1、工程硕士(GCT)数学-31 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.50能被 25整除，25 能被 5整除，所以 50是 25和 5的( )。A公约数 B最大公约数 C公倍数 D最小公倍数（分数：4.00）A.B.C.D.2.关于 X的方程 X2+2(m-2)X+m2=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是( )。Am1 Bm1 Cm-1 Dm-1（分数：4.00）A.B.C.D.3.关于 x的方程 k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列说法正确的是( )。A当 k= 时方程两根互为相反数 B当 k=0时方程的
2、根是 x=-1C当 k=1时方程两根互为倒数 D当 k （分数：4.00）A.B.C.D.4.某项工程 8个人用 35天完成了全工程量的 （分数：4.00）A.B.C.D.5.在二项式 （分数：4.00）A.B.C.D.6.有编号为 1、2、3 的 3个盒子和 10个相同的小球，现把这 10个小球全部装入 3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有( )。A9 B12 C15 D18（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 ，那么 f(n+1)-f(n)=( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.下列不等式中成立的是( )。Asinlsin4 BCOS
3、lcos4 Ctanltan4 Dcotlcot4（分数：4.00）A.B.C.D.9.若不等式 （分数：4.00）A.B.C.D.10.已知集合 M=(x，y)|x+Y=1，映射 f：MN，在 f用下点(x，y)的像为(2 x，2 y)，则集合 N为( )。A(x，y)|x+y=2，x0，y0) B(x，y)|xy=1，x0，y0)C(x，y)|xy=4，x0，y0) D(x，y)|xy=2，x0，y0)（分数：4.00）A.B.C.D.11.映射：f：AB 是一种对应，对于这种对应以下说法错误的是( )。AA 中的每一个元素都存在 B中的元素和它对应BA 中的元素不能对应 B中一个以上的元
4、素CA 中可以有两个或两个以上的元素对应 B中的一个元素DB 中不可有多余元素（分数：4.00）A.B.C.D.12.平面直角坐标系中向量的集合 A=a|a=(2，-1)+t(1，-1)，t R)，B=b|b=(-1，2)+t(1，2)，tR，则 AB=( )。A(2，-1) B(-1，2) C(2，-1)，(-1，2) D （分数：4.00）A.B.C.D.13.半径为 R的三个球两两外切放置于桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.14.若三角形的三边长分别为 3、4、5，则其外接圆直径的长等于( )。A3 B4 C5 D6
5、（分数：4.00）A.B.C.D.15.已知一个圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱高和圆柱的底面半径也相等，则圆柱的全面积和圆锥的全面积之比等于( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.16.设 （分数：4.00）A.B.C.D.17.设 上连续， （分数：4.00）A.B.C.D.18. 的值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.19.设 ，且 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.20.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.21.线性方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.22.设 A是 n阶矩阵，a 是 n维列向量，若 ，则线性方程组( )。AAx=a
6、必有无穷多解 BAx=a 必有唯一解C D （分数：4.00）A.B.C.D.23.设 A为 n阶方阵，r(A)=n-3，且 a1、a 2、a 3是 Ax=0的三个线性无关的解向量，则 Ax=0的基础解系为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.24.A为 mn阶矩阵，r(A)=r，则非齐次线性方程组 Ax=B有无穷多解的条件是( )。Ar(A|B)=r Br(A|B)=r 且 rnCrm Dr=n（分数：4.00）A.B.C.D.25.非齐次线性方程组 Ax=B与其导出组 Ax=0满足( )。AAx=0 有唯一解，则 Ax=B也有唯一解BAx=B 有无穷多解，则 Ax=0也有无穷多解CAx
7、=0 有无穷多解，则 Ax=B也有无穷多解DAx=0 有唯一解，则 Ax=B也有无穷多解（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-31 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.50能被 25整除，25 能被 5整除，所以 50是 25和 5的( )。A公约数 B最大公约数 C公倍数 D最小公倍数（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 50既能被 25整除，也能被 5整除，所以 50是 25和 5的公倍数，同时由于 25也是25和 5的公倍数，因此 50只能是 25和 5的公倍数，而不能是最小公倍数。
8、故正确答案为 C。2.关于 X的方程 X2+2(m-2)X+m2=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是( )。Am1 Bm1 Cm-1 Dm-1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 提示：=4(m-2) 2-4m20，即 m1。3.关于 x的方程 k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列说法正确的是( )。A当 k= 时方程两根互为相反数 B当 k=0时方程的根是 x=-1C当 k=1时方程两根互为倒数 D当 k （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 提示：=(2k-1) 2-4k2=-4k+10，故4.某项工程 8个人用 35天完成了全工程量的 （分数：4.
9、00）A.B.C. D.解析：解析 设完成剩余工程需要的天数是 x，根据题意得 835=5.在二项式 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 前 3项系数分别是 ，由条件得 ，即 n2-9n+8=0，解得 n=8(n=1舍去)，通项公式为当 r=0，4，8 时，6.有编号为 1、2、3 的 3个盒子和 10个相同的小球，现把这 10个小球全部装入 3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有( )。A9 B12 C15 D18（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 将编号为 1、2、3 的盒子分别放入 1、2、3 个小球，将剩下的 4个球放入 3个盒子有以下
10、四类情况：“4+伽” “3+1+0” “2+2+0” “1+1+2”可得7.设 ，那么 f(n+1)-f(n)=( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 f(n)为 n个连续自然数的倒数之和， ，故正确答案为 D。8.下列不等式中成立的是( )。Asinlsin4 BCOSlcos4 Ctanltan4 Dcotlcot4（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 ，而9.若不等式 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 记10.已知集合 M=(x，y)|x+Y=1，映射 f：MN，在 f用下点(x，y)的像为(2 x，2 y)，则集合 N为(
11、)。A(x，y)|x+y=2，x0，y0) B(x，y)|xy=1，x0，y0)C(x，y)|xy=4，x0，y0) D(x，y)|xy=2，x0，y0)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 f：(x，y)(x 1，y 1)，则 x1y1=2x2y=2x+y=2(x0，y0)11.映射：f：AB 是一种对应，对于这种对应以下说法错误的是( )。AA 中的每一个元素都存在 B中的元素和它对应BA 中的元素不能对应 B中一个以上的元素CA 中可以有两个或两个以上的元素对应 B中的一个元素DB 中不可有多余元素（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据映射的定义可知，对应可以
12、是一对一的或多对一的，A 中不可有多余元素，B 中可有多余元素。故正确答案为 D。12.平面直角坐标系中向量的集合 A=a|a=(2，-1)+t(1，-1)，t R)，B=b|b=(-1，2)+t(1，2)，tR，则 AB=( )。A(2，-1) B(-1，2) C(2，-1)，(-1，2) D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 令平面向量 a=OA， 的坐标即点 A的坐标，向量的集合与端点 A的集合一一对应。题中的集合 A对应于直线 ，直线 1：x+y-1=0。集合 B对应的直线13.半径为 R的三个球两两外切放置于桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径
13、为( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设第四个小球的半径为 x，则解得：14.若三角形的三边长分别为 3、4、5，则其外接圆直径的长等于( )。A3 B4 C5 D6（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 32+42=52，故该三角形是直角三角形，又因为直角形的外接圆的直径等于斜边的长，所以该直角三角形的外接圆的直径为 5。15.已知一个圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱高和圆柱的底面半径也相等，则圆柱的全面积和圆锥的全面积之比等于( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 如图所示为圆锥和圆柱剖面图的一半，设圆柱和圆锥底面半
14、径分别为 r和 R。由题设，有 OE=OC=r，OA=OB=R， ，从而得 。所以 R=2r，圆柱全面积圆锥全面积所以16.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由函数在一点处连续的充要条件，有17.设 上连续， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 ，所以必须使18. 的值为( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 在 内，x 2是偶函数， 为奇函数，所以19.设 ，且 ，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 得所以20.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 ，由于 AB与 B线性相关，它们的坐标对应成比例，有21
15、.线性方程组 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 对增广矩阵作初等变换，有22.设 A是 n阶矩阵，a 是 n维列向量，若 ，则线性方程组( )。AAx=a 必有无穷多解 BAx=a 必有唯一解C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 ，因此线性方程组 的解空间中含有线性无关解的个数为 ，故23.设 A为 n阶方阵，r(A)=n-3，且 a1、a 2、a 3是 Ax=0的三个线性无关的解向量，则 Ax=0的基础解系为( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 r(A)=n-3，可知 Ax=0的基础解系所含向量的个数为 n-(n-3)=3。又因 a
16、1，a 2，a 3为Ax=0的三个线性无关的解向量，可知 a1，a 2，a 3为 Ax=0的基础解系。且由 1(a2-a1)+1(a3-a2)+1(a1-a3)=0(2a2-a1)+24.A为 mn阶矩阵，r(A)=r，则非齐次线性方程组 Ax=B有无穷多解的条件是( )。Ar(A|B)=r Br(A|B)=r 且 rnCrm Dr=n（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因非齐次线性方程组有解的充要条件是 r(A)=r(A|B)=r，有无穷多解，还应加上 rn，故正确答案为 B。25.非齐次线性方程组 Ax=B与其导出组 Ax=0满足( )。AAx=0 有唯一解，则 Ax=B也有唯一解BAx=B 有无穷多解，则 Ax=0也有无穷多解CAx=0 有无穷多解，则 Ax=B也有无穷多解DAx=0 有唯一解，则 Ax=B也有无穷多解（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因 Ax=B有无穷多解时，必有 r(A)=r(A|B)n，所以 Ax=0有无穷多解；而 Ax=0有解，不能推出 Ax=B一定有解或一定无解。又因不知 r(A)是否等于 r(A|B)，故 A、C、D 均不正确。
