1、考研数学一-概率论与数理统计数理统计的基本概念、参数估计、假设检验及答案解析(总分：96.04，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：8.00)1.设总体 XN(， 2)，从 X中抽得容量为 16的简单样本，S 2为样本方差，则 D(S2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_2.设 XF(n，n)，且 P(XA)=0.3，则 （分数：2.00）填空项 1:_3.已知一批零件的长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40cm，则 的置信度为 0.95的置信区间是_ (注：标准正态分布函数值 (1.96)=0.975，(
2、1.645)=0.95)（分数：1.00）填空项 1:_4.设 X1，X 2，X m为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和 S2分别为样本均值和样本方差若 （分数：1.00）填空项 1:_5.设总体 X的概率密度为其中 是未知参数，X 1，X 2，X n为来自总体 X的简单随机样本若 （分数：1.00）填空项 1:_6.设 X1，X n是来自总体 N(， 2)的简单样本，其中 ， 2均未知记（分数：1.00）填空项 1:_二、B解答题/B(总题数：10，分数：88.00)设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Yi=Xi- （分数
3、：20.00）(1).Yi的方差 DYi，i=1，2，n；（分数：2.00）_(2).Y1与 Yn的协方差 Cov(Y1，Y 2)（分数：2.00）_(3).设总体 X具有概率密度： 从此总体中抽得简单样本 X1，X 2，X 3，X 4，求 T= （分数：2.00）_(4).设总体 XN(， 2)，X 1，X n为取自 X的简单样本，记 （分数：2.00）_(5).设总体 XN(72，100)，为使样本均值大于 70的概率不小于 0.95，样本容量 n至少应取多大?(1.645)=0.95（分数：2.00）_(6).从一正态总体中抽取容量为 10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在 4以
4、上的概率为0.02，求总体的标准差(2.33)=0.99)（分数：2.00）_(7).设总体 XN(， 2)，从 X中抽得样本 X1，X n，X n+1，记 ，试求 （分数：2.00）_(8).设 k个总体 N(， 2)(i=1，k)相互独立，从第 i个总体中抽得简单样本：X i1，X i2，X ini，记 = ，i=1，k)又记 试求 （分数：2.00）_(9).从总体 XN(0， 2)中抽得简单样本 X1，X n+m，求 （分数：2.00）_(10).设总体 X的概率密度为（分数：2.00）_设总体 X的概率密度为（分数：8.00）(1).求 的矩估计量 （分数：2.00）_(2).求 （
5、分数：2.00）_(3).设某种元件的使用寿命 X的概率密度为（分数：2.00）_(4).设总体 X的概率分别为 其中 （分数：2.00）_设总体 X的概率密度为其中 0 是未知参数从总体 X中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，记（分数：6.00）(1).求总体 X的分布函数 F(x)；（分数：2.00）_(2).求统计量 （分数：2.00）_(3).如果用 （分数：2.00）_设总体 X的分布函数为：（分数：6.00）(1). 的矩估计量；（分数：2.00）_(2). 的最大似然估计量（分数：2.00）_(3).设总体 X的概率密度为（分数：2.00）_设总体 X的概率密度为其中参数
6、(01)未知，X 1，X 2，X n是来自总体 X的简单随机样本，（分数：4.00）(1).求参数 的矩估计量 （分数：2.00）_(2).判断 （分数：2.00）_设 X1，X 2，X n是总体 N(， 2)的简单随机样本，记 （分数：4.00）(1).证明 T是 2的无偏估计量；（分数：2.00）_(2).当 =0，=1 时，求 DT（分数：2.00）_设总体 X的概率密度为（分数：6.00）(1).求参数 的矩估计量；（分数：2.00）_(2).求参数 的最大似然估计量（分数：2.00）_(3).设总体 X的概率分布为，其中参数 (0，1)未知以 Ni表示来自总体 X的简单随机样本(样本
7、容量为 n)中等于 i的个数(i=1，2，3)试求常数 a1，a 2，a 3，使 （分数：2.00）_设 X1，X 2，X n为来自正态总体 N( 0， 2)的简单随机样本，其中已知 0， 20 未知 （分数：4.00）(1).求参数 2的最大似然估计 （分数：2.00）_(2).计算 和 （分数：2.00）_设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N(， 2)与 N(，2 2)，其中 是未知参数且 0记 Z=X-Y（分数：8.00）(1).求 Z的概率密度 f(z， 2)；（分数：2.00）_(2).设 Z1，Z 2，Z n为来自总体 Z的简单随机样本，求 2的最大似然估计量 （分数
8、：2.00）_(3).证明 （分数：2.00）_(4).设总体 X的概率密度为（分数：2.00）_设总体 X的分布函数为（分数：22.04）(1).求 EX与 EX2；（分数：1.16）_(2).求 的最大似然估计量 （分数：1.16）_(3).是否存在实数 a，使得对任何 0，都有 （分数：1.16）_(4).设总体 XB(m，p)，其中 m已知，p 未知从 X中抽得简单样本 X1，X n，试求 p的矩估计和最大似然估计（分数：1.16）_(5).设总体的密度为：（分数：1.16）_(6).设总体的密度为：（分数：1.16）_(7).设总体 X在区间(-,+)上服从均匀分布，从 X中抽得简单
9、样本 X1，X n，求 和 (均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性（分数：1.16）_(8).设总体 X在区间0，上服从均匀分布，其中 0 为未知参数，而 X1，X n为从 X中抽得的简单样本，试求 的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是口的无偏估计?（分数：1.16）_(9).设 Y=lnXN(， 2)，而 X1，X n为取自总体的 X的简单样本，试求 EX的最大似然估计（分数：1.16）_(10).从均值为 ，方差为 20 的总体中分别抽取容量为 n1和 n2的两个独立样本，样本均值分别记为和 试证：对任意满足 a+b=1的常数 a、b，T= （分数：1.16）_(11).总体 X
10、N(2， 2)，从 X中抽得简单样本 X1，X n试推导 2的置信度为 1- 的置信区间若样本值为：1.8，2.1，2.0，1.9，2.2，1.8求出 2的置信度为 0.95的置信区间( =14.449，（分数：1.16）_(12).为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响独立地，选了 13个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验得收获量如下表： 施肥 343530323334不施肥 29273231283231设小区的农作物产量均服从正态分布且方差相等，求施肥与未施肥平均产量之差的置信度为 0.95的置信区间(t 0.975(11)=2.201，下侧分位数)（分数：1.16）_(13).某
11、种清漆的 9个样品的干燥时间(小时)为：6.5，5.8，7，6.5，7，6.35.6，6.1，5设干燥时间XN(， 2)求 的置信度为 0.95的置信区间在(1)=0.6(小时)；(2) 未知两种情况下作(u 0.975=1.96，t 0.975(8)=2.3060，下侧分位数)（分数：1.16）_(14).随机地取某种炮弹 9发做试验，得炮口速度的样本标准差 S=11设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为 0.95的置信区间（分数：1.16）_(15).一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为 R:1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记 X为所抽的白球
12、数这样做了 n次以后，我们获得一组样本：X 1，X 2，X n基于此，求 R的最大似然估计（分数：1.16）_(16).设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5分，标准差为 15分问在显著性水平 0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70分?并给出检验过程附表：t 分布表Pt(n)t p(n)=p（分数：1.16）_(17).用过去的铸造方法，零件强度的标准差是 1.6kg/mm2为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，5152没零件强度服从正态分布。取显著性水平
13、 =0.05，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?( （分数：1.16）_(18).一批矿砂的 4个样品中镍含量测定为(%)：3.25，3.26，3.24，3.25设测定值总体服从正态分布，问在 =0.01 下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值为 3.26(t 0.995(3)=5.8409，下侧分位数)（分数：1.16）_(19).测得两批电子器材的部分电阻值为：A批：140，138，143142144，139；B批：135，140，142，136，135，140设两批电子器材的电阻均服从正态分布，试在 =0.05 下检验这两批电子器材的平均电阻有无显著差异(t 0.975(10)=2
14、.2281，F 0.975(5，5)=7.15，下侧分位数提示：先检验方差相等)（分数：1.16）_考研数学一-概率论与数理统计数理统计的基本概念、参数估计、假设检验答案解析(总分：96.04，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：8.00)1.设总体 XN(， 2)，从 X中抽得容量为 16的简单样本，S 2为样本方差，则 D(S2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*，即*，故*2.设 XF(n，n)，且 P(XA)=0.3，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：P(X*)=0.7）解析：3=P(XA)，A=F 0.3(n，n)，
15、*=F 0.7(n，n)，故 P(X*)=0.7(本解是由下钡 9分位数表述的，若用上侧表示则类似，但答案相同)3.已知一批零件的长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40cm，则 的置信度为 0.95的置信区间是_ (注：标准正态分布函数值 (1.96)=0.975，(1.645)=0.95)（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：(39.51，40.49)）解析：解 总体*已知，n=16，*(样本均值)，1-=0.95，*=1.96，故得 的置信下限为：* 的置信上限为：*故 的置信区间为(39.51，40.49)本题考查的是
16、区间估计中的一个公式解中 u0.975=1.96用的是(标准正态分布的)下侧分位数：设N(0，1)，则 Pu )=，即 (u )=令 =0.975，得 (u 0.975)=0.975，故知 u0.977=1.96(当然，如果用上侧分位数也可得出结果)4.设 X1，X 2，X m为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和 S2分别为样本均值和样本方差若 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解 设总体为 X，则知 XB(n，p)，EX=np，DX=np(1-p)*=np，ES 2=np(1-p)由题意得 np2=*故得 k=-1对任意分布的总体 X，关于样本矩的结论
17、：“*(n 为样本容量)”，你熟悉吗?5.设总体 X的概率密度为其中 是未知参数，X 1，X 2，X n为来自总体 X的简单随机样本若 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 由题意得：*，故 c=*本题的数理统计知识主要是“无偏估计”和“样本”这两个概念。由 X1，X n，是“样本”，故它们“独立同分布”，于是有*另外积分式勿写如*一类式子尽管填空题你写了别人也看不出来那也别写!6.设 X1，X n是来自总体 N(， 2)的简单样本，其中 ， 2均未知记（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*，且*与 Q2相互独立，*(n-1)，得*，可见应填*二、B解
18、答题/B(总题数：10，分数：88.00)设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Yi=Xi- （分数：20.00）(1).Yi的方差 DYi，i=1，2，n；（分数：2.00）_正确答案：(解 1 * 解 2 *)解析：(2).Y1与 Yn的协方差 Cov(Y1，Y 2)（分数：2.00）_正确答案：(*)解析：本题其实主要考查的是概率论中方差、协方差的计算，只是用了数理统计中总体、样本、样本均值等概念注意 Xi与*与*与 Yn等均没有“独立”或“不相关”的结论，切勿“*”.()中解 1及()的解法用了协方差的线性运算性质，较为简洁有人解()
19、时用协方差的定义式或计算式做：Cov(Y 1，Y n)=E(Y1-EY1)(Yn-EYn)=E(Y1Yn)=*-*(这里 EY1=EYn=0)，而 E(X1Xn)=EX1EXn=0，*=*，同理*，故 Cov(Y1，Y n)=*，似不如正文中解法简洁(3).设总体 X具有概率密度： 从此总体中抽得简单样本 X1，X 2，X 3，X 4，求 T= （分数：2.00）_正确答案：(T 的分布函数为 FT(t)=P(Tt)=*=P(X 1t，X 4t)=P(X 1t) 4=*故*)解析：(4).设总体 XN(， 2)，X 1，X n为取自 X的简单样本，记 （分数：2.00）_正确答案：(*=*，得
20、 DX i-=*于是*)解析：(5).设总体 XN(72，100)，为使样本均值大于 70的概率不小于 0.95，样本容量 n至少应取多大?(1.645)=0.95（分数：2.00）_正确答案：(由题意知*，0.9*=*，查表得*，n67.65，即 n68)解析：(6).从一正态总体中抽取容量为 10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在 4以上的概率为0.02，求总体的标准差(2.33)=0.99)（分数：2.00）_正确答案：(设总体 XN(， 2)，则*，由题意得：0.02=*=1-*，*，查表得*)解析：(7).设总体 XN(， 2)，从 X中抽得样本 X1，X n，X n+1，记
21、 ，试求 （分数：2.00）_正确答案：(*又*，且*与*相互独立，故*，即*)解析：(8).设 k个总体 N(， 2)(i=1，k)相互独立，从第 i个总体中抽得简单样本：X i1，X i2，X ini，记 = ，i=1，k)又记 试求 （分数：2.00）_正确答案：(由*，i=1，2，k且*相互独立，*，即 T 2(n-k)解析：(9).从总体 XN(0， 2)中抽得简单样本 X1，X n+m，求 （分数：2.00）_正确答案：(*，i=1，n+m，且诸 Xi相互独立，故：*，又 *相互独立，故*)解析：(10).设总体 X的概率密度为（分数：2.00）_正确答案：(解 矩估计：*令*，解
22、得*再求最大似然估计，似然函数 L(x1，x n；)为*当 0x 1，x n1 时，lnL=nln(+1)+ln(x 1xn)* 令*，解得*由于 *，lnL 在 0处取得唯一驻点、唯一极值点且为极大值，故知 lnL(或 L)在 = 0处取得最大值故知 的最大似然估计为*)解析：本题考查矩估计和最大似然估计写 L时，注意其中的“x i”(下标都有 i)，包括范围上的“0x 1，x n1”，勿忘!后边关于最大值充分性的验证在时间紧时可不写求 EX时，勿写成“*1)x dx”，错!因为 f(x)并非总是(+1)x (只在 0x1 上是)设总体 X的概率密度为（分数：8.00）(1).求 的矩估计量
23、 （分数：2.00）_正确答案：(解 * * 故*为 的矩估计)解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(又 * * *)解析：本题考查矩估计和方差的计算勿写如“*”一类的错误式子(3).设某种元件的使用寿命 X的概率密度为（分数：2.00）_正确答案：(解 似然函数 L(x1，x n；)为*当*时，lnL=nln2-*，可见 lnL(或 L)关于 单调增欲使 lnL(或 L)达最大，则应在*限制下让 取得最大值，这里应为*故 的最大似然估计值为*本题考查最大似然估计的求法所用的解法是处理这一类题的手法当 L(或 lnL)关于待估参数 单调时，就不能用“令*，解此似然方程”的方法，而是
24、把 取在端点处，能让 L达最大才行另，本题应出成：*更合适些)解析：(4).设总体 X的概率分别为 其中 （分数：2.00）_正确答案：(解 先求矩估计 E(X)=0 2+120(1-)+2 2+3(1-2)=3-4*由题目所给的样本值算得*代入得*又求最大似然估计，本题中 n=8，样本值 x1，x 8由题目所给，故似然函数为* lnL()=ln4+6ln+2ln(1-)+4ln(1-2)*令*，得 24 2-28+6=0，解得*，而*不合题意，舍去，故得 的最大似然估计值为*)解析：本题考查矩估计和最大似然估计本题的样本给的是具体的样本值数据，那么似然函数 L()=*即为 P(X1=3)P(
25、X2=1)P(X3=3)P(X4=0)P(X8=3)，然后代值设总体 X的概率密度为其中 0 是未知参数从总体 X中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，记（分数：6.00）(1).求总体 X的分布函数 F(x)；（分数：2.00）_正确答案：(解 * 当 x 时，F(x)=0； 当 x 时，* 故 *)解析：为已知概率密度求分布函数，(2).求统计量 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：为多维连续型随机变量函数的分布问题，(3).如果用 （分数：2.00）_正确答案：(*的概率密度为： * 所以* 可见*，即*不是 的无偏估计)解析：主要是已知分布求期望(即*)的问题，均为概率论的内容，数理统计方面只牵涉“无偏估计”的定义及“总体”、“样本”等概念一点内容这里*是样本 X1，X 2，X n的函数，可视*为一随机变量，并非参数(与 不同!)，勿写*，也请勿出现*(注意积分下限)、“Pmin(X 1，X n)x)=PX1x，X nx”、“Pmin(X 1，X n)x)=1-Pmax(X 1，X n)x”、“Pmin(X 1，X n)”、“PminX 1x 1，X nx n)”(小写 x带下标?本题并非求口的最大似然估计等)、*( 参与积分?)等一类莫明其妙的式子!设总体 X的分布函数为：（分数：6.00）(1). 的矩估计量；（分数：2.00）_
