1、工程硕士(GCT)数学-28 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.有一正的既约分数，如果其分子加上 24，分母加上 54 后，其分数值不变，那么，此既约分数的分子与分母的乘积等于( )。(A) 24 (B) 30 (C) 32 (D) 36（分数：4.00）A.B.C.D.2.若 m，n(mn)是关于 x 的方程 1-(x-a)(x-b)=0 的两个根，且 ab，则 a，b，m，n 的大小关系是( )。(A) mabn (B) amnb (C) ambn (D) manb（分数：4.00）A.B.C.D.3.如果 是半径为
2、 R 的球， 是以 的大圆为底面、顶点在 表面上的一个圆锥，那么 的体积是 体积的( )。（分数：4.00）A.B.C.D.4.两个码头相距 198km，如果一艘客轮顺流而下行完全程需要 6h，逆流而上行完全程需要 9h，那么该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别是( )km/h。(A) 27.5 和 15.5 (B) 27.5 和 11 (C) 26.4 和 5.5 (D) 26.4 和 11（分数：4.00）A.B.C.D.5. （分数：4.00）A.B.C.D.6.某种测验可以随时在网络上报名参加，某人通过这种测验的概率是 ，若他连续两次参加测验，则其中恰有一次通过的概率是( )。（分数：
3、4.00）A.B.C.D.7.已知 a 为正整数，且关于 x 的方程1g(4-2x2)=1g(a-x)+1 有实数根，则 a 等于( )。(A) 1 (B) 1 或 2 (C) 2 (D) 2 或 3（分数：4.00）A.B.C.D.8.若关于 x 的不等式|x-2|+|x+1|6 的解集是 （分数：4.00）A.B.C.D.9.已知 f(x)=3ax-2a+1，若存在 x0(-1，1)，使 f(x0)=0，则实数 a 的取值范围是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.10.已知 an为等比数列，首项 a1=2，公比 q=2，其前 n 项之和为 Sn，前 n 项之积为 Tn，则 ( )。(
4、A) 0 (B) 1 (C) （分数：4.00）A.B.C.D.11.若方程 有实数解，则 b 的取值范围是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.12.ABC 中，AB=3， ，AC=4，则 AC 上的高等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D.13.坐标平面内，与点 A(1，2)距离为 2，且与点 B(4，0)距离为 3 的直线共有( )条。(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4（分数：4.00）A.B.C.D.14.F1，F 2是双曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.15.两圆的半径之比为 3:1，则大圆的内接正三角形与小圆的外切正三角形的面积之比为( )。(A) 3:
5、2 (B) 9:4 (C) 3:1 (D) 9:1（分数：4.00）A.B.C.D.16.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.17.曲线 y=22-x在 x=2 处的切线方程是( )。(A) xln2+y=1 (B) x+yln2=1(C) xln2+y=2ln2 (D) xln2+y=1+21n2（分数：4.00）A.B.C.D.18.已知某厂生产 x 件产品的成本为 （分数：4.00）A.B.C.D.19. （分数：4.00）A.B.C.D.20.曲线 y=x2-3x+2 与 x 轴、y 轴及 x=3 所围成图形的面积为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.21.设 f(x)是以
6、1 为周期的连续函数， ，则 F(x)=( )。(A) 0 (B) xf(0) (C) （分数：4.00）A.B.C.D.22.设 （分数：4.00）A.B.C.D.23.已知 A 为三阶方阵，A*为其伴随矩阵，且有|A+2I|=0，|A-2I|=0，|2A-I|=0，则|A*|=( )。(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -2（分数：4.00）A.B.C.D.24.设向量组 a1，a2，a3 的 r(a1，a2，a3)=3，a4 能由 a1，a2，a3 线性表示，a5 不能由 a1，a2，a3 线性表示，则 r(a1-a2，a2，a3-a1，a5-a4)=( )。(A) 1 (B)
7、 2 (C) 3 (D) 4（分数：4.00）A.B.C.D.25.设 A 是 4 阶矩阵，A*为 A 的伴随矩阵，a1，a2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r(A*)=( )。(A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 以上均不正确（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-28 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.有一正的既约分数，如果其分子加上 24，分母加上 54 后，其分数值不变，那么，此既约分数的分子与分母的乘积等于( )。(A) 24 (B) 30 (C) 32 (D) 36
8、（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设这个分数为 ，p，q 为正整数，且没有公因子，则有2.若 m，n(mn)是关于 x 的方程 1-(x-a)(x-b)=0 的两个根，且 ab，则 a，b，m，n 的大小关系是( )。(A) mabn (B) amnb (C) ambn (D) manb（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 将方程 1-(x-a)(x-b)=0 变为 x2-(a+b)x+ab-1=0，当 ab 时，其解满足3.如果 是半径为 R 的球， 是以 的大圆为底面、顶点在 表面上的一个圆锥，那么 的体积是 体积的( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：
9、解析 是半径为 R 的球，其体积为的底面为 的大圆，其面积等于 R 2， 的顶点在 表面上，因此 的高等于 的半径R，于是 体积为它的体积是 体积的4.两个码头相距 198km，如果一艘客轮顺流而下行完全程需要 6h，逆流而上行完全程需要 9h，那么该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别是( )km/h。(A) 27.5 和 15.5 (B) 27.5 和 11 (C) 26.4 和 5.5 (D) 26.4 和 11（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 两码头相距 198km，客轮顺流而行要 6h，逆流而行要 9h，因此顺流速度为 =33km/h，逆流速度为 ，顺流速度是客轮的航速加
10、上水流速度，逆流速度是航速减去水流速度，因此航速为5. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 得 n=6，根据 可知常数项对应于 k=3，常数项为6.某种测验可以随时在网络上报名参加，某人通过这种测验的概率是 ，若他连续两次参加测验，则其中恰有一次通过的概率是( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 这是一个独立重复试验的问题，n 次独立重复试验中恰有 k 次发生的概率为当故选(C) 如果做两次测验，两次都通过的概率，则有 ，两次测验都不通过的概率 P2(0)也等于7.已知 a 为正整数，且关于 x 的方程1g(4-2x2)=1g(a-x)+1 有实数根，则 a 等
11、于( )。(A) 1 (B) 1 或 2 (C) 2 (D) 2 或 3（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由对数方程可得4-2x2=10(a-x)，即 2x2-10x+10a-4=0，方程有实数根，所以判别式 100-8(10a-4)0，即 132-80a0，正整数 a 只能取 1.故选(A)8.若关于 x 的不等式|x-2|+|x+1|6 的解集是 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令 f(x)=|x-2|+|x+1|，即参照题 8 图可见，f(x)的最小值为 3，不等式 f(x)b 的解集是 ，其充分必要条件是 b3。故选(C)。9.已知 f(x)=3ax-2a
12、+1，若存在 x0(-1，1)，使 f(x0)=0，则实数 a 的取值范围是( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 当 a=0 时，f(x 0)=0 不成立；当 a0 时，y=f(x)是线性函数，f(x 0)=0，x 0(-1，1)，所以 f(-1)与 f(1)异号，即(-3a-2a+1)(3a-2a+1)0，(-5a+1)(a+1)0 看成 a 的二次不等式，得 a-1 或10.已知 an为等比数列，首项 a1=2，公比 q=2，其前 n 项之和为 Sn，前 n 项之积为 Tn，则 ( )。(A) 0 (B) 1 (C) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 11.
13、若方程 有实数解，则 b 的取值范围是( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 的图像是以原点为中心，半径等于 3 的上半圆，y=x+b 的图像是斜率为 1 的直线，如题 11 图，当 b=-3 时直线 1：y=x-3 与半圆交于(3，0)点，当 时直线 2:y=x+ 与半圆相切，在 1与 2之间与它们平行的直线都与上半圆有交点(此外则无交点)，即原方程有实数解。故选(B)。12.ABC 中，AB=3， ，AC=4，则 AC 上的高等于( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设ABC 中A，B，C 所对应的边的长度分别为 a，b，c，即 a=BC，b=AC，c=A
14、B，由余弦定理所以A=60，AC 上的高故选(B)。也可由ABC 面积公式来求，其中 于是有13.坐标平面内，与点 A(1，2)距离为 2，且与点 B(4，0)距离为 3 的直线共有( )条。(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 与定点距离为 r 的直线就是以该定点为中心、半径等于 r 的圆的切线，本题以 A 为中心、半径等于 2 的圆与以 B 为中心、半径等于 3 的圆相交，两圆有两条公切线。故选(B)。14.F1，F 2是双曲线 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 c 2=a2+b2=16+20=36，所以 C=6，设左焦
15、点 F1(-6，0)，右焦点 F2(6，0)，由 a=4，双曲线的实轴长为 8，按双曲线的定义，|PF 2|-|PF1|=2a，即|PF 2|-9|=8，可得|PF 2|等于 1 或 17，但是，注意到|PF 1|=9，F 1是左焦点，而双曲线右支上的点到 F1最短距离为 10(在右顶点取到)，所以 P 点一定在双曲线的左支上，这样有|PF 2|-9=8，即|PF 2|=17。故选(B)。15.两圆的半径之比为 3:1，则大圆的内接正三角形与小圆的外切正三角形的面积之比为( )。(A) 3:2 (B) 9:4 (C) 3:1 (D) 9:1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 如题
16、15 图所示，设小圆半径为 R，由题意知大圆半径为 3R，大圆的内接正三角形边长 AB满足 ，因此小圆的外切正三角形边长 CD 满足： ，从而得大圆的内接正三角形面积为 ，小圆的外切正三角形面积为 ，两者之比为 9:4。故选(B)。16.函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 f(x)的间断点为 x=1，x=2，x=3，因 ，(B) ，(C) ，(D) 中的端点含 x=2，x=3，因此 f(x)在(B) ，(C) ，(D) 的区间上无界，由排除法，选(A) 事实上可证明 f(x)在(-2，1)上有界，因定义17.曲线 y=22-x在 x=2 处的切线方程是( )。(A) xln2
17、+y=1 (B) x+yln2=1(C) xln2+y=2ln2 (D) xln2+y=1+21n2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 y=2 2-xln2(-1)=-22-xln2，k=y|x=2=-ln2，y| x=2=1因此，曲线在 x=2 处的切线方程为y-1=-ln2(x-2)，即 y+xln2=1+2ln2故选(D)18.已知某厂生产 x 件产品的成本为 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 平均成本令 ，得 x=100，而19. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设 f(x)=2sinx-2-sinx，则f(-x)=2sin(-x)-2-sin
18、(-x)=2-sinx-2sinx=-f(x)，这说明被积函数为奇函数，又被积函数为以 2 为周期的周期函数，所以20.曲线 y=x2-3x+2 与 x 轴、y 轴及 x=3 所围成图形的面积为( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 画出曲线所围图形(见题 20 图)，当 x(1，2)时，x 2-3x+20，因此21.设 f(x)是以 1 为周期的连续函数， ，则 F(x)=( )。(A) 0 (B) xf(0) (C) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 在 中令 x-t=u，则当 t=-1 时，u=x+1，t=0 时，u=x，du=-dt，因此所以， ，于是故选
19、(C)。评注 因为 f(x)以 1 为周期，所以它在每一个周期上的定积分值相等，因此 求定积分 时，积分变量是 t，x 是常数。在对 F(x)求导时 x 是变量，22.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查了特殊矩阵的乘积与矩阵乘法的结合律。由于 ，所以23.已知 A 为三阶方阵，A*为其伴随矩阵，且有|A+2I|=0，|A-2I|=0，|2A-I|=0，则|A*|=( )。(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -2（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由|A+2I|=0 及|A-2I|=0 知 A 有特征值 1=-2， 2=2，由|2A-I|= 知
20、 A 有特征值，因此|A|= 1 2 3=-2。又 A*=|A|A-1,所以24.设向量组 a1，a2，a3 的 r(a1，a2，a3)=3，a4 能由 a1，a2，a3 线性表示，a5 不能由 a1，a2，a3 线性表示，则 r(a1-a2，a2，a3-a1，a5-a4)=( )。(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 a4可由 a1，a2，a3 线性表示，所以矩阵25.设 A 是 4 阶矩阵，A*为 A 的伴随矩阵，a1，a2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r(A*)=( )。(A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 以上均不正确（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设 A 是 n 阶方阵，则齐次线性方程组 Ax=0 中基础解系所含解向量的个数=n-r(A) ，在本题中齐次线性方程组 Ax=0 含有两个线性无关的解，因此 4-r(A) 2，即 r(A) 2。又因 A 是 4 阶矩阵，所以|A|中所有三阶子式全为 0，于是代数余子式 Aij为零，从而 A*=0，因此 r(A*)=0。故选(A) 注意，也可由 A*的性质直接判定，设 A 是 n 阶矩阵，则有
