1、2015 年广东省汕头市中考真题数学 一、选择题：本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。 1.|-2|=( ) A.2 B.-2 C.12D.-12解析 ：根据绝对值的性质可知： |-2|=2. 答案 ： A 2.据国家统计局网站 2014年 12月 4日发布的消息， 2014年广东省粮食总产量约为 13 573 000吨，将 13 573 000 用科学记数法表示为 ( ) A.1.3573 106 B.1.3573 107 C.1.3573 108 D.1.3573 109 解析 ： 将 13 57
2、3 000 用科学记数法表示为： 1.3573 107. 答案 ： B 3.一组数据 2， 6， 5， 2， 4，则这组数据的中位数是 ( ) A.2 B.4 C.5 D.6 解析 ： 把数据由小到大排列为： 2， 2， 4， 5， 6， 所以这组数据的中位数是 4. 答案： B 4.如图，直线 a b， 1=75， 2=35，则 3 的度数是 ( ) A.75 B.55 C.40 D.35 解析 ： 直线 a b， 1=75， 4= 1=75， 2+ 3= 4， 3= 4- 2=75 -35 =40 . 答案： C 5.下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 ( ) A.矩形
3、B.平行四边形 C.正五边形 D.正三角形 解析 ： A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合； 即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转 180 度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误 . 答案： A 6.(-4x)2=( ) A.-8x2 B.8x2 C.-16x2 D.16x2 解析 ： 原式利用积的乘方运算法则计算即可得到结果 .原
4、式 =16x2. 答案： D 7.在 0， 2， (-3)0， -5 这四个数中，最大的数是 ( ) A.0 B.2 C.(-3)0 D.-5 解析 ： 在 0， 2， (-3)0， -5 这四个数中，最大的数是 2. 答案： B 8.若关于 x 的方程 x2+x-a+94=0 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a 2 B.a 2 C.a 2 D.a 2 解析 ： 根据题意得 =12-4(-a+94) 0，解得 a 2. 答案： C 9.如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心， AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细 )，则所得
5、扇形 DAB 的面积为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析 ： 正方形的边长为 3，弧 BD 的弧长 =6， S 扇形 DAB=12lr=12 6 3=9. 答案： D 10.如图，已知正 ABC 的边长为 2， E、 F、 G 分别是 AB、 BC、 CA 上的点，且 AE=BF=CG，设 EFG 的面积为 y， AE 的长为 x，则 y 关于 x的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据题意，有 AE=BF=CG，且正三角形 ABC 的边长为 2， 故 BE=CF=AG=2-x； 故 AEG、 BEF、 CFG 三个三角形全等 . 在 AEG 中， AE=x
6、， AG=2-x. 则 S AEG=12AE AG sinA= 34x(2-x)； 故 y=S ABC-3S AEG= 3 -3 34x(2-x)= 34(3x2-6x+4). 故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上 . 答案： D 二、填空题：本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。 11.正五边形的外角和等于 (度 ). 解析 ： 任意多边形的外角和都是 360，故正五边形的外角和为 360 . 答案： 360 12.如图，菱形 ABCD 的边长为 6， ABC=60，则对角线 AC 的长是 . 解析 ： 四边形 ABC
7、D 是菱形， AB=BC， ABC=60， ABC 是等边三角形， AC=AB=6. 答案： 6 13.分式方程 321xx的解是 . 解析 ： 去分母得： 3x=2x+2， 解得： x=2， 经检验 x=2 是分式方程的解 . 答案： x=2. 14.若两个相似三角形的周长比为 2： 3，则它们的面积比是 . 解析 ： 两个相似三角形的周长比为 2： 3， 这两个相似三角形的相似比为 2： 3，它们的面积比是 4： 9. 答案： 4： 9 15.观察下列一组数： 13， 25， 37， 49， 511，根据该组数的排列规律，可推出第 10个数是 . 解析 ： 分子为 1， 2， 3， 4，
8、5， 第 10 个数的分子为 10， 分母为 3， 5， 7， 9， 11， 第 10 个数的分母为： 1+2 10=21， 第 10 个数为： 1021. 答案： 1021. 16.如图， ABC 三边的中线 AD、 BE、 CF 的公共点为 G，若 S ABC=12，则图中阴影部分的面积是 . 解析 ： ABC 的三条中线 AD、 BE， CF 交于点 G， S CGE=S AGE=13S ACF， S BGF=S BGD=13S BCF， S ACF=S BCF=12S ABC=12 12=6， S CGE=13S ACF=13 6=2， S BGF=13S BCF=13 6=2， S
9、阴影 =S CGE+S BGF=4. 答案 ： 4 三、解答题 (一 )：本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。 17.解方程： x2-3x+2=0. 解析 ： 把方程的左边利用十字相乘法因式分解为 (x-1)(x-2)，再利用积为 0 的特点求解即可 . 答案 ： x2-3x+2=0， (x-1)(x-2)=0， x-1=0 或 x-2=0， x1=1， x2=2. 18.先化简，再求值：21111xxx ，其中 x= 2 -1. 解析： 式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将 x= 2 -1，代入化简后的式子求出即可
10、 . 答案 ：21111xxx = 11xxx 11xxx （ ）= 1 1 1xxx x x = 111xxx x x= 11x， 把 x= 2 -1，代入原式 = 11x= 1 1 222 1 1 2. 19.如图，已知锐角 ABC. (1)过点 A 作 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法 )； (2)在 (1)的条件下，若 BC=5， AD=4， tan BAD=34，求 DC 的长 . 解析： (1)利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段 AD； (2)先在 Rt ABD 中利用 BAD 的正切计算出 BD，然后利用 BC-BD
11、 求 CD的长 . 答案 ： (1)如图， (2) AD BC， ADB= ADC=90， 在 Rt ABD 中， tan BAD=BDAD=34， BD=34 4=3， CD=BC-BD=5-3=2. 四、解答题 (二 )：本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分。 20.老师和小明同学玩数学游戏 .老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1， 2， 3 的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率 .于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果 .如图是小明同学所画的正确树状图的一部分 .
12、 (1)补全小明同学所画的树状图； (2)求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率 . 解析： (1)根据题意可得此题是放回实验，即可补全树状图； (2)由树状图可求得所有等可能的结果与小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案 ： (1)补全小明同学所画的树状图： (2)共有 9 种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有 4 种情况， 小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为： 49. 21.如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中， E 是边 CD 的中点，将 ADE沿 AE 对折至 AFE，延长 EF 交边 BC 于
13、点 G，连接 AG. (1)求证： ABG AFG； (2)求 BG 的长 . 解析： (1)利用翻折变换对应边关系得出 AB=AF， B= AFG=90，利用 HL 定理得出 ABG AFG 即可； (2)利用勾股定理得出 GE2=CG2+CE2，进而求出 BG 即可； 答案 ： (1)在正方形 ABCD 中， AD=AB=BC=CD， D= B= BCD=90， 将 ADE 沿 AE 对折至 AFE， AD=AF， DE=EF， D= AFE=90， AB=AF， B= AFG=90， 又 AG=AG， 在 Rt ABG 和 Rt AFG 中， AG AGAB AF， ABG AFG(HL
14、)； (2) ABG AFG， BG=FG， 设 BG=FG=x，则 GC=6-x， E 为 CD 的中点， CE=EF=DE=3， EG=3+x， 在 Rt CEG 中， 32+(6-x)2=(3+x)2，解得 x=2， BG=2. 22.某电器商场销售 A、 B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台 30 元， 40 元，商场销售 5 台 A 型号和 1 台 B 型号计算器，可获利润 76 元；销售 6台 A 型号和 3台 B 型号计算器，可获利润 120 元 . (1)求商场销售 A、 B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？ (利润 =销售价格 -进货价格 ) (2)商场准
15、备用不多于 2500 元的资金购进 A、 B 两种型号计算器共 70 台，问最少需要购进 A型号的计算器多少台？ 解析： (1)首先设 A 种型号计算器的销售价格是 x 元， A 种型号计算器的销售价格是 y 元，根据题意可等量关系： 5 台 A 型号和 1 台 B 型号计算器，可获利润 76元；销售 6 台 A型号和 3 台 B 型号计算器，可获利润 120 元，根据等量关系列出方程组，再解即可； (2)根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可 . 答案 ： (1)设 A 种型号计算器的销售价格是 x 元， B 种型号计算器的销售价格是 y 元，由题意得： 5 3 0 4 0 7 66
16、 3 0 3 4 0 1 2 0xy ，解得： 4256.xy， 答： A 种型号计算器的销售价格是 42 元， B 种型号计算器的销售价格是 56 元； (2)设购进 A 型计算器 a 台，则购进 B 台计算器： (70-a)台， 则 30a+40(70-a) 2500，解得： a 30， 答：最少需要购进 A 型号的计算器 30 台 . 五、解答题 (三 )：本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分。 23.如图，反比例函数 y=kx(k 0， x 0)的图象与直线 y=3x 相交于点 C，过直线上点 A(1，3)作 AB x 轴于点 B，交反比例函数图象于点 D，且 AB=3BD.
17、 (1)求 k 的值； (2)求点 C 的坐标； (3)在 y 轴上确定一点 M，使点 M 到 C、 D 两点距离之和 d=MC+MD 最小，求点 M 的坐标 . 解析： (1)根据 A 坐标，以及 AB=3BD 求出 D 坐标，代入反比例解析式求出 k的值； (2)直线 y=3x 与反比例解析式联立方程组即可求出点 C 坐标； (3)作 C 关于 y 轴的对称点 C，连接 C D交 y 轴于 M，则 d=MC+MD 最小，得到 C (- 33，3 )，求得直线 C D 的解析式为 y=- 3 x+1+ 3 ，直线与 y 轴的交点即为所求 . 答案 ： (1) A(1， 3)， AB=3， O
18、B=1， AB=3BD， BD=1， D(1， 1)， 将 D 坐标代入反比例解析式得： k=1. (2)由 (1)知， k=1，反比例函数的解析式为； y=1x， 解： y=3x， y=1x，解得： 333xy ， 或 333xy ， x 0， C( 33， 3 ). (3)如图，作 C 关于 y 轴的对称点 C，连接 C D 交 y 轴于 M，则 d=MC+MD最小， C (- 33， 3 )， 设直线 C D 的解析式为： y=kx+b， 33 31kbkb ， 3 2 3,2 3 2.kb ， y=(3-2 3 )x+2 3 -2， 当 x=0 时， y=2 3 -2， M(0， 2
19、3 -2). 24. O 是 ABC 的外接圆， AB 是直径，过 弧 BC 的中点 P 作 O 的直径 PG 交弦 BC 于点 D，连接 AG、 CP、 PB. (1)如图 1，若 D 是线段 OP 的中点，求 BAC 的度数； (2)如图 2，在 DG 上取一点 K，使 DK=DP，连接 CK，求证：四边形 AGKC是平行四边形； (3)如图 3，取 CP 的中点 E，连接 ED 并延长 ED交 AB于点 H，连接 PH，求证： PH AB. 解析： (1)由垂径定理得出 PG BC， CD=BD，再由三角函数求出 BOD=60，证出 AC PG，得出同位角相等即可； (2)先由 SAS
20、证明 PDB CDK，得出 CK=BP， OPB= CKD，证出 AG=CK，再证明 AG CK，即可得出结论； (3)先证出 DH AG，得出 OAG= OHD，再证 OD=OH，由 SAS 证明 OBD HOP，得出 OHP= ODB=90，即可得出结论 . 答案： (1)点 P 为 弧 BC 的中点， AB 为 O 直径， BP=PC， PG BC， CD=BD， ODB=90， D 为 OP 的中点， OD=12OP=12OB， cos BOD=ODOB=12， BOD=60， AB 为 O 直径， ACB=90， ACB= ODB， AC PG， BAC= BOD=60 . (2)由
21、 (1)知， CD=BD， 在 PDB 和 CDK 中， C D B DB D P C D KD P D K ， PDB CDK(SAS)， CK=BP， OPB= CKD， AOG= BOP， AG=BP， AG=CK， OP=OB， OPB= OBP， 又 G= OBP， AG CK，四边形 AGCK 是平行四边形 . (3) CE=PE， CD=BD， DE PB，即 DH PB， G= OPB， PB AG， DH AG， OAG= OHD， OA=OG， OAG= G， ODH= OHD， OD=OH， 在 OBD 和 HOP 中，O D O HB O D H O PO B O P
22、， OBD HOP(SAS)， OHP= ODB=90， PH AB. 25.如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板 Rt ABC 和 Rt ADC 拼在一起，使斜边 AC 完全重合，且顶点 B， D 分别在 AC 的两旁， ABC= ADC=90， CAD=30， AB=BC=4cm (1)填空： AD= (cm)， DC= (cm)； (2)点 M， N 分别从 A 点， C 点同时以每秒 1cm 的速度等速出发，且分别在 AD， CB 上沿 A D，C B 方向运动，点 N 到 AD 的距离 (用含 x 的式子表示 ) (3)在 (2)的条件下，取 DC 中点 P，连接 MP， N
23、P，设 PMN 的面积为 y(cm2)，在整个运动过程中， PMN 的面积 y 存在最大值，请求出 y 的最大值 . (参考数据 sin75 = 624， sin15 = 624) 解析： (1)由勾股定理求出 AC，由 CAD=30，得出 DC=12AC=2 2 ，由三角函数求出 AD即可； (2)过 N作 NE AD于 E，作 NF DC，交 DC的延长线于 F，则 NE=DF，求出 NCF=75， FNC=15，由三角函数求出 FC，得 NE=DF= 624x+2 2 ，即可得出结果； (3)由三角函数求出 FN，得出 PF， PMN 的面积 y=梯形 MDFN 的面积 - PMD 的面
24、积 - PNF的面积，得出 y 是 x 的二次函数，即可得出 y 的最大值 . 答案 ： (1) ABC=90， AB=BC=4cm， AC= 2 2 2 244A B B C =4 2 ， ADC=90， CAD=30， DC=12AC=2 2 ， AD= 3 DC=2 6 ； 故答案为： 2 6 ， 2 2 . (2)过点 N 作 NE AD 于 E，作 NF DC，交 DC的延长线于 F，如图所示： 则 NE=DF， ABC= ADC=90， AB=BC， CAD=30， ACB=45， ACD=60， NCF=180 -45 -60 =75， FNC=15， sin FNC=FCNC，
25、 NC=x， FC= 624x， NE=DF= 624x+2 2 ， 点 N 到 AD 的距离为 624x+2 2 . (3) sin NCF=FNNC， FN= 624x， P 为 DC 的中点， PD=CP= 2 ， PF= 624x+ 2 ， PMN 的面积 y=梯形 MDFN 的面积 - PMD 的面积 - PNF 的面积 = 12( 624x+2 6 -x)( 624x+2 2 )- 12(2 6 -x) 2 - 12( 624x+2 )( 624x)= 22 6 7 3 2 2 2384xx ，即 y 是 x 的二次函数， 268 0， y 有最大值， 当 x=7 3 2 27 3 2 242 6 6 228 时， y 有最大值为 6 6 7 3 1 0 2 3 0 8 3 2 3 6 9 2 1 6164 2 4 6 .
