1、工程硕士(GCT)数学-5 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.设 ba，将一次函数 y=bx+a与 y=ax+b的图像画在同一平面直角坐标系内，则有一组 a，b 的取值，使得下列 4个图中的一个为正确的是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 ，若 (a，b 为正整数)，则 a+b=( ) （分数：4.00）A.(A) 63B.(B) 66C.(C) 69D.(D) 713.若 a为实数 ，则 a等于( ) （分数：4.00）A.B.C.D.4.设矩阵 ，矩阵 B满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*
2、为 A的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则|B|=( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.已知数列a n的前 n项和 Sn=n2-9n，第 k项满足 5a k8，则 k=( 。（分数：4.00）A.(A) 9B.(B) 8C.(C) 7D.(D) 66.若直线 y=kx+1与圆 x2+y2=1相交于 P、Q 两点，且POQ=120(其中 O为原点)，则 k的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则( )（分数：4.00）A.(A) 如果 mn，则 0不是 AB的特征值B.(B) 如果 mn，则 0是 AB的特征值C.(C) 如果 0是 AB的特征值
3、，则 mnD.(D) 如果 0不是 AB的特征值，则 mn8.某公司一批货物的 60%用现金售出，25%用支票售出，其他用记账方式赊售，如果支票售出的货款比记账赊出的货款多 4万元，则现金售出的货款为( )（分数：4.00）A.(A) 24万元B.(B) 20万元C.(C) 28万元D.(D) 30万元9.=( ) （分数：4.00）A.(A) 1.2B.(B) 11.25C.(C) 0.8D.(D) 1.510.f(x)在(-，+)上连续，且满足 则 为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.11.某商场进了一批橘子，第一天卖出了 40%，第二天卖出剩下的 50%，第三天比第一天少卖 1/
4、3，这时还剩下 50公斤，则这批橘子共有( )公斤（分数：4.00）A.(A) 1600B.(B) 1550C.(C) 1450D.(D) 150012.设函数 （分数：4.00）A.(A) 4e3B.(B) -4e3C.(C) 3e4D.(D) -3e413.设 ，C 为三阶矩阵，且满足(B -1AT)C=2E，则 C的第 3列元素为( )（分数：4.00）A.B.C.D.14.周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4又 （分数：4.00）A.(A) B.(B) 0C.(C) -1D.(D) -215.A是 mn矩阵，r(A)=r，B 是 m阶可逆方阵，C 是 m不可逆方阵，且 r(
5、C)r，则( )（分数：4.00）A.(A) BAx=0的基础解系由 n-m个向量组成B.(B) BAx=0的基础解系由 n-r个向量组成C.(C) CAx=0的基础解系由 n-m个向量组成D.(D) CAx=0的基础解系由 n-r个向量组成16.过曲线 （分数：4.00）A.(A) 0.5B.(B) 1C.(C) 2D.(D) 2.517.一袋中装有大小相同，编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取 2次，则取得两个球的编号和不小于 15的概率为( )（分数：4.00）A.B.C.D.18.设 A是 3阶方阵，将 A的第 1列与第 2列交换得 B，
6、再把 B的第 2列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C的可逆矩阵 Q为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.19.设椭圆 (ab0)的离心率为 （分数：4.00）A.(A) 必在圆 x2+y2=2内B.(B) 必在圆 x2+y2=2上C.(C) 必在圆 x2+y2=2外D.(D) 以上三种情形都有可能20.如图 64所示，直角梯形 ABCD的上底是 5cm，下底是 7cm，高是 4cm，且三角形 ADE、ABF 和四边形AECF的面积相等，则三角形 AEF的面积是( )cm 2 （分数：4.00）A.(A) 6.8B.(B) 6.4C.(C) 6.6D.(D) 6.221.方程组 （分数：
7、4.00）A.(A) k2 或 k-6B.(B) k2C.(C) k-6D.(D) -6k222.设 f(x)=|x(1-x)|，则下列正确的为( )（分数：4.00）A.(A) x=0是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.(B) x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.(C) x=0是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点D.(D) x=0不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点23.一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做 10个，则提前 （分数：4.00）A.(A) 98
8、0个B.(B) 1350个C.(C) 1180个D.(D) 1320个24.函数 的图像为 C，如下结论中正确的有( )个 图像 C关于直线 对称； 图像 C关于点对称； 函数 f(x)在区间 内是增函数； 由 y=3sin2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像 C （分数：4.00）A.(A) 1个B.(B) 2个C.(C) 3个D.(D) 4个25.两个正整数的最大公约数是 6，最小公倍数是 198，满足条件的数组共有( )组（分数：4.00）A.(A) 4B.(B) 1C.(C) 2D.(D) 3工程硕士(GCT)数学-5 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项
9、选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.设 ba，将一次函数 y=bx+a与 y=ax+b的图像画在同一平面直角坐标系内，则有一组 a，b 的取值，使得下列 4个图中的一个为正确的是( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 只有 B选项两函数的参数 a，b，其正负、大小与图像一致，选(B)2.已知 ，若 (a，b 为正整数)，则 a+b=( ) （分数：4.00）A.(A) 63B.(B) 66C.(C) 69D.(D) 71 解析：解析 显然有规律3.若 a为实数 ，则 a等于( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 显然 ，即4.设矩阵 ，矩阵 B满足
10、 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则|B|=( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 方法一 利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值ABA*=2BA*+E ABA*-2BA*=E(A-2E)BA*=E，所以|A-2E|B|A *|=|E|=1， 选(A)方法二 由 A*=|A|A-1，得ABA*=2BA*+E AB|A|A-1=2B|A|A-1+AA-1|A|AB=2|A|B+A |A|(A-2E)B=A|A|3|A-2E|B|=|A| 所以5.已知数列a n的前 n项和 Sn=n2-9n，第 k项满足 5a k8，则 k=( 。（
11、分数：4.00）A.(A) 9B.(B) 8 C.(C) 7D.(D) 6解析：解析 此数列是-a 1=-8，d=2 的一个等差数列，故 an=2n-10又 5a k=2k-108，解得 7.5k9，所以k=8，选(B)6.若直线 y=kx+1与圆 x2+y2=1相交于 P、Q 两点，且POQ=120(其中 O为原点)，则 k的值为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据题意，圆心 O到直线的距离为 ，所以 ，解得7.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则( )（分数：4.00）A.(A) 如果 mn，则 0不是 AB的特征值B.(B) 如果 mn，则 0是 AB的特征值C
12、.(C) 如果 0是 AB的特征值，则 mnD.(D) 如果 0不是 AB的特征值，则 mn 解析：解析 AB 是 mm矩阵，又 mn，则 AB的秩 r不超过 n，即 rnm，所以 0一定是 AB的特征值，选(D)8.某公司一批货物的 60%用现金售出，25%用支票售出，其他用记账方式赊售，如果支票售出的货款比记账赊出的货款多 4万元，则现金售出的货款为( )（分数：4.00）A.(A) 24万元 B.(B) 20万元C.(C) 28万元D.(D) 30万元解析：解析 设全部货款为 x，则 25%x-(1-60%-25%)x=4，解得 x=40，现金售出的货款为4060%=24万元，选(A)9
13、.=( ) （分数：4.00）A.(A) 1.2B.(B) 11.25 C.(C) 0.8D.(D) 1.5解析：解析 原式=10.f(x)在(-，+)上连续，且满足 则 为( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 对 两边求导，得 f(x)=2x3，则 =2x2，所以，选(C)11.某商场进了一批橘子，第一天卖出了 40%，第二天卖出剩下的 50%，第三天比第一天少卖 1/3，这时还剩下 50公斤，则这批橘子共有( )公斤（分数：4.00）A.(A) 1600B.(B) 1550C.(C) 1450D.(D) 1500 解析：解析 设这批句子共 x千克，第一天卖出 0.4x，第
14、二天卖出(1-40%)0.5x，第三天卖出 ，有12.设函数 （分数：4.00）A.(A) 4e3 B.(B) -4e3C.(C) 3e4D.(D) -3e4解析：解析 13.设 ，C 为三阶矩阵，且满足(B -1AT)C=2E，则 C的第 3列元素为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据题意 AT=A，B -1AT可逆，则 C=2(B-1AT)-1=2A-1B，故 C的第 3列元素为，选(A)14.周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4又 （分数：4.00）A.(A) B.(B) 0C.(C) -1D.(D) -2 解析：解析 由 知， 是周期函数，则15.A是
15、 mn矩阵，r(A)=r，B 是 m阶可逆方阵，C 是 m不可逆方阵，且 r(C)r，则( )（分数：4.00）A.(A) BAx=0的基础解系由 n-m个向量组成B.(B) BAx=0的基础解系由 n-r个向量组成 C.(C) CAx=0的基础解系由 n-m个向量组成D.(D) CAx=0的基础解系由 n-r个向量组成解析：解析 Ax=0 的基础解析含有 n-r个解向量，又因矩阵 B为可逆方阵，所以 BAx=0与 Ax=0是同解线性方程组，因而(B)正确 r(CA)minr(A)，r(C)r，因而 CAx=0得基础解析所含解向量个数大于n-r 由于 C为不可逆矩阵，且 r(C)r，矩阵 A是
16、 mn矩阵，r(A)=r，所以 r(C)m，r(CA)minr(A)，r(C)m，因而 CAx=0的基础解系中所含解向量个数大于 n-m，选(B)16.过曲线 （分数：4.00）A.(A) 0.5B.(B) 1 C.(C) 2D.(D) 2.5解析：解析 如图 70所示，阴影部分面积为 SABC -SOAC =0.75，设 A的横坐标为 x0，则切线 AB方程为，B 的横坐标为-2x 0，则 ，即 ，解得 x=1，选(B)17.一袋中装有大小相同，编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取 2次，则取得两个球的编号和不小于 15的概率为( )（分数：4
17、.00）A.B.C.D. 解析：解析 只有(7，8)、(8，7)，(8，8)，故概率为18.设 A是 3阶方阵，将 A的第 1列与第 2列交换得 B，再把 B的第 2列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C的可逆矩阵 Q为( ) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行(列)变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现 由题 所以 ，从而19.设椭圆 (ab0)的离心率为 （分数：4.00）A.(A) 必在圆 x2+y2=2内 B.(B) 必在圆 x2+y2=2上C.(C) 必在圆 x2+y2=2外D.(D) 以上三种情形都有可能解析：解
18、析 20.如图 64所示，直角梯形 ABCD的上底是 5cm，下底是 7cm，高是 4cm，且三角形 ADE、ABF 和四边形AECF的面积相等，则三角形 AEF的面积是( )cm 2 （分数：4.00）A.(A) 6.8 B.(B) 6.4C.(C) 6.6D.(D) 6.2解析：解析 显然梯形 ABCD的面积为 24，则 BF=3.2，DE=4，从而 CF=0.8，CE=3 即 SCEF =1.2，即 SAEF=6.8，选(A)21.方程组 （分数：4.00）A.(A) k2 或 k-6 B.(B) k2C.(C) k-6D.(D) -6k2解析：解析 根据题意 y=k-x，代入第一个方程
19、并化简得 x2-kx+3-k=0，有实数解，即=k 2-4(3-k)0，解得k2 或 k-6，选(A)22.设 f(x)=|x(1-x)|，则下列正确的为( )（分数：4.00）A.(A) x=0是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.(B) x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.(C) x=0是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.(D) x=0不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论 x=0两侧 f(x)，f“(x)的符号 23.
20、一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做 10个，则提前 （分数：4.00）A.(A) 980个B.(B) 1350个 C.(C) 1180个D.(D) 1320个解析：解析 设每天做 x个零件，一共做 y个零件，则 ，解得24.函数 的图像为 C，如下结论中正确的有( )个 图像 C关于直线 对称； 图像 C关于点对称； 函数 f(x)在区间 内是增函数； 由 y=3sin2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像 C （分数：4.00）A.(A) 1个B.(B) 2个C.(C) 3个 D.(D) 4个解析：解析 f(x)的对称轴是 ，即 ，正确；中心对称点是 ，即 ，正确；增区间是 ，即 ，正确；y=3sin2x 向右平移，得到 ，错误，选(C)25.两个正整数的最大公约数是 6，最小公倍数是 198，满足条件的数组共有( )组（分数：4.00）A.(A) 4B.(B) 1C.(C) 2 D.(D) 3解析：解析 设这两个数为 6a，6b(其中 a、b 互质)，则 6a6b=1986，即 ab=33，得两个数为 6和198或 18和 66，选(C)
