1、2014 年广西省贺州市中考真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 36 分 ) 1.(3 分 )在 -1、 0、 1、 2 这四个数中，最小的数是 ( ) A. 0 B. -1 C. 1 D. 1 解析 ： -1 0 1 2， 答案： B. 2.(3 分 )使分式 有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A. x1 B. x=1 C. x1 D. x1 解析 ： 根据题意得： x-10 ， 解得： x1 . 答案： A. 3.(3 分 )如图， OAOB ，若 1=55 ，则 2 的度数是 ( ) A. 35 B. 40 C. 45 D. 60 解析 ： OAOB ， AOB=90 ，即
2、2+1=90 ， 2=35 ， 答案： A. 4.(3 分 )未来三年，国家将投入 8450 亿元用于缓解群众 “ 看病难、看病贵 ” 的问题 .将 8450亿元用科学记数法表示为 ( ) A. 0.84510 4亿元 B. 8.4510 3亿元 C. 8.4510 4亿元 D. 84.510 2亿元 解析 ： 将 8450 亿元用科学记数法表示为 8.4510 3亿元 . 答案： B. 5.(3 分 )A、 B、 C、 D 四名选手参加 50 米决赛，赛场共设 1， 2， 3， 4 四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若 A 首先抽签，则 A 抽到 1 号跑道的概率是 ( ) A.
3、 1 B. C. D. 解析 ： 赛场共设 1， 2， 3， 4 四条跑道， A 首先抽签，则 A 抽到 1 号跑道的概率是： . 答案： D. 6.(3 分 )下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A. 等腰梯形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 正五边形 解析 ： A、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故 A 选项错误； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 选项错误； C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故 C 选项正确； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项错误 . 答案： C. 7.(3 分 )不等式 的解集在数轴
4、上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： ，解得 ， 即： -1 x 3， 在数轴上表示不等式的解集： . 答案： A. 8.(3 分 )如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体，它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从正面看，第一层是两个正方形，第二层左边是一个正方形， 答案： C. 9.(3 分 )如图，在等腰梯形 ABCD 中， ADBC ， CA 平分 BCD ， B=60 ，若 AD=3，则梯形ABCD 的周长为 ( ) A. 12 B. 15 C. 12 D. 15 解析 ： 过点 A 作 AECD ，交 BC 于点 E， 梯形 ABCD 是等
5、腰梯形， B=60 ， ADBC ， 四边形 ADCE 是平行四边形，AEB=BCD=60 ， CA 平分 BCD ， ACE= BCD=30 ， AEB 是 ACE 的外角， AEB=ACE+EAC ，即 60=30+EAC ， EAC=30 ，AE=CE=3 ， 四边形 ADEC 是菱形， ABE 中， B=AEB=60 ， ABE 是等边三角形， AB=BE=AE=3 ， 梯形 ABCD 的周长 =AB+(BE+CE)+CD+AD=3+3+3+3+3=15. 答案： D. 10.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c(a， b， c 是常数，且 a0 )的图象如图所示，则一次函数
6、 y=cx+ 与反比例函数 y= 在同一坐标系内的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 抛物线开口向上， a 0， 抛物线的对称轴为直线 x=- 0， b 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c 0， 一次函数 y=cx+ 的图象过第一、二、四象限，反比例函数 y= 分布在第一、三象限 . 答案： D. 11.(3 分 )如图，以 AB 为直径的 O 与弦 CD 相交于点 E，且 AC=2， AE= ， CE=1.则 的长是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 连接 OC， ACE 中， AC=2， AE= ， CE=1， AE 2+CE2=AC2， ACE 是
7、直角三角形，即 AECD ， sinA= = ， A=30 ， COE=60 ， =sinCOE ，即 = ，解得 OC= ， AECD ， = ， = = = . 答案： B. 12.(3 分 )张华在一次数学活动中，利用 “ 在面积一定的矩形中，正方形的周长最短 ” 的结论，推导出 “ 式子 x+ (x 0)的最小值是 2” .其推导方法如下：在面积是 1 的矩形中设矩形的一边长为 x，则另一边长是 ，矩形的周长是 2(x+ )；当矩形成为正方形时，就有 x=(0 0)，解得 x=1，这时矩形的周长 2(x+ )=4 最小，因此 x+ (x 0)的最小值是 2.模仿张华的推导，你求得式子
8、(x 0)的最小值是 ( ) A. 2 B. 1 C. 6 D. 10 解析 ： x 0， 在原式中分母分子同除以 x，即 =x+ ， 在面积是 9 的矩形中设矩形的一边长为 x，则另一边长是 ，矩形的周长是 2(x+ )； 当矩形成为正方形时，就有 x= ， (0 0)，解得 x=3， 这时矩形的周长 2(x+ )=12 最小，因此 x+ (x 0)的最小值是 6. 答案： C 二、填空题 (每小题 3 分，共 18 分 ) 13.(3 分 )因式分解： a3-4a= . 解析 ： a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2). 答案： a(a+2)(a-2). 14.(3 分 )已知
9、 P1(1， y1)， P2(2， y2)是正比例函数 y= x 的图象上的两点，则 y1 y2(填“ ” 或 “ ” 或 “=” ). 解析 ： P 1(1， y1)， P2(2， y2)是正比例函数 y= x 的图象上的两点， y 1= ， y2= 2= ， ， y 1 y2. 答案： . 15.(3 分 )近年来， A 市民用汽车拥有量持续增长， 2009 年至 2013 年该市民用汽车拥有量 (单位：万辆 )依次为 11， 13， 15， 19， x.若这五个数的平均数为 16，则 x= . 解析 ： (11+13+15+19+x)5=16 ，解得： x=22， 答案： 22. 16.
10、(3 分 )已知关于 x 的方程 x2+(1-m)x+ =0 有两个不相等的实数根，则 m的最大整数值是 0 . 解析 ： 根据题意得 = (1-m)2-4 0，解得 m ，所以 m 的最大整数值为 0. 答案： 0. 17.(3 分 )如图，等腰 ABC 中， AB=AC， DBC=15 ， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则A 的度数是 . 解析 ： MN 是 AB 的垂直平分线， AD=BD ， A=ABD ， DBC=15 ， ABC=A+15 ， AB=AC ， C=ABC=A+15 ， A+A+15+A+15=180 ，解得 A=50 . 答案： 50 . 18.(3
11、 分 )网格中的每个小正方形的边长都是 1， ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA= . 解析 ： 如图，作 ADBC 于 D， CEAB 于 E，由勾股定理得 AB=AC=2 ， BC=2 ， AD=3 ， 可以得知 ABC 是等腰三角形，由面积相等可得， BC AD= AB CE， 即 CE= = ， sinA= = = ， 答案： . 三、计算题 (共计 66 分 ) 19.(8 分 ) (1)计算： ( -2)0+(-1)2014+ -sin45 ； (2)先化简，再求值： (a2b+ab) ，其中 a= +1， b= -1. 解析 ： (1)原式第一项利用零指数幂法则计算，第
12、二项利用乘方的意义化简，第三项利用二次根式性质化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； (2)原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 a 与 b 的值代入计算即可求出值 . 答案： (1)原式 =1+1+ - =2； (2)原式 =ab(a+1) =ab， 当 a= +1， b= -1 时，原式 =3-1=2. 20.(6 分 )已知关于 x、 y 的方程组 的解为 ，求 m、 n 的值 . 解析 ： 将 x 与 y 的值代入方程组计算即可求出 m 与 n的值 . 答案： 将 代入方程组得： ， - 得： n= ，即 n=1， 将 n=1 代入 得： m=1，则 . 21.(
13、7 分 )如图，四边形 ABCD 是平行四边形， E、 F 是对角线 BD 上的点， 1=2 . (1)求证： BE=DF； (2)求证： AFCE . 解析 ： (1)利用平行四边形的性质得出 5=3 ， AEB=4 ，进而利用全等三角形的判定得出即可； (2)利用全等三角形的性质得出 AE=CF，进而得出四边形 AECF 是平行四边形，即可得出答案 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ， ABCD ， 5=3 ， 1=2 ， AEB=4 ， 在 ABE 和 CDF 中， ， ABECDF (AAS)， BE=DF ； (2)由 (1)得 ABECDF ， AE
14、=CF ， 1=2 ， AECF ， 四边形 AECF 是平行四边形， AFCE . 22.(8 分 )学习成为现代人的时尚，某市有关部门统计了最近 6 个月到图书馆的读者的职业分布情况，并做了下列两个不完整的统计图 . (1)在统计的这段时间内，共有 万人次到图书馆阅读，其中商人占百分比为 %； (2)将条形统计图补充完整； (3)若 5 月份到图书馆的读者共 28000 人次，估计其中约有多少人次读者是职工？ 解析 ： (1)根据学生的人数除以占的百分比，求出总人数；求出商人占的百分比即可； (2)求出职工的人数，补全条形统计图即可； (3)由职工的百分比乘以 28000 即可得到结果 .
15、 答案： (1)根据题意得： 225%=8 (万人次 )，商人占的百分比为 100%=12.5% ； (2)职工的人数为 8-(2+1+2)=3(万人次 )， 补全条形统计图，如图所示： (3)根据题意得： 100%28000=10500 (人次 )， 则估计其中约有 10500 人次读者是职工 . 故答案为： (1)8； 12.5 23.(7 分 )马小虎的家距离学校 1800 米，一天马小虎从家去上学，出发 10 分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校 200 米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的 2 倍，求马小虎的速度 . 解析 ： 设马小虎的速度
16、为 x 米 /分，则爸爸的速度是 2x 米 /分，依据等量关系：马小虎走 1600米的时间 =爸爸走 1600 米的时间 +10 分钟 . 答案： 设马小虎的速度为 x 米 /分，则爸爸的速度是 2x 米 /分，依题意得 = +10， 解得 x=80. 经检验， x=80 是原方程的根 . 答：马小虎的速度是 80 米 /分 . 24.(8 分 )如图，一艘海轮在 A 点时测得灯塔 C 在它的北偏东 42 方向上，它沿正东方向航行 80 海里后到达 B 处，此时灯塔 C 在它的北偏西 55 方向上 . (1)求海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离 (结果精确到 0.1)； (2)求海轮在 B
17、 处时与灯塔 C 的距离 (结果保留整数 ). (参考数据： sin550.819 ， cos550.574 ， tan551. 428， tan420.900 ，tan350.700 ， tan481.111 ) 解析 ： (1)过 C 作 AB 的垂线，设垂足为 D，则 CD 的长为海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离； (2)在 RtBCD 中，根据 55 角的余弦值即可求出海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离 . 答案： (1)C 作 AB 的垂线，设垂足为 D， 根据题意可得： 1=2=42 ， 3=4=55 ， 设 CD 的长为 x 海里， 在 RtACD 中， tan42= ，则
18、 AD=x tan42 ， 在 RtBCD 中， tan55= ，则 BD=x tan55 ， AB=80 ， AD+BD=80 ， x tan42+x tan55=80 ， 解得： x34.4 ， 答：海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离是 34.4 海里； (2)在 RtBCD 中， cos55= ， BC= 60 海里， 答：海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离是 60 海里 . 25.(10 分 )如图， AB， BC， CD 分别与 O 相切于 E， F， G.且 ABCD .BO=6cm， CO=8cm. (1)求证： BOCO ； (2)求 BE 和 CG 的长 . 解析 ： (
19、1)由 ABCD 得出 ABC+BCD=180 ，根据切线长定理得出 OB、 OC平分 EBF 和 BCG ，也就得出了 OBC+OCB= (ABC+DCB )= 180=90 .从而证得 BOC 是个直角，从而得出 BOCO ； (2)根据勾股定理求得 AB=10cm，根据 RtBOFRtBCO 得出 BF=3.6cm，根据切线长定理得出 BE=BF=3.6cm， CG=CF，从而求得 BE 和 CG 的长 . 答案： (1)ABCDABC+BCD=180 AB 、 BC、 CD 分别与 O 相切于 E、 F、 G， BO 平分 ABC ， CO 平分 DCB ， OBC= ， OCB= ，
20、 OBC+OCB= (ABC+DCB )= 180=90 ， BOC=90 ， BOCO . (2)连接 OF，则 OFBC ， RtBOFRtBCO ， = ， 在 RtBOF 中， BO=6cm， CO=8cm， BC= =10cm， = ， BF=3.6cm ， AB 、 BC、 CD 分别与 O 相切， BE=BF=3.6cm ， CG=CF， CF=BC -BF=10-3.6=6.4cm.CG=CF=6.4cm . 26.(12 分 )二次函数图象的顶点在原点 O，经过点 A(1， )；点 F(0， 1)在 y 轴上 .直线 y=-1与 y 轴交于点 H. (1)求二次函数的解析式；
21、 (2)点 P是 (1)中图象上的点，过点 P作 x轴的垂线与直线 y=-1交于点 M，求证： FM平分 OFP ； (3)当 FPM 是等边三角形时，求 P 点的坐标 . 解析 ： (1)根据题意可设函数的解析式为 y=ax2，将点 A 代入函数解析式，求出 a 的值，继而可求得二次函数的解析式； (2)过点 P 作 PBy 轴于点 B，利用勾股定理求出 PF，表示出 PM，可得 PF=PM， PFM=PMF ，结合平行线的性质，可得出结论； (3)首先可得 FMH=30 ，设点 P 的坐标为 (x， x2)，根据 PF=PM=FM，可得关于 x 的方程，求出 x 的值即可得出答案 . 答案
22、： (1) 二次函数图象的顶点在原点 O， 设二次函数的解析式为 y=ax2， 将点 A(1， )代入 y=ax2得： a= ， 二次函数的解析式为 y= x2； (2) 点 P 在抛物线 y= x2上， 可设点 P 的坐标为 (x， x2)， 过点 P 作 PBy 轴于点 B，则 BF= x2-1， PB=x， RtBPF 中， PF= = x2+1， PM 直线 y=-1， PM= x2+1， PF=PM ， PFM=PMF ， 又 PMy 轴， MFH=PMF ， PFM=MFH ， FM 平分 OFP ； (3)当 FPM 是等边三角形时， PMF=60 ， FMH=30 ， 在 RtMFH 中， MF=2FH=22=4 ， PF=PM=FM ， x2+1=4，解得： x=2 ， x2= 12=3 ， 满足条件的点 P 的坐标为 (2 ， 3)或 (-2 ， 3).
