1、2015年湖北省仙桃市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分 ) 1. -3 的绝对值是 ( ) A.3 B.-3 C.13D.-13解析： 根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出 .|-3|=-(-3)=3. 答案： A. 2.如图所示的几何体，其左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 根据从左边看得到的图形是左视图， 从左边看是一个矩形的左上角去掉了一个小矩形 . 答案： C 3.位于江汉平原的兴隆水利工程于 2014 年 9 月 25 日竣工，该工程设计的年发电量为 2.25亿度， 2.25 亿这个数用科学记数法表示为 ( ) A.2.
2、25 109 B.2.25 108 C.22.5 107 D.225 106 解析： 2.25 亿 =225 000 000=2.25 108. 答案： B 4.计算 (-2a2b)3的结果是 ( ) A.-6a6b3 B.-8a6b3 C.8a6b3 D.-8a5b3 解析： (-2a2b)3=-8a6b3. 答案： B 5.某合作学习小组的 6 名同学在一次数学测试中，成绩分布为 76， 88， 96， 82， 78， 96，这组数据的中位数是 ( ) A.82 B.85 C.88 D.96 解析： 将这组数据按从小到大的顺序排列为： 76， 78， 82， 88， 96， 96，处于中间
3、位置的两个数是 82 和 88， 那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 (82+88) 2=85. 答案： B. 6.不等式组 103 6 0xx，的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 103 6 0xx， ，由得： x 1，由得： x 2，在数轴上表示不等式的解集是： 答案： D 7.下列各式计算正确的是 ( ) A. 2 + 3 = 5 B.4 3 -3 3 =1 C.2 3 3 3 =6 3 D. 27 3 =3 解析： A. 2 + 3 ，无法计算，故此选项错误， B.4 3 -3 3 = 3 ，故此选项错误， C.2 3 3 3 =6 3=18，故
4、此选项错误， D. 27 3 = 273= 9 =3，此选项正确， 答案： D 8.已知一块圆心角为 300的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽 (接缝忽略不计 )，圆锥的底面圆的直径是 80cm，则这块扇形铁皮的半径是 ( ) A.24cm B.48cm C.96cm D.192cm 解析： 设这个扇形铁皮的半径为 rcm，由题意得 300180r= 80，解得 r=48. 故这个扇形铁皮的半径为 48cm， 答案： B 9.在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为 1， ABC 的三个顶点都是网格线的交点，已知 B， C 两点的坐标分别为 (-1， -1)， (1， -2)，将 ABC 绕
5、点 C 顺时针旋转 90，则点 A的对应点的坐标为 ( ) A.(4， 1) B.(4， -1) C.(5， 1) D.(5， -1) 解析： 如图， A 点坐标为 (0， 2)， 将 ABC 绕点 C 顺时针旋转 90，则点 A 的对应点的 A的坐标为 (5， -1). 答案： D. 10.二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的图象如图所示，对称轴为 x=1，给出下列结论： abc 0； b2=4ac； 4a+2b+c 0； 3a+c 0，其中正确的结论有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析： 由二次函数图象开口向上，得到 a 0；与 y 轴交于负半轴，得到 c
6、 0， 对称轴在 y 轴右侧，且2ba=1，即 2a+b=0， a 与 b 异号，即 b 0， abc 0，选项正确； 二次函数图象与 x 轴有两个交点， =b2-4ac 0，即 b2 4ac，选项错误； 原点 O 与对称轴的对应点为 (2， 0)， x=2 时， y 0，即 4a+2b+c 0，选项错误； x=-1 时， y 0， a-b+c 0，把 b=-2a 代入得： 3a+c 0，选项正确 . 答案： B 二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分 ) 11.已知 3a-2b=2，则 9a-6b= . 解析： 3a-2b=2， 9a-6b=3(3a-2b)=3 2
7、=6. 答案： 6 12.清明节期间，七 (1)班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈 .若每小组 7人，则余下 3 人；若每小组 8 人，则少 5 人，由此可知该班共有 名同学 . 解析： 设一共分为 x 个小组，该班共有 y 名同学， 根据题意得 7385yxyx，解得 859.xy， 该班共有 59 名同学 . 答案： 59 13.如图，在 Rt ABC 中， ACB=90，点 D 在 AB 边上，将 CBD 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处 .若 A=26，则 CDE= . 解析： 在 Rt ABC 中， ACB=90， A=26， B=64， 将
8、CBD 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处， ACB=90， BCD= ECD=45， CED= B=64， CDE=180 - ECD- CED=71 . 答案： 71 14. 把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀，从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是 . 解析： 设三张风景图片分别剪成相同的两片为： A1， A2， B1， B2， C1， C2； 如图所示： 所有的情况有 30 种，符合题意的有 6 种，故这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是： 15. 答案： 1515.
9、 菱形 ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点 A 的坐标为 (1， 0)，点 B 的坐标为(0， 3 )，动点 P 从点 A 出发，沿 A B C D A B的路径，在菱形的边上以每秒 0.5个单位长度的速度移动，移动到第 2015 秒时，点 P 的坐标为 . 解析： A(1， 0)， B(0， 3 )， AB= 2213 =2. 点 P 的运动速度为 0.5 米 /秒， 从点 A 到点 B 所需时间 = 20.5=4 秒，沿 A B C D A 所需的时间 =4 4=16秒 . 201516=125 15， 移动到第 2015秒和第 15 秒的位置相同，当 P运动到第 15秒时，如
10、图所示，可得 14APAD， 如图所示，根据相似的性质可知， PE APOD AD， PF DPOA DA， PE= 3 14= 34， PF=1 34， P(34， - 34). 答案： (34， - 34). 三、解答题 (本大题共 10 小题，满分 75 分 ) 16. 先化简，再求值： 1aa 22 1aa ，其中 a=5. 解析： 原式约分得到最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = 1aa 211aaa=1aa，当 a=5 时，原式 =54. 17.我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形” .如图，四边形 ABCD 是一个筝形，其中AB=CB， AD=CD，
11、请你写出与筝形 ABCD 的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论 . 解析： AC 与 BD 垂直，理由为：利用 SSS 得到三角形 ABD 与三角形 CBD 全等，利用全等三角形对应角相等得到 BD 为角平分线，利用三线合一性质即可得证 . 答案： AC BD，理由为： 在 ABD 和 CBD 中， AD CDBD BDAB CB ， ABD CBD(SSS)， ABO= CBO， AB=CB， BD AC. 18. 某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示 . (1)求这些队员的平均年龄； (2)下周的一场校际足球友谊赛中，该校男子足球队将会有 11 名队员作为首发队员出场，不考虑
12、其他因素，请你求出其中某位队员首发出场的概率 . 解析： (1)根据加权平均数的计算公式进行计算即可； (2)用首发队员出场的人数除以足球队的总人数即可求解 . 答案： (1)该校男子足球队队员的平均年龄是： (13 2+14 6+15 8+16 3+17 2+18 1) 22=330 22=15(岁 ). 故这些队员的平均年龄是 15 岁 . (2)该校男子足球队一共有 22 名队员，将会有 11 名队员作为首发队员出场， 不考虑其他因素，其中某位队员首发出场的概率为： P=12. 19.热气球的探测器显示，从热气球底部 A 处看一栋高楼顶部的俯角为 30，看这栋楼底部的俯角为 60，热气球
13、 A 处于地面距离为 420 米，求这栋楼的高度 . 解析： 过 A 作 AE BC，交 CB 的延长线于点 E，先解 Rt ACD，求出 CD 的长，则 AE=CD，再解 Rt ABE，求出 BE 的长，然后根据 BC=AD-BE 即可得到这栋楼的高度 . 答案： 过 A 作 AE BC，交 CB 的延长线于点 E， 在 Rt ACD 中， CAD=30， AD=420 米， CD=AD tan30 =420 33=140 3 (米 )， AE=CD=140 3 米 . 在 Rt ABE 中， BAE=30， AE=140 3 米， BE=AE tan30 =140 3 33=140(米 )
14、， BC=AD-BE=420-140=280(米 )， 答：这栋楼的高度为 280 米 . 20.已知关于 x 的一元二次方程 x2-4x+m=0. (1)若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； (2)若方程两实数根为 x1， x2，且满足 5x1+2x2=2，求实数 m 的值 . 解析： (1)若一元二次方程有两实数根，则根的判别式 =b2-4ac 0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围； (2)根据根与系数的关系得到 x1+x2=4， x1x2=m，再变形已知条件得到 (x1+x2)2-4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果 . 答案： (1)方程有实数根， =(-4
15、)2-4m=16-4m 0， m 4. (2) x1+x2=4， 5x1+2x2=2(x1+x2)+3x1=2 4+3x1=2， x1=-2， 把 x1=-2 代入 x2-4x+m=0 得： (-2)2-4 (-2)+m=0，解得： m=-12. 21. 如图， ABCD 放置在平面直角坐标系中，已知点 A(2， 0)， B(6， 0)， D(0， 3)，反比例函数的图象经过点 C. (1)求反比例函数的解析式； (2)将 ABCD 向上平移，使点 B 恰好落在双曲线上，此时 A， B， C， D 的对应点分别为 A，B， C， D，且 C D与双曲线交于点 E，求线段 AA的长及点 E 的坐
16、标 . 解析： (1)由 A 与 B 的坐标求出 AB 的长，根据四边形 ABCD 为平行四边形，求出 DC 的长，进而确定出 C 坐标，设反比例解析式为 y=kx，把 C 坐标代入求出 k 的值，即可确定出反比例解析式； (2)根据平移的性质得到 B 与 B横坐标相同，代入反比例解析式求出 B纵坐标得到平移的距离，即为 AA的长，求出 D纵坐标，即为 E 纵坐标，代入反比例解析式求出 E 横坐标，即可确定出 E 坐标 . 答案： (1) ABCD 中， A(2， 0)， B(6， 0)， D(0， 3)， AB=CD=4， DC AB， C(4， 3)， 设反比例解析式为 y=kx，把 C
17、坐标代入得： k=12，则反比例解析式为 y=12x. (2) B(6， 0)， 把 x=6 代入反比例解析式得： y=2，即 B (6， 2)， 平行四边形 ABCD 向上平移 2 个单位，即 AA =2， D (0， 5)， 把 y=5 代入反比例解析式得： x=125，即 E(125， 5). 22.如图， AC 是 O 的直径， OB 是 O 的半径， PA 切 O 于点 A， PB 与 AC 的延长线交于点 M， COB= APB. (1)求证： PB 是 O 的切线； (2)当 OB=3， PA=6 时，求 MB， MC 的长 . 解析： (1)根据切线的性质，可得 MAP=90，
18、根据直角三角形的性质，可得 P+M=90，根据余角的性质，可得 M+ MOB=90，根据直角三角形的判定，可得 MOB=90，根据切线的判定，可得答案； (2)根据相似三角形的判定与性质，可得 M B O B O MA M A P P B，根据解方程组，可得答案 . 答案： (1) PA 切 O 于点 A， MAP=90， P+M=90 . COB= APB， M+ MOB=90， MOB=90，即 OB PB， PB 经过直径的外端点， PB 是 O 的切线； (2) COB= APB， OBM= PAM， OBM APM， M B O B O MA M A P P B， 162MBMC ，
19、 3162MCMB ， 联立得 262 6 6M B M CM C M B ，解得 24MCMB，当 OB=3， PA=6 时， MB=4， MC=2. 23. 随着信息技术的快速发展，“互联网 +”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了 A， B 两种上网学习的月收费方式： 设每月上网学习时间为 x 小时，方案 A， B 的收费金额分别为 yA， yB. (1)如图是 yB与 x 之间函数关系的图象，请根据图象填空： m= ； n= . (2)写出 yA与 x 之间的函数关系式 . (3)选择哪种方式上网学习合算，为什么？ 解析： (1)由图象知： m
20、=10， n=50； (2)根据已知条件即可求得 yA与 x 之间的函数关系式为：当 x 25 时， yA=7；当 x 25 时，yA=7+(x-25) 0.01， (3)先求出 yB 与 x 之间函数关系为：当 x 50 时， yB=10；当 x 50 时， yB=10+(x-50)0.01=0.01x+9.5；然后分段求出哪种方式上网学习合算即可 . 答案： (1)由图象知： m=10， n=50. (2)yA与 x 之间的函数关系式为： 当 x 25 时， yA=7， 当 x 25 时， yA=7+(x-25) 60 0.01， yA=0.6x-8， yA= ()7 0 2 50 .6
21、8 2 5().xxx ，(3) yB与 x 之间函数关系为：当 x 50 时， yB=10， 当 x 50 时， yB=10+(x-50) 60 0.01=0.6x-20， 当 0 x 25 时， yA=7， yB=50， yA yB，选择 A 方式上网学习合算， 当 25 x 50 时 .yA=yB，即 0.6x-8=10，解得； x=30， 当 25 x 30 时， yA yB，选择 A 方式上网学习合算， 当 x=30 时， yA=yB，选择哪种方式上网学习都行， 当 30 x 50， yA yB，选择 B 方式上网学习合算， 当 x 50 时， yA=0.6x-8， yB=0.6x-
22、20， yA yB，选择 B 方式上网学习合算， 综上所述：当 0 x 30 时， yA yB，选择 A 方式上网学习合算， 当 x=30 时， yA=yB，选择哪种方式上网学习都行， 当 x 30 时， yA yB，选择 B 方式上网学习合算 . 24.已知 MAN=135，正方形 ABCD 绕点 A 旋转 . (1)当正方形 ABCD旋转到 MAN的外部 (顶点 A除外 )时， AM， AN分别与正方形 ABCD的边 CB，CD 的延长线交于点 M， N，连接 MN. 如图 1，若 BM=DN，则线段 MN 与 BM+DN 之间的数量关系是 ； 如图 2，若 BM DN，请判断中的数量关系
23、是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)如图 3，当正方形 ABCD 旋转到 MAN 的内部 (顶点 A 除外 )时， AM， AN 分别与直线 BD 交于点 M， N，探究：以线段 BM， MN， DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由 . 解析： (1)如图 1，先利用 SAS 证明 ADN ABM，得出 AN=AM， NAD= MAB，再计算出 NAD= MAB=12(360 -135 -90 )=67.5 .作 AE MN 于 E，根据等腰三角形三线合一的性质得出 MN=2NE， NAE=12 MAN=67.5 .再根据 AAS 证明 ADN AEN
24、，得出 DN=EN，进而得到 MN=BM+DN； 如图 2，先利用 SAS 证明 ABM ADP，得出 AM=AP， 1= 2= 3，再计算出 PAN=360- MAN-( 3+ 4)=360 -135 -90 =135 .然后根据 SAS证明 ANM ANP，得到 MN=PN，进而得到 MN=BM+DN； (2)如图 3，先由正方形的性质得出 BDA= DBA=45，根据等角的补角相等得出 MDA=NBA=135 .再证明 1= 3.根据两角对应相等的两三角形相似得出 ANB MAD，那么BN ABAD MD ，又 AB=AD= 22 DB ，变形得出 BD2=2BN MD ，然后证明(MD
25、+BD)2+(BD+BN)2=(DM+BD+BN)2，即 MB2+DN2=MN2，根据勾股定理的逆定理即可得出以线段BM， MN， DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形 . 答案： (1)如图 1，若 BM=DN，则线段 MN 与 BM+DN 之间的数量关系是 MN=BM+DN.理由如下： 在 ADN 与 ABM 中， 90A D A BA D N A B MD N B M ， ADN ABM(SAS)， AN=AM， NAD= MAB， MAN=135， BAD=90， NAD= MAB=12(360 -135 -90 )=67.5， 作 AE MN 于 E，则 MN=2NE， NAE=
26、12 MAN=67.5 . 在 ADN 与 AEN 中， 906 7 . 5A D N A E NN A D N A EA N A N ， ADN AEN(AAS)， DN=EN， BM=DN， MN=2EN， MN=BM+DN. 如图 2，若 BM DN，中的数量关系仍成立 .理由如下：延长 NC 到点 P，使 DP=BM，连结AP. 四边形 ABCD 是正方形， AB=AD， ABM= ADC=90 . 在 ABM 与 ADP 中， 90A B A DA B M A D PB M D P ， ABM ADP(SAS)， AM=AP， 1= 2= 3， 1+ 4=90， 3+ 4=90， M
27、AN=135， PAN=360 - MAN-( 3+ 4)=360 -135 -90 =135 . 在 ANM 与 ANP 中， 135A M A PM A N P A NA N A N ， ANM ANP(SAS)， MN=PN， PN=DP+DN=BM+DN， MN=BM+DN. (2)如图 3，以线段 BM， MN， DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形 .理由如下： 四边形 ABCD 是正方形， BDA= DBA=45， MDA= NBA=135 . 1+ 2=45， 2+ 3=45， 1= 3. 在 ANB 与 MAD 中， 13513A B N M D A ， ANB MAD，
28、 BN ABAD MD， AB2=BN MD， AB= 22DB， BN MD=( 22DB)2=12BD2， BD2=2BN MD， MD2+2MD BD+BD2+BD2+2BD BN+BN2=MD2+BD2+BN2+2MD BD+2BD BN+2BN MD， (MD+BD)2+(BD+BN)2=(DM+BD+BN)2，即 MB2+DN2=MN2， 以线段 BM， MN， DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形 . 25.已知抛物线经过 A(-3， 0)， B(1， 0)， C(2， 52)三点，其对称轴交 x 轴于点 H，一次函数 y=kx+b(k 0)的图象经过点 C，与抛物线交于另一
29、点 D(点 D 在点 C 的左边 )，与抛物线的对称轴交于点 E. (1)求抛物线的解析式； (2)如图 1，当 S EOC=S EAB时，求一次函数的解析式； (3)如图 2，设 CEH=， EAH=，当时，直接写出 k 的取值范围 . 解析： (1)把 A(-3， 0)， B(1， 0)， C(2， 52)代入 y=ax2+bx+c，解方程组即可； (2)把 C 点坐标代入直线 CD，由 S EOC=S EAB 得关于 k、 b 的方程组，解方程组即可； (3)设 CD 的解析式为 y=kx+52-2k，当 y=0 和 x=-1 时，求出 FH、 EH、 AH，根据 tan tan列不等式
30、可求出 k 的取值范围 . 答案： (1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c， 抛物线经过 A(-3， 0)， B(1， 0)， C(2， 52)三点， 9 3 005422a b cabca b c ，12132abc ，抛物线的解析式为 y=12x2+x- 32. (2)如图所示， 将 C 点坐标代入直线 CD，得 2k+b=52 . 当 x=0 时， y=b，即 F(0， b)， 当 x=-1 时， y=-k+b，即 E(-1， -k+b). 由 S EOC=S EAB时，得 12 2-(-1)b=121-(-3)(-k+b) . 联立方程，得 5223 22kbb k b ，解得
31、5125.3kb ，当 S EOC=S EAB时，一次函数的解析式为 y=512x+53. (3)当 E 点在 x 轴上方时，如图 2 所示， 当 =时， EAH=90， AEC=90， kAE=-1k， A(-3， 0)， E(-1， -k+b)，2kb=-1k，即 k2-bk-2=0， 联立方程 2 20522k bkkb ，解得 k=5 7312(5 7312舍去 )， 随着 E 点向下移动， CEH 的度数越来越大， EAH 的读数越来越小，当 E 点和 H 点重合时 (如图 3 所示 )，和均等于 0，此时联立方程 52 20kbkb ，解得5656kb ，因此当 5 7312 k 56时， . 当 E 点在 x 轴下方时，如图 4 所示， 当 =时， EAH=90， AEC=90， 根据可得此时 k=5 7312(k=5 7312舍去 )， 随着 E 点向下移动， CEH 的度数越来越小， EAH 的读数越来越大， 因此当 56 k 5 7312时， . 综上所述可得，当时，可得取值范围为 5 7312 k 56或 56 k 5 7312时 .
