1、工程硕士(GCT)数学-37 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.本根铁丝，先截下它的 又截下原长的 结果两根相差 0.5m，这根铁丝原来的长度为( )m。（分数：4.00）A.B.C.D.2.关于 x 的方程 k2x2+(2k-1)x+1=0 有实数根，则下列结论正确的是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.3.如果关于 x 的不等式 的解集为 x|0x2，那么实数 m 的值是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.4.复数 4-3a-a2i 与复数 a2+4ai 相等，则实数 a 的值为( )。A1 B1 或-4 C-4 D0 或-4（分数：4.00）A.B.C
2、.D.5.A，B，C，D，E，F6 位同学排成一排，D 必须站在 B 的右边的站法总数为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 的值是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.7.正项等比数列 an的首项 a1=2-5，其前 11 项的几何平均数为 25，若前 11 项中抽取一项后的几何平均数仍是 25，则抽去一项的项数为( )。A6 B7 C9 D11（分数：4.00）A.B.C.D.8.若 3sin2+2sin 2=2sin，则 sin2+sin 2 的取值范围是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.9.如图所示，梯形 ABCD 中，ADBC，中位线 EF 分别与 BD、AC
3、 交于点 G，H，若 AD=6，BC=10，则 GH=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.10.长方体的高为 h，底面积为 P，垂直于底面的对角面的面积为 Q，则此长方体的侧面积等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D.11.设椭圆的中心为原点，其长轴是短轴的 2 倍，且过定点(2，0)，则椭圆的方程是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.12.若 ab0，则 ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab 所表示的曲线只可能是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.13.（分数：4.00）A.B.C.D.14.设 f(x)是奇函数， （分数：4.00）A.B.C.D.15.设 f
4、(x0)=f(x0)=0，f(x 0)，则( )。Af(x 0)是 f(x)的极大值 Bf(x 0)是 f(x)的极小值Cf(x 0)是 f(x)的极大值 D(x 0，f(x 0)是曲线的拐点（分数：4.00）A.B.C.D.16.若直线 是曲线 y=x2+1 上某点处的法线，则 b=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.17.设 f(x)在0，2连续，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则。xf(2x)dx=( )。A3 B2 C7 D6（分数：4.00）A.B.C.D.18. （分数：4.00）A.B.C.D.19.在曲线段 （分数：4.00）A.B.C.D.20. （分数：
5、4.00）A.B.C.D.21.（分数：4.00）A.B.C.D.22.设 a1=(1，0，5，2) T，a 2=(3，-2，3，-4) T，a 3=(-1，1，a，3) T线性相关，则 a=( )。A1 B2 C4 D5（分数：4.00）A.B.C.D.23.n 维向量组 a1，a 2，a s线性无关的充分条件是( )。Aa 1，a 2，a s均不是零向量Ba 1，a 2，a s中任意两个向量的分量不成比例Ca 1，a 2，a s的个数 snD某向量 可以由 a1，a 2，a s线性表示，且表示式唯一（分数：4.00）A.B.C.D.24.（分数：4.00）A.B.C.D.25.设 A 是
6、n 阶矩阵， 1， 2是 A 的特征值， 1， 2是 A 的分别对应于 1， 2的特征向量，则( )。A 1= 2时， 1， 2一定成比例 B 1= 2时， 1， 2一定不成比例C 1 2时， 1， 2一定成比例 D 1 2时， 1， 2一定不成比例（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-37 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.本根铁丝，先截下它的 又截下原长的 结果两根相差 0.5m，这根铁丝原来的长度为( )m。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于截下的两根铁丝的长度的差是铁丝原来长度的2.关于 x 的方程 k2x2+(2k-1)x+
7、1=0 有实数根，则下列结论正确的是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为当 k=0 时，方程有解 x=1；当 k0 时，=(2k-1) 2-4k2=-4k+10，所以3.如果关于 x 的不等式 的解集为 x|0x2，那么实数 m 的值是( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 可用图像法画4.复数 4-3a-a2i 与复数 a2+4ai 相等，则实数 a 的值为( )。A1 B1 或-4 C-4 D0 或-4（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 5.A，B，C，D，E，F6 位同学排成一排，D 必须站在 B 的右边的站法总数为( )。（分数：4.
8、00）A.B. C.D.解析：解析 因为不考虑 D 在 B 右边的站法共有 A66种，而 D 在 B 的左、右的情况各占一半，所以应有6.设 的值是( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 令 x=1 或-1，则7.正项等比数列 an的首项 a1=2-5，其前 11 项的几何平均数为 25，若前 11 项中抽取一项后的几何平均数仍是 25，则抽去一项的项数为( )。A6 B7 C9 D11（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 8.若 3sin2+2sin 2=2sin，则 sin2+sin 2 的取值范围是( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 9.如图
9、所示，梯形 ABCD 中，ADBC，中位线 EF 分别与 BD、AC 交于点 G，H，若 AD=6，BC=10，则 GH=( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 EF 是梯形的中位线，则 EG 是ADB 的中位线，GF 是DBC 的中位线，HF 是DAC 的中位线，根据中位线的性质知10.长方体的高为 h，底面积为 P，垂直于底面的对角面的面积为 Q，则此长方体的侧面积等于( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设底面边长为 a、b，则 P=ab，又因 则侧面积为11.设椭圆的中心为原点，其长轴是短轴的 2 倍，且过定点(2，0)，则椭圆的方程是( )。（分数：
10、4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题意，若椭圆长轴在 x 轴上，则其方程为 将点(2，0)的坐标代入方程，得 b2=1，椭圆方程为 若椭圆长轴在 y 轴上，则其方程为 将点(2，0)的坐标代入方程，得 b2=4，椭圆方程为12.若 ab0，则 ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab 所表示的曲线只可能是( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 方程 bx2+ay2=ab 可变形为13.（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 当 x0 时，sinx 2x 2，tan2x2x 故有14.设 f(x)是奇函数， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 15.
11、设 f(x0)=f(x0)=0，f(x 0)，则( )。Af(x 0)是 f(x)的极大值 Bf(x 0)是 f(x)的极小值Cf(x 0)是 f(x)的极大值 D(x 0，f(x 0)是曲线的拐点（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由16.若直线 是曲线 y=x2+1 上某点处的法线，则 b=( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于法线的斜率为 所以过该点切线的斜率为-2，从而有 y=(x2+1)=2x=-2，故切点横坐标 x=1，当 x=1 时，有17.设 f(x)在0，2连续，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则。xf(2x)dx=( )。A3
12、 B2 C7 D6（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 18. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 -2x-1，-8x 30，所以-x 3x 3，又因为19.在曲线段 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 令抛物线为 y=ax2+bx+c，它要满足 故有20. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 按代数余子式定义有21.（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 22.设 a1=(1，0，5，2) T，a 2=(3，-2，3，-4) T，a 3=(-1，1，a，3) T线性相关，则 a=( )。A1 B2 C4 D5（分数：4.00）A. B.C
13、.D.解析：解析 3 个四维向量线性相关 故求秩判断。23.n 维向量组 a1，a 2，a s线性无关的充分条件是( )。Aa 1，a 2，a s均不是零向量Ba 1，a 2，a s中任意两个向量的分量不成比例Ca 1，a 2，a s的个数 snD某向量 可以由 a1，a 2，a s线性表示，且表示式唯一（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然，A、C 错。对于 B，如 a1=(1，1)，a 2=(1，2)，a 3=(2，1)，其中任意两个向量不24.（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 r(A)=3，那么 r(A)=r(A)=34，故 Ax=6 必有无穷多解。25.设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2是 A 的特征值， 1， 2是 A 的分别对应于 1， 2的特征向量，则( )。A 1= 2时， 1， 2一定成比例 B 1= 2时， 1， 2一定不成比例C 1 2时， 1， 2一定成比例 D 1 2时， 1， 2一定不成比例（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 1= 2为重根时，可能有多于一个线性无关的特征向量，也可能只有一个线性无关的特征向量，显然 A，B 均不成立；当 1 2时，属于不同特征值的特征向量一定线性无关，故选 D。
