1、工程硕士(GCT)数学-40 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.某培训班有学员 96人，其中男生占全班人数的 （分数：4.00）A.B.C.D.2.甲花费 50000元购买了股票，随后他将这些股票转卖给乙，获利 10%，不久乙又将这些股票返卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲按乙卖给他的价格的 9折把这些股票卖掉了。不计交易费，甲在上述股票交易中_。A不亏不盈 B盈利 50元 C盈利 100元 D亏损 50元（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 F=0.48181是无穷循环小数，其中 8和 1是循环位，如把 F写成既约分
2、数，其分母比分子大_。A13 B14 C29 D57（分数：4.00）A.B.C.D.4.如 是 x3=1的一个虚根，则(1-+ 2)(1+- 2)=_。A4 B C2 D1（分数：4.00）A.B.C.D.5.如 0 （分数：4.00）A.B.C.D.6.数列 an中，a 1=2，且满足 an+1=an+2n(n1)，则 a100等于_。A9700 B9702 C9900 D9902（分数：4.00）A.B.C.D.7.如图所示，M 为平行四边形 ABCD的 AB边上的中点，AC 交 MD于点 E，则图中阴影部分的面积与平行四边形 ABCD面积的比是_。A B C D （分数：4.00）A.
3、B.C.D.8.设 A1，A 2，A 3为三个独立事件，且 P(Ak)=p(k=1，2，3，其中 0p1)，则这三个事件不全发生的概率是_。A(1-p) 3 B3(1-p)C(1-p) 3+3p(1-p) D3p(1-p) 2+3p2(1-p)（分数：4.00）A.B.C.D.9.甲盒内有红球 4只，黑球 2只，白球 2只；乙盒内有红球 5只，黑球 3只；丙盒内有黑球 2只，白球 2只，从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是_。A0.5625 B0.5 C0.45 D0.375（分数：4.00）A.B.C.D.10.4名男生 2名女生站成一排，要求两名女生不站在两端，则不同排法
4、的种数为_。A48 B96 C144 D288（分数：4.00）A.B.C.D.11.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为(7 1/2，0)，直线 y=x-1与其相交于 M，N 两点，MN 的中点的横坐标为 ，则该双曲线的方程为_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.12.以复数 z1=cos-i，z 2=sin+i(0 )和原点为顶点的三角形的面积的最大值是_。A B1 C D （分数：4.00）A.B.C.D.13.设有三条不同的直线 aix+biy=ci(i=1，2，3)，它们所组成的线性方程组的系数矩阵的秩为 2而增广矩阵的行列式等于-3，则这三条直线可能的位置关系是_。A
5、 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.14.内接于半径为 R的球面且有最大体积的长方体的体积为_。A B2R 3 C D （分数：4.00）A.B.C.D.15.若(2x-1) 6(2-3x)9=a0x15+a1x14+a15，则 a0+a1+a2+a14=_。A-1-2 9 B-2 9 C1-2 9 D2 15（分数：4.00）A.B.C.D.16.设函数 在 x=0处极限存在，则 a=_。A0 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.17.当 x0 时，(x)=kx 2与 是等价无穷小，则 k=_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.18.过点(2，0)作 y
6、=x3的切线，则切线与曲线 y=x3及 x轴在第一象限围成的面积是_。A6.25 B8 C7.25 D6.75（分数：4.00）A.B.C.D.19.设 （分数：4.00）A.B.C.D.20. =_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.21.A是 45的矩阵，且 A的行向量组线性无关，则正确的有_。(1)ATX=0只有 0解；(2)ATAX=0必有非 0解；(3)ATAX=b必无解；(4)对于任意四维向量 b，AX=b 总有无穷多解；A(1)(2)(3) B(1)(2) C(1)(2)(4) D(2)(3)(4)（分数：4.00）A.B.C.D.22.设 43矩阵 A的秩 r(
7、A)=2， （分数：4.00）A.B.C.D.23.设 1， 2， s， 是线性相关的 n维向量组，则_。A 可由 1， 2， s线性表示B 不可由 1， 2， s线性表示C若秩 r( 1， 2， s，)=s，则 可由 1， 2， s线性表示D若 1， 2， s线性无关，则 可由 1， 2， s线性表示（分数：4.00）A.B.C.D.24.设 （分数：4.00）A.B.C.D.25.A是 4阶矩阵，设 A=( 1， 2， 3， 4)，其中向量组 2， 3， 4线性无关，且 1-3 2-2 3，则齐次线性方程组 AX=0_。A有非零解，且通解为 X=k(1，-3，2，0) T(k为任意实数)B
8、有非零解，且通解为 X=k(1，-3，-2) T(k为任意实数)C有非零解，且通解为 X=k(1，-2，3，1) T(k为任意实数)D只有零解（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-40 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.某培训班有学员 96人，其中男生占全班人数的 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然女生有2.甲花费 50000元购买了股票，随后他将这些股票转卖给乙，获利 10%，不久乙又将这些股票返卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲按乙卖给他的价格的 9折把这些股票卖掉了。不计交易费，甲
9、在上述股票交易中_。A不亏不盈 B盈利 50元 C盈利 100元 D亏损 50元（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 第一次甲获利 5000元，第二次甲购买的价格是 50000(1+10%)(1-10%)=49500，卖出的价格是 50000(1+10%)(1-10%)0.9=44550，获利-4950，故结果是获利 50，选 B。3.设 F=0.48181是无穷循环小数，其中 8和 1是循环位，如把 F写成既约分数，其分母比分子大_。A13 B14 C29 D57（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 4.如 是 x3=1的一个虚根，则(1-+ 2)(1+- 2)=_。A4
10、 B C2 D1（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 (1-)(1+ 2)=0， 是虚根，从而有 1+ 2=0，则(1-+ 2)(1+- 2)=- 4+2 3- 2+1=4-(1+ 2)=4，选 A。5.如 0 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 (sin+cos) 2=1+2sin2=a 2，(sin+cos) 2=1+2cos2=b 2，又 0226.数列 an中，a 1=2，且满足 an+1=an+2n(n1)，则 a100等于_。A9700 B9702 C9900 D9902（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 a n+1=an-2n，a n-an-1=
11、2(n-1)，a 2-a1=2，相加得 an+1-a1=2(1+2+n)7.如图所示，M 为平行四边形 ABCD的 AB边上的中点，AC 交 MD于点 E，则图中阴影部分的面积与平行四边形 ABCD面积的比是_。A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据题意，有 E时 AC的三等分点，令平行四边形 ABCD的面积是 1，S ACM = ，故阴影部分面积是8.设 A1，A 2，A 3为三个独立事件，且 P(Ak)=p(k=1，2，3，其中 0p1)，则这三个事件不全发生的概率是_。A(1-p) 3 B3(1-p)C(1-p) 3+3p(1-p) D3p(1-p) 2+3
12、p2(1-p)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 三个事件不全发生的反面是全都发生，故概率为9.甲盒内有红球 4只，黑球 2只，白球 2只；乙盒内有红球 5只，黑球 3只；丙盒内有黑球 2只，白球 2只，从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是_。A0.5625 B0.5 C0.45 D0.375（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 选取任意一只盒子的概率是 ，而从甲盒里取到红球的概率为 ，从乙盒里取到红球的概率是 ，从丙盒内去红球的概率为 0，故取到红球的概率为10.4名男生 2名女生站成一排，要求两名女生不站在两端，则不同排法的种数为_。A48 B96
13、C144 D288（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 采用插空法，第一步先排男生，第二步再排女生，共有11.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为(7 1/2，0)，直线 y=x-1与其相交于 M，N 两点，MN 的中点的横坐标为 ，则该双曲线的方程为_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设双曲线方程为 ，与 y=x-1相交，即方程 有两个实根 x1和 x2，且 ，则根据根与系数的关系有12.以复数 z1=cos-i，z 2=sin+i(0 )和原点为顶点的三角形的面积的最大值是_。A B1 C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 显然当三
14、角形是等腰三角形时面积可取最大值，此时有|z 1|=|z2|，可得 cos2=sin 2，即，从而面积是13.设有三条不同的直线 aix+biy=ci(i=1，2，3)，它们所组成的线性方程组的系数矩阵的秩为 2而增广矩阵的行列式等于-3，则这三条直线可能的位置关系是_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据线性代数，系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，该线性方程组无解，即三条直线没有交点，只有 D选项符合。14.内接于半径为 R的球面且有最大体积的长方体的体积为_。A B2R 3 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然当内接长方体为正方体时，体积
15、恰为最大值，所以有 ，体积为 ，选 D。15.若(2x-1) 6(2-3x)9=a0x15+a1x14+a15，则 a0+a1+a2+a14=_。A-1-2 9 B-2 9 C1-2 9 D2 15（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令 x=1，则 a0+a1+a2+a14+a15=1，a 15=(-1)629，从而 a0+a1+a2+a14=1-a15=1-29，选 C。16.设函数 在 x=0处极限存在，则 a=_。A0 B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 e 1-cosx-11-cosx，ln1(+3x 2)3x 2， ，则17.当 x0 时，(x)=
16、kx 2与 是等价无穷小，则 k=_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 题设相当于已知 ，由此确定 k即可。由题设，18.过点(2，0)作 y=x3的切线，则切线与曲线 y=x3及 x轴在第一象限围成的面积是_。A6.25 B8 C7.25 D6.75（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 先求切线，显然切线方程为 ，过(2，0)点，则 x0=3，如图所示，所以所围成的面积为 ，选 A。19.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 20. =_。A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 方法一 而 ，故 ，选 A。方法二
17、因为 ，所以21.A是 45的矩阵，且 A的行向量组线性无关，则正确的有_。(1)ATX=0只有 0解；(2)ATAX=0必有非 0解；(3)ATAX=b必无解；(4)对于任意四维向量 b，AX=b 总有无穷多解；A(1)(2)(3) B(1)(2) C(1)(2)(4) D(2)(3)(4)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 显然 r(A)=4，则 r(AT)=4，所以 ATX=0只有 0解；A TA为 55的矩阵，而 r(ATA)=4，所以ATAX=0必有非 0解；A TAX=b可能有解也可能无解；AX=b 方程个数小于未知数个数，所以对于任意四维向量 b，AX=b 总有无穷多
18、解，选 C。22.设 43矩阵 A的秩 r(A)=2， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A 为 43的矩阵，B 为 33的矩阵，则 AB为 43的矩阵，又 B为满秩矩阵，则 r(AB)=r(A)=2，选 C。23.设 1， 2， s， 是线性相关的 n维向量组，则_。A 可由 1， 2， s线性表示B 不可由 1， 2， s线性表示C若秩 r( 1， 2， s，)=s，则 可由 1， 2， s线性表示D若 1， 2， s线性无关，则 可由 1， 2， s线性表示（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据线性相关的定义及性质，选 D。24.设 （分数：4.00）A.B.
19、C. D.解析：解析 (A+I)(A-I) -1=(A-I+2I)(A-J)-125.A是 4阶矩阵，设 A=( 1， 2， 3， 4)，其中向量组 2， 3， 4线性无关，且 1-3 2-2 3，则齐次线性方程组 AX=0_。A有非零解，且通解为 X=k(1，-3，2，0) T(k为任意实数)B有非零解，且通解为 X=k(1，-3，-2) T(k为任意实数)C有非零解，且通解为 X=k(1，-2，3，1) T(k为任意实数)D只有零解（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 显然齐次线性方程组 AX=0的系数矩阵的列向量线性相关，有非零解。而 A=(3 2-2 3， 2， 3， 4)，又因 A(1，-3，2，0) T=0，故通解为 X=k(1，-3，2，0) T，选 A。
