1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学文 一、填空题（本大题共 14 小题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律零分） 1.（ 4 分）（ 2015上海）函数 f（ x） =1 3sin2x 的最小正周期为 . 解析： 由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期 . 函数 f（ x） =1 3sin2x=1 3 = + cos2x， 函数的最小正周期为 = ， 答案 ： . 点评： 本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题 . 2.（ 4 分）（ 2015上海）设全集
2、U=R.若集合 A=1， 2， 3， 4， B=x|2x 3，则 A （ CUB）= 1， 3， 4 . 考点 ：交、并、补集的混合运算 .菁优网版权所有 解析 ： 本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可 . 全集 U=R，集合 =1 ， 2， 3， 4， =x|2x 3， （ UB） =x|x3 或 x 2， A （ UB） =1， 3， 4， 答案 ： 1， 3， 4. 3.（ 4 分）（ 2015上海）若复数 z 满足 3z+ =1+i，其中 i 是虚数单位，则 z= . 考点 ： 复数代数形式的乘除运算 .菁优网版权所有 解析： 设 z=a+bi，则 =a b
3、i（ a， b R）， 又 3z+ =1+i， 3 （ a+bi） +（ a bi） =1+i， 化为 4a+2bi=1+i， 4a=1 ， 2b=1， 解得 a= ， b= . z= . 答案 ： . 4.（ 4 分）（ 2015上海）设 f 1（ x）为 f（ x） = 的反函数，则 f 1（ 2） = . 考点 ： 反函数 .菁优网版权所有 解析 ：由 y=f（ x） = ，得 ， x， y 互换可得， ，即 f 1（ x） = . . 答案 ： . 5.（ 4 分）（ 2015上海）若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则 c1 c2= 16 . 考点 ： 二阶行列式与逆矩阵 .菁优网版权
4、所有 解析 ：由题意知 ，是方程组 的解，即 ， 则 c1 c2=21 5=16， 答案 ： 16. 6.（ 4 分）（ 2015上海）若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 16 ，则 a= 4 . 考点 ： 棱锥的结构特征 .菁优网版权所有 解析 ：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于 a 的等边三角形，面积为 aasin60 ，正棱柱的高为 a， （ aasin60 ） a=16 ， a=4 ， 答案 ： 4. 7.（ 4 分）（ 2015上海）抛物线 y2=2px（ p 0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则p= 2 . 考点 ： 抛物线的简单性质 .菁优网版权所有 解析 ：
5、因为抛物线 y2=2px（ p 0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1， 所以 =1， 所以 p=2. 答案 ： 2. 8.（ 4 分）（ 2015上海）方程 log2（ 9x 1 5） =log2（ 3x 1 2） +2 的解为 2 . 考点 ： 对数的运算性质 .菁优网版权所有 解析 ： log 2（ 9x 1 5） =log2（ 3x 1 2） +2， log 2（ 9x 1 5） =log24 （ 3x 1 2） ， 9 x 1 5=4（ 3x 1 2）， 化为（ 3x） 2 123x+27=0， 因式分解为：（ 3x 3）（ 3x 9） =0， 3 x=3， 3x=9， 解得
6、x=1 或 2. 经过验证： x=1 不满足条件，舍去 . x=2 . 答案 ： 2. 9.（ 4 分）（ 2015上海）若 x， y 满足 ，则目标函数 z=x+2y 的最大值为 3 . 考点 ： 简单线性规划 .菁优网版权所有 解析 ：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） . 由 z=x+2y 得 y= x+ z， 平移直线 y= x+ z， 由图象可知当直线 y= x+ z 经过点 B 时，直线 y= x+ z 的截距最大， 此时 z 最大 . 由 ，解得 ，即 B（ 1， 1）， 代入目标函数 z=x+2y 得 z=21+1=3 答案 ： 3. 10.（ 4 分）（ 2015上
7、海）在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表示） . 考点 ： 排列、组合的实际应用 .菁优网版权所有 解析 ：根据题意，报名的有 3 名男老师和 6 名女教师，共 9 名老师， 在 9 名老师中选取 5 人，参加义务献血，有 C95=126种； 其中只有女教师的有 C65=6 种情况； 则男、女教师都有的选取方式的种数为 126 6=120 种； 答案 ： 120 11.（ 4 分）（ 2015上海）在（ 2x+ ） 6的二项式中，常数项等于 240 （结果用数值表示） . 考点 ： 二项式系数的
8、性质 .菁优网版权所有 解析 ：由（ 2x+ ） 6，得 = . 由 6 3r=0，得 r=2. 常数项等于 . 答案 ： 240. 12.（ 4 分）（ 2015上海）已知双曲线 C1、 C2的顶点重合， C1的方程为 y2=1，若 C2的一条渐近线的斜率是 C1的一条渐近线的斜率的 2 倍，则 C2的方程为 . 考点 ： 双曲线的简单性质 .菁优网版权所有 解析 ： C1的方程为 y2=1，一条渐近线的方程为 y= ， 因为 C2的一条渐近线的斜率是 C1的一条渐近线的斜率的 2 倍， 所以 C2的一条渐近线的方程为 y=x， 因为双曲线 C1、 C2的顶点重合， 所以 C2的方程为 .
9、答案 ： . 13.（ 4 分）（ 2015上海）已知平面向量 、 、 满足 ，且 | |， | |， | |=1， 2，3，则 | + + |的最大值是 3+ . 考点 ： 平面向量数量积的运算 .菁优网版权所有 解析 ：分别以 所在的直线为 x， y 轴建立直角坐标系， 当 | |， | |=1， 2， | |=3，则 ， 设 ，则 x2+y2=9， + + =（ 1+x， 2+y）， | |= 的最大值，其几何意义是圆 x2+y2=9 上点（ x， y）与定点（ 1， 2）的距离的最大值为 =3+ ； 且 | |， | |=1， 3， | |=2，则 ， x2+y2=4， + + =（
10、1+x， 3+y） | |= 的最大值，其几何意义是圆 x2+y2=4 上点（ x， y）与定点（ 1， 3）的距离的最大值为 2+ =2+ ， | |， | |=2， 3， ， | |=1，则 ， 设 ，则 x2+y2=1 + + =（ 2+x， 3+y） | |= 的最大值，其几何意义是在圆 x2+y2=1 上取点（ x， y）与定点（ 2， 3）的距离的最大值为 1+ =1+ ， 故 | + + |的最大值为 3+ . 答案 ： 3+ 14.（ 4 分）（ 2015上海）已知函数 f（ x） =sinx.若存在 x1， x2， ， xm满足 0x 1 x2 xm6 ，且 |f（ x1）
11、f（ x2） |+|f（ x2） f（ x3） |+|f （ xm 1） f（ xm） |=12（ m12 ，m N*），则 m 的最小值为 8 . 考点 ： 正弦函数的图象 .菁优网版权所有 答案： 8 二、选择题（本大题共 4 小题，满分 21 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律零分 . 15.（ 6 分）（ 2015上海）设 z1、 z2 C，则 “z 1、 z2均为实数 ” 是 “z 1 z2是实数 ” 的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 考点 ： 必要条件、充
12、分条件与充要条件的判断 .菁优网版权所有 解析 ：若 z1、 z2均为实数，则 z1 z2是实数，即充分性成立， 当 z1=i， z2=i，满足 z1 z2=0 是实数，但 z1、 z2均为实数不成立，即必要性不成立， 故 “z 1、 z2均为实数 ” 是 “z 1 z2是实数 ” 的充分不必要条件， 答案 ： A 16.（ 5 分）（ 2015上海）下列不等式中，与不等式 2 解集相同的是（ ） A.(x+8)(x2+2x+3) 2 B.x+8 2（ x2+2x+3） C. D. 考点 ： 其他不等式的解法 .菁优网版权所有 解析 ：由于 x2+2x+3=（ x+1） 2+2 0，不等式 2
13、，等价于 x+8 2（ x2+2x+3）， 答案 ： B 17.（ 5 分）（ 2015上海）已知点 A 的坐标为（ 4 ， 1），将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转至 OB，则点 B 的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 考点 ： 任意角的三角函数的定义 .菁优网版权所有 解析 ： 点 A 的坐标为（ 4 ， 1）， 设 xOA= ，则 sin= = ， cos= = ， 将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB， 则 OB 的倾斜角为 + ，则 |OB|=|OA|= ， 则点 B的纵坐标为 y=|OP|sin（ + ） =7（ sincos +cossin ） =7（ + ）=
14、 +6= ， 答案 ： D 18.（ 5 分）（ 2015上海）设 Pn（ xn， yn）是直线 2x y= （ n N*）与圆 x2+y2=2 在第一象限的交点，则极限 =（ ） A. 1 B. C. 1 D. 2 考点 ： 极限及其运算 .菁优网版权所有 解析 ：当 n+ 时，直线 2x y= 趋近于 2x y=1，与圆 x2+y2=2 在第一象限的交点无限靠近（ 1， 1），而 可看作点 Pn（ xn， yn）与（ 1， 1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2 在点（ 1， 1）处的切线的斜率，其斜率为 1. = 1. 答案 ： A. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74
15、分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19.（ 12 分）（ 2015上海）如图，圆锥的顶点为 P，底面圆为 O，底面的一条直径为 AB， C为半圆弧 的中点， E 为劣弧 的中点，已知 PO=2， OA=1，求三棱锥 P AOC 的体积，并求异面直线 PA 和 OE 所成角的大小 . 考点 ： 异面直线及其所成的角 .菁优网版权所有 解析 ： 由条件便知 PO 为三棱锥 P AOC 的高，底面积 SAOC 又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积 .根据条件能够得到 OEAC ，从而找到异面直线 PA， OE所成角为 PAC ，可取 AC中点 H
16、，连接 PH，便得到 PHAC ，从而可在 RtPAH 中求出 cosPAC ，从而得到 PAC . 答案 ： PO=2 ， OA=1， OCAB ； ； E 为劣弧 的中点； BOE=45 ，又 ACO=45 ； OEAC ； PAC 便是异面直线 PA 和 OE 所成角； 在 ACP 中， AC= ， ； 如图，取 AC 中点 H，连接 PH，则 PHAC ， AH= ； 在 RtPAH 中， cosPAH= ； 异面直线 PA 与 OE 所成角的大小为 arccos . 20.（ 14 分）（ 2015上海）已知函数 f（ x） =ax2+ ，其中 a 为常数 (1)根据 a 的不同取值
17、，判断函数 f（ x）的奇偶性，并说明理由； (2)若 a （ 1， 3），判断函数 f（ x）在 1， 2上的单调性，并说明理由 . 考点 ： 利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质 .菁优网版权所有 解析 ： (1)根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论； (2)根据导数和函数的单调性的关系即可判断 . 答案 ： (1)当 a=0 时， f（ x） = ，显然为奇函数， 当 a0 时， f（ 1） =a+1， f（ 1） =a 1， f（ 1） f （ 1），且 f（ 1） +f（ 1） 0 ， 所以此时 f（ x）为非奇非偶函数 . (2)a （ 1， 3）， f（ x） =a
18、x2+ ， f （ x） =2ax = ， a （ 1， 3）， x 1， 2， 2ax 3 1 0， f （ x） 0， 函数 f（ x）在 1， 2上的单调递增 . 21.（ 14 分）（ 2015上海）如图， O， P， Q 三地有直道相通， OP=3 千米， PQ=4 千米， OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从 O 地出发匀速前往 Q 地，经过 t 小时，他们之间的距离为 f（ t）（单位：千米） .甲的路线是 OQ，速度为 5 千米 /小时，乙的路线是 OPQ，速度为 8 千米 /小时，乙到达 Q 地后在原地等待 .设 t=t1时乙到达 P 地， t=t2时乙到达 Q 地 . (1)
19、求 t1与 f（ t1）的值； (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米 ，当 t1tt 2时，求 f（ t）的表达式，并判断 f（ t）在 t1， t2上的最大值是否超过 3？说明理由 . 考点 ： 函数与方程的综合运用 .菁优网版权所有 解析 ： （ 1）用 OP 长度除以乙的速度即可求得 t1= ，当乙到达 P 点时，可设甲到达 A 点，连接 AP，放在 AOP 中根据余弦定理即可求得 AP，也就得出 f（ t1）； （ 2）求出 t2= ，设 t ，且 t 小时后甲到达 B 地，而乙到达 C 地，并连接 BC，能够用 t 表示出 BQ， CQ，并且知道 cos ，这样根据余弦定
20、理即可求出 BC，即 f（ t），然后求该函数的最大值，看是否超过 3 即可 . 答案 ： (1)根据条件知 ，设此时甲到达 A 点，并连接 AP，如图所示， OA= ； 在 OAP 中由余弦定理得， f（ t1） =AP= =（千米）； (2)可以求得 ，设 t 小时后，且 ，甲到达了 B 点，乙到达了 C 点，如图所示： 则 BQ=5 5t， CQ=7 8t； 在 BCQ 中由余弦定理得， f（ t） =BC= ； 即 f（ t） = ， ； 设 g（ t） =25t2 42t+18， ， g（ t）的对称轴为 t= ； 且 ； 即 g（ t）的最大值为 ，则此时 f（ t）取最大值 ；
21、即 f（ t）在 t1， t2上的最大值不超过 3. 22.（ 16 分）（ 2015上海）已知椭圆 x2+2y2=1，过原点的两条直线 l1和 l2分别与椭圆交于点A、 B 和 C、 D，记 AOC 的面积为 S. (1)设 A（ x1， y1）， C（ x2， y2），用 A、 C 的坐标表示点 C到直线 l1的距离，并证明 S=|； (2)设 l1： y=kx， ， S= ，求 k 的值； (3)设 l1与 l2的斜率之积为 m，求 m 的值，使得无论 l1和 l2如何变动，面积 S 保持不变 . 考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式 .菁优网版权所有 . 解析： (1
22、)依题意，直线 l1的方程为 y= x，利用点到直线间的距离公式可求得点 C 到直线l1的距离 d= ，再利用 |AB|=2|AO|=2 ，可证得 S= |AB|d= |x1y2 x2y1|； (2)设直线 l1的斜率为 k，则直线 l2的斜率为 ，可得直线 l1与 l2的方程，联立方程组，可求得 x1、 x2、 y1、 y2，继而可求得答案 . (3)方法一：设直线 l1的斜率为 k，则直线 l2的斜率为 ，直线 l1的方程为 y=kx，联立方程组 ，消去 y 解得 x= ，可求得 x1、 x2、 y1、 y2，利用 S= |x1y2 x2y1|= ，设 =c（常数），整理得： k4 2mk
23、2+m2=c22k4+（ 1+4m2） k2+2m2，由于左右两边恒成立，可得 ，此时 S= ； 方法二：设直线 l1、 l2的斜率分别为 、 ，则 =m，则 mx1x2= y1y2，变形整理，利用 A（ x1， y1）、 C（ x2， y2）在椭圆 x2+2y2=1 上，可求得面积 S 的值 . 答案 ： (1)依题意，直线 l1的方程为 y= x，由点到直线间的距离公式得：点 C 到直线 l1的距离 d= = ， 因为 |AB|=2|AO|=2 ，所以 S= |AB|d= |x1y2 x2y1|； (2)设直线 l1的斜率为 k，则直线 l1的方程为 y=kx， 则直线 l2的斜率为 ，
24、设直线 l1的方程为 y=kx，联立方程组 ，消去 y 解得 x= ， 根据对称性，设 x1= ，则 y1= ， 同理可得 x2= ， y2= ， 所以 S= |x1y2 x2y1|= |x1 y1|= . 所以 |x1 y1|= = ，解得 k= 1 或 3 (3)方法一：设直线 l1的斜率为 k，则直线 l2的斜率为 ，直线 l1的方程为 y=kx， 联立方程组 ，消去 y 解得 x= ， 根据对称性，设 x1= ，则 y1= ， 同理可得 x2= ， y2= ， 所以 S= |x1y2 x2y1|= ，设 =c（常数）， 所以（ m k2） 2=c2（ 1+2k2）（ k2+2m2），
25、整理得： k4 2mk2+m2=c22k4+（ 1+4m2） k2+2m2， 由于左右两边恒成立，所以只能是 ，所以 ，此时 S= ， 综上所述， m= ， S= . 方法二：设直线 l1、 l2的斜率分别为 、 ，则 =m， 所以 mx1x2= y1y2， m 2 =4 =mx1x2y1y2， A （ x1， y1）、 C（ x2， y2）在椭圆 x2+2y2=1 上， （ ）（ ） = +4 +2（ + ） =1， 即（ +4m） x1x2y1y2+2（ + ） =1， 所以 + 2x1x2y1y2=（ x1y2 x2y1） 2= 1（ 4m+ ） x1x2y1y2 2x1x2y1y2 =
26、 （ 2m+ +2） x1x2y1y2，是常数，所以 |x1y2 x2y1|是常数， 所以令 2m+ +2=0 即可， 所以， m= ， S= . 综上所述， m= ， S= . 23.（ 18 分）（ 2015上海）已知数列 an与 bn满足 an+1 an=2（ bn+1 bn）， n N*. (1)若 bn=3n+5，且 a1=1，求 an的通项公式； (2)设 an的第 n0项是最大项，即 an0a n（ n N*），求证： bn的第 n0项是最大项； （ 3）设 a1=3 0， bn= n（ n N*），求 的取值范围，使得对任意 m， n N*， an0 ，且. 考点 ： 数列递推
27、式；数列的函数特性 .菁优网版权所有 解析： (1)把 bn=3n+5 代入已知递推式可得 an+1 an=6，由此得到 an是等差数列，则 an可求； (2)由 an=（ an an 1） +（ an 1 an 2） + （ a2 a1） +a1，结合递推式累加得到 an=2bn+a1 2b1，求得 ，进一步得到 得答案； (3)由 (2)可得 ，然后分 1 0， = 1， 1 三种情况求得 an的最大值 M 和最小值 m，再由 （ 2， 2）列式求得 的范围 . 解析： (1)： a n+1 an=2（ bn+1 bn）， bn=3n+5， a n+1 an=2（ bn+1 bn） =2（
28、 3n+8 3n 5） =6， a n是等差数列，首项为 a1=1，公差为 6， 则 an=1+（ n 1） 6=6n 5； (2)a n=（ an an 1） +（ an 1 an 2） + （ a2 a1） +a1 =2（ bn bn 1） +2（ bn 1 bn 2） +2 （ b2 b1） +a1 =2bn+a1 2b1， ， . 数列 bn的第 n0项是最大项； (3)由 (2)可得 ， 当 1 0 时， 单调递减，有最大值 ； 单调递增，有最小值 m=a1=3 ， 由 ， ， 则 ，解得 . （ ） . 当 = 1 时， a2n=1， a2n 1= 3， M=3 ， m= 1，不满足条件 . 当 1 时，当 n+ 时， a2n+ ，无最大值； 当 n+ 时， a2n 1 ，无最小值 . 综上所述， （ ， 0）时满足条件 .
