，故 A=A1A 2A 3，并且 A1、A 2、A 3是两两互斥的，由概率的古典定义有7.用数学归纳法证明不等式 的过程中，由“k”推导“k+1”时，不等式左边增加了( )。A BC （分数：4.00）A.B. C.D.解析：
10、解析 不等式左边分母从 n+1 连续变化到 2n，共有 n 项，n=k 时，分母从 k+1 变化到 2k；n=k+1时，分母从 k+2 变化到 2k+2，即前面减少一项，后面增加两项，故正确答案为 B。8.下列函数中，存在反函数的是( )。ABCD （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 f 1(x)在 上是增函数，在 上是减函数。函数 f1不是 到其值域的一一对应，即在 中，会有两个自变量的值对应同一个函数值，所以 f1(x)不存在反函数。同理，f 2(x)在 上是增函数，在 上是减函数，不存在反函数。f3(x)的图像是抛物线的一段，该抛物线的对称轴为 x=2，在 上，f 3(x)是
11、单调递减的，存在反函数。同理，f 4(x)对应的抛物线的对称轴为 x=-1，所以 f4(x)在 上是减函数，而在9.函数 f(x)=sin(x+)cos(x+)(0)以 2 为最小正周期，且在 x=2 处取得最大值，则 的一个值是( )。A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 10.复数 z=l+cos+i sin(2)的模为( )。A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 11.光线经过点 P(2，3)射在直线 x+y+1=0 上，反射后经过点 Q(3，-2)，反射线所在直线的方程是( )。A7x-y-11=0 Bx-7y-17=0 C5x+y-
12、13=0 D7x+5y+13=0（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因入射角等于反射角，所以入射线所在直线与反射线所在直线关于直线 x+y+1=0 对称，P关于 x+y+1=0 的对称点 P在反射线所在直线上，容易求得 P(-4，-3)。反射线所在直线过点 P(-4，-3)和 Q(3，-2)，其方程为 x-7y-17=0。故正确答案为 B。12.设 、b、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题(1)(b)c-(C)b=0(2)|-|b|-b|(3)(bc)-(C)b 不与 c 垂直(4)(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中，是真命题的有( )。A(1)
13、，(2) B(2)，(3) C(3)，(4)D(2)，(4)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 (1)中左边是 c-b 的形式，因为 c 和 b 不共线，不会是零向量。(2)中 a，b 不共线，|a|，|b|，|a-b|可组成三角形的 3 条边，不等式成立。(3)中式子与向量 c 的内积为零，它们是相互垂直的向量。(4)中由向量内积运算，知其成立，故正确答案为 D。13.等腰三角形一腰所在的直线 1的方程是 X-2y=0，底边所在直线 2的方程是 x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，则这腰所在直线 3的方程为( )。A2x-y+4=0B2x+2y-4=0C2x+y+4=0D2
14、x-2y+4=0（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设 1， 2， 3的斜率分别为 k1，k 2，k 3， 1和 2的夹角是 1， 2和 3的夹角是 2，则 ，k 2=-1，故有因为 1= 2，所以 tan 1=tan 2=-3。因为 1， 2， 3所围成的三角形是等腰三角形，即有14.长方体的全面积为 11，12 条棱长度之和为 24，则该长方体的一条对角线的长度为( )。A B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设长方体的棱长为 a、b、c，则 4(a+b+c)=24，2(ab+bc+ac)=11。故15.一抛物线以 y 轴为对称轴，且过 点及原点，一直线 经过
15、点和 点，则直线 被抛物线截得的线段的长度为( )。A2 B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 直线 过 两点，其方程为：设抛物线方程为求两线交点故两点间的距离16.已知 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由已知条件有17.设函数 f(x)在 x=2 点处连续，且 ，则曲线 y=f(x)在点 处切线的斜率为( )。A2 B1 C-1 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 将极限等式变形为由于 f(x)连续，又极限存在，故必有 所以故 f(x)在点 处切线的斜率为18.设 ，则 I=( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 19.设
16、三次多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 从而有由 f(x)=0 得驻点20.设 A 为 4 阶矩阵，且|A|=2，把 A 按列分块为 A=(A1，A 2，A 3，A 4)，其中 Aj(j=1，2，3，4)是 A 的第 j列，则|-A 2，-A 1，A 4，-A 3|=( )。A-2 B2 C1 D0（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 利用行列式的性质有21.己知 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 P 2=PP=E，因此当 m，n 均为偶数时，P mAPn=EAE=A，故正确答案为 D。22.如果 ，那么 （
17、分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 根据行列式的性质，23.设 A，B 为 3 阶矩阵，且满足方程 A-1BA=6A+BA，若 ，则 B=( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 对于矩阵方程应先化简，不要急于带入已知数据，由于 A 可逆，用 A-1右乘方程的两端，有A-1B=6E+B。进而得24.A 为 mn 矩阵，且 mn，Ax=0 是 Ax=b 的导出组，则下述结论正确的是( )。AAx=b 必有无穷多组解 BAx=0 必有无穷多组解CAx=0 只有零解 DAx=b 必无解（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 mn 可得 Ax=0 中方程个数小于未知量个数(即 r(A)n)，所以 Ax=0 存在非零解，从而Ax=0 必有无穷多组解。Ax=b 有解25.齐次线性方程组 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析
