1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 210 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 收敛，则下列正确的是( )二、填空题2 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则a=_，b=_3 设 f(x)连续可导，f(0)=0 且 f(0)=b，若 F(x)= 在 x=0 处连续，则 A=_4 =_5 点 M(3，一 4，4)到直线 的距离为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 求 7 求 8 设 f(x)= 且 f(0)存在，求 a，b 的值9 由方程 sin(xy)+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x)，求 x=010 设 f(x)在0，1上
2、连续，在 (0，1)内可导，且 f(1)=0，证明：存在 (0，1)，使得 f()sin+f()cos=011 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0，证明：存在， (1，2)，使得 11 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：12 存在 (a，b) ，使得 f()=2f()13 存在 (a，b)，使得 f()+f()=014 求 15 求 16 求曲线 L： (a0)所围成的平面区域的面积17 计算下列定积分：18 设曲线 y=a+xx 3 ，其中 a0，当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面
3、积和在 x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a19 求曲面：x 2 一 y2+2z2=8 上与平面 ：xy+2z 一 5=0 平行的切平面20 讨论 f(x， y)= 在点 (0，0) 处的连续性、可偏导性及可微性21 计算 dxdy，其中 D=(x ，y)x+y1，x 2+y2122 计算 sinx2cosy2dxdy，其中 D：x 2+y2a2(x0， y0)23 ，其中 L 为由 x 轴，x 2+y2=4 及 y=x 所围成的第一封限内的区域的边界24 计算 y(xz)dydz+x(zy)dxdy，其中为 z= 位于平面 z=1 及 z=2 之间部分的外侧25 设 an 为发散
4、的正项级数，令 Sn=a1+a2+an(n=1，2，)证明：收敛26 设位于第一卦限的曲线 y=f(x)上任一点 P(x，y)的切线在 x 轴上的截距等于该点法线在 y 轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线27 求微分方程 cosy cosxsin2y=siny 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 210 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 发散；(B)不对，如 也收敛；(C)不对，如 发散，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题2 【正确答案】 a=1，b=一 1；【试题解析】 f(0+
5、0)= =3+2b，f(0)=1，f(0 一 0)=，因为 f(x)在 x=0 处连续，所以f(0+0)=f(0)=f(00)，故 a=1，b= 一 1【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 a b【试题解析】 因为 F(x)在x=0 处连续，所以 A=a+b【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 点 M0(4，5 ，2) 在直线上，s= 2，一 2，1为直线的方向向量，则点 M(3，一 4，4)到直线的距离为 d= 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 【知识模块】 高等数
6、学7 【正确答案】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 f(0 一 0)=b，f(0)=f(0+0)=0，由 f(x)在 x=0 处连续得 b=0；f (0)=a，f (0)= =2因为f(0)存在，所以 f (0)=f (0)，故 a=2【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 x=0 代入 sin(xy)+ln(y 一 x)=x 得 y=1，sin(xy)+ln(y 一 x)=x 两边关于 x 求导得 cos(xy) =1将 x=0，y=1 代入得 =1【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 令 (x)=f(x)sinx， ( 0)= ( 1)=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得
7、()=0，而 (x)=f(x)sinx+f(x)cosx，故 f()sin+f()cos=0【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 令 F(x)=lnx，F (x)= 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得由拉格朗日中值定理得 ln2 一 lnl= ，其中 (1，2)，f(2)一 f(1)=f()(2 一 1)=f()，其中 (1，2)，故 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 令 (x)=ex2 f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0， 而 (x)=ex2 f(x)一 2xf(x)且
8、ex2 0，故 f()=2f()【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=xf(x)+f(x)，故 f()+f()=0【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 由A(x 一 4)(x 一 3)2+B(x 一 2)(x 一 3)2+C(x 一 2)(x 一 3)(x 一 4)D(x 一 2)(x 一 4)=1得 ，C=0，D=1，【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 L： (0t2)，第一卦限的面积为故所求
9、的面积为 A=4A1= 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 (1)(2)(3)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 设曲线 y=axx 3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，( ) ，由条件得一 0(a+xx3)dx=(a+xx3)dx，移项得 0(a+xx3)dx+(a+xx3)dx=0(a+xx3)dx=0 (4a+23)=0因为 0，所以 4a+2 一 3=0又因为(， 0)为曲线 y=a+xx3 与 x 轴的交点，所以有 a+3=0，从而有【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 设切点坐标为(x，y，z) ，法向量为 n=2x，一 2y，4z=2x，一 y，2z，由 =t
10、得 x=t，y=t，z=t，代入曲面得 t=2，切点为M1(一 2，一 2，一 2)及 M2(2，2，2)，所求的切平面为 1：(x+2)一(y+2)+2(z+2)=0，即 1：x y+2z+4=0， 2：(x 一 2)一(y 一 2)+2(z 一 2)=0，即 2：xy+2z 一4=0【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 因为=0，所以=0=f(0，0)，即函数 f(x，y)在点(0，0)处连续因为=0，所以 fx(0，0)=0，根据对称性得 fy(0，0)=0 ，即函数f(x，y)在(0，0)处可偏导 z=fx(0，0)xf y(0，0)y=f(x，y)一 fx(0，0)xf y(0，
11、0)y= ，因为 不存在，所以函数 f(x，y)在(0，0)不可微【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 由对称性得 I= dxdy，则【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由对称性得 I= sinx2cosy2dxdy= siny2cosx2dxdy，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 L1：y=0(0x2)，L2： ，L 3：y=x(0x )，【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 1：z=1(x 2+y21)取下侧， 2：z=2(x 2+y24)取上侧，所以原式=0【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 显然S n n=1。单调增加，因为级数=，对交错级数收敛【知识模
12、块】 高等数学26 【正确答案】 切线为 Yy=y(X 一 x)，令 Y=0 得 X=x 一 ；法线为 Yy=一(X 一 x)，令 X=0 得 Y=y ，由题意得 ，令 = ，即积分得 一 +2ln(+1)=一 lnx+C，初始条件代入得 C=0，所求曲线为 =一lnx【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 cosy cosxsin2y=siny 得 cosxsin2y=siny令=siny，则 一 =cosx 2，令 1 =z，则 z=cosx，解得 z=(cosx)edxdxCe dx =一e xcosxdx+Cex= ex(sinxcosx)+Ce x =Cex 一 (sinx+cosx)则 (sinx+cosx)【知识模块】 高等数学
