1、考研数学一-210 及答案解析(总分：112.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：15.00)1. （分数：1.00）填空项 1:_2. （分数：4.00）填空项 1:_3. （分数：1.00）填空项 1:_4. （分数：4.00）填空项 1:_5.设 X1，X 2，X 2n是取自标准正态总体的简单随机样本，已知统计量 Y= （分数：4.00）填空项 1:_6. （分数：1.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：20.00)7. （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.9. （分数：1.00）A.B.C.D.10.
2、 （分数：1.00）A.B.C.D.11.设 f(x)在a，b有连续导数，x 0(a，b)是 f(x)在(a，b)的唯一驻点，又 f(a)0，f(b)0，则点x=x0是 A. f(x)的极小值点 B. f(x)在a，b的最小值点 C. f(x)在a，b的最大值点 D. f(x)的极大值点，但不是 f(x)在a，b的最大值点（分数：1.00）A.B.C.D.12. （分数：4.00）A.B.C.D.13. （分数：1.00）A.B.C.D.14. （分数：4.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：77.00)15.设函数 f(x，y)在闭圆域 x2+y21 上有连续一阶偏导数
3、，且|f(x，y)|1，求证：在开圆域 x2+y21内至少存在一点(x 0，y 0)，使f x(x0，y 0)2+f y(x0，y 0)24（分数：10.00）_16.设二维随机变量(X，Y)服从区域：-1x1，0y2 上的均匀分布，求二次型 （分数：11.00）_17. （分数：12.00）_18. （分数：11.00）_19. （分数：1.00）_20.已知 X服从参数为 1的指数分布，Y=|X|，试求：()(X，Y)的分布函数 F(x，y)；()关于 X和关于 Y的边缘分布函数 FX(x)和 FY(y)；()X，Y 的相关系数 XY（分数：11.00）_21. （分数：10.00）_22
4、. （分数：1.00）_23. （分数：10.00）_考研数学一-210 答案解析(总分：112.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：15.00)1. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*2. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*3. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：18）解析：*4. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：*5.设 X1，X 2，X 2n是取自标准正态总体的简单随机样本，已知统计量 Y= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：应填 1）解析：解析 * 所以*6. （
5、分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*二、B选择题/B(总题数：8，分数：20.00)7. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*8. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*9. （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：10. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*11.设 f(x)在a，b有连续导数，x 0(a，b)是 f(x)在(a，b)的唯一驻点，又 f(a)0，f(b)0，则点x=x0是 A. f(x)的极小值点 B. f(x)在a，b的最小值点 C. f(x)在a，b的最大值点 D. f(x)的极大值点，但不是 f(x)在a，b的最大值点（分数：
6、1.00）A.B.C. D.解析：解析 由条件知当 x(a，b)且 xx 0时，f(x)0所以当 x(a，x 0)时，f(x)0(否则*，使得 f(x1)0，由 f(a)0 及*在*内存在 f(x)的驻点，与已知矛盾)同理，当 x(x 0，b)时，f(x)0于是 xa，x 0时，f(x)单调上升；xx 0，b时，f(x)单涮下降因此，f(x 0)是 f(x)在a，b的最大值应选(C)12. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*13. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：*14. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*三、B解答题/B(总题数：9，分数：77.00)15.设函
7、数 f(x，y)在闭圆域 x2+y21 上有连续一阶偏导数，且|f(x，y)|1，求证：在开圆域 x2+y21内至少存在一点(x 0，y 0)，使f x(x0，y 0)2+f y(x0，y 0)24（分数：10.00）_正确答案：(证 1)若 f(0，0)0，令*则*在 D上有最大值，但*则*的最大值必可在 D内一点(x 0，y 0)取到，则*即 fx(x0，y 0)-2x0=0，f y(x0，y 0)-2y0=0则 f2x(x0，y 0)+f2y(x0，y 0)=4(x20+y20)42)若 f(0，0)0，令*则*在*上有最小值，但*则*的最小值必可在 D内一点(x 0，y 0)取到则*即
8、 fx(x0，y 0)+2x0=0fy(x0，y 0)+2y0=0则 f2x(x0，y 0)+f2y(x0，y 0)=4(x20+y20)4故原题得证)解析：16.设二维随机变量(X，Y)服从区域：-1x1，0y2 上的均匀分布，求二次型 （分数：11.00）_正确答案：(详解 二次型*的矩阵为*，没 A的特征值为 1， 2， 3，则存在正交矩阵 Q，作变换X=QZ，将二次型 f化为*，必须 A的特征值 1， 2， 3都大于零，即 A为正定矩阵又 A为正定矩阵的充要条件为 A的所有顺序主子式全大于零，即 Y-2X20所以，概率为p=PY-2X20又二维随机变量(X，Y)的概率密度为*所以*，其
9、中 D：2x 2y2有*)解析：解析 二次型可通过正交变换化为标准形*，其中 1， 2， 3为特征值要使二次型*为正定二次型，必须 1， 2， 3都大于零所以，所求概率转化为二次型为正定的概率评注 本题综合了二次型标准化问题：二次型正定性、二维随机变量的概率问题17. （分数：12.00）_正确答案：(*)解析：18. （分数：11.00）_正确答案：(* *)解析：19. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：20.已知 X服从参数为 1的指数分布，Y=|X|，试求：()(X，Y)的分布函数 F(x，y)；()关于 X和关于 Y的边缘分布函数 FX(x)和 FY(y)；()X，Y 的相关系数 XY（分数：11.00）_正确答案：(分析与解答()*()*()*，DY=EY 2-(EY)2=EX2-(EX)2=DX*故 XY=1评注 本题的关键在于 XE(1)，而 x的密度函数为*X 取负值的概率为 0，故实际求解过程中把|X|就可以看成为 X)解析：21. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：22. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：23. （分数：10.00）_正确答案：(由于 * * 注：可用定义求二阶偏导数： *)解析：解析 利用偏导数定义解答
