1、考研数学一（常微分方程）-试卷 5 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知微分方程 y“+by“+y=0 的每个解都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是( )（分数：2.00）A.0，+)B.(一，0C.(一，4D.(一，+)3.具有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+y“一 y“一 y=0C.y“一 6y“+
2、11y“一 6y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=04.方程 x x y“+2xy“一 2y=0 的通解为( )（分数：2.00）A.y=C 1 e x +C 2 e 2x B.y=(C 1 +C 2 x)e x C.y=C 1 x+C 2 x 2 D.y= 5.设 y= 的表达式为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.6.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2 =1 的特解为( )（分数：2.00）A.xy 2 =4B.xy：4C.x 2 y=4D.一 xy=47.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为
3、( )（分数：2.00）A.y=Cy 1 (x)B.y=Cy 2 (x)C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)D.y=C 1 (y 1 (x)y 2 (x)8.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 ，都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2
4、 +(1 一 C 1 C 2 )y 3 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)9.微分方程 y“一 2y“+2y=e x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.二阶常系数非齐次线性方程 y“一 4y“+3y=2e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_12.欧拉方程 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 y 1 =e 3x xe 2x ，y 2 =e x 一 xe 2x ，y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，则该方程的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.
5、设 y=e x (asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.方程(xy 2 +x)dx+(y 一 x 2 y)dy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 xy“+3y“=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.微分方程 y“= （分数：2.00）填空项 1:_18.微分方程 y“=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.已知函数 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0 确定，则 y“(0)= 1。（分数：2
6、.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：6，分数：12.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设 f(u，v)具有连续偏导数，且 f“ u (u，v)+f“ u (u，v)=sin(u+v)e，求 y(x)=e 2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解（分数：2.00）_22.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成
7、正比，比例系数为 k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)（分数：2.00）_23.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_24.设函数 y=y(x)在(一，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数 (1)试将 x=x(y)所满足
8、的微分方程 =0 变换为 y=y(x)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：2.00）_25.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh，经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6 )，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg 表示千克，kmh 表示千米小时)（分数：2.00）_考研数学一（常微分方程）-试卷 5 答案解析(总分：50.00，做题时间：9
9、0 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知微分方程 y“+by“+y=0 的每个解都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是( )（分数：2.00）A.0，+) B.(一，0C.(一，4D.(一，+)解析：解析：方程 y“+by“+y=0 的特征方程为 r 2 +br+1=0，特征根为 3.具有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+y“一 y“一 y=0
10、C.y“一 6y“+11y“一 6y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=0解析：解析：由 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 是所求方程的三个特解知，r=一 1，一 1，1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r 一 1)(r+1) 2 =0，即 r 3 +r 2 一 r一 1=0，对应的微分方程为 y“+y“一 y“一 y=0，故选 B4.方程 x x y“+2xy“一 2y=0 的通解为( )（分数：2.00）A.y=C 1 e x +C 2 e 2x B.y=(C 1 +C 2 x)e x C.y=C 1 x+C 2 x 2 D.
11、y= 解析：解析：这是一个欧拉方程，令 x=e t ，D= 原方程化为 D(D 一 1)y+2Dy 一 2y=0，即 一2y=0， 特征方程为 r 2 +r 一 2=0，特征根为 r 1 =一 2，r 2 =1，则通解 y=C 1 e 2t +C 2 e t ，即 y= 5.设 y= 的表达式为( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：6.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2 =1 的特解为( )（分数：2.00）A.xy 2 =4B.xy：4C.x 2 y=4 D.一 xy=4解析：解析：原微分方程分离变量得 7.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方
12、程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=Cy 1 (x)B.y=Cy 2 (x)C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)D.y=C 1 (y 1 (x)y 2 (x) 解析：解析：由于 y 1 (x)和 y x (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则 y 1 (x)一 y 2 (x)为该方程的一个非零解，则 y=C(y 1 (x)一 y 2 (x)为该方程的解8.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 ，都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该
13、非齐次方程的通解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 C 2 )y 3 解析：解析：因为 y 1 ，y 2 ，y 3 是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y 1 一 y 3 )，(y 2 一 y 3 )都是齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=0 的解，且(y 1 一 y 3 )与(y 2 一 y 3 )
14、线性无关，因此该齐次线性方程的通解为 y=C 1 (y 1 一 y 3 )+C 2 (y 2 一 y 3 )比较四个备选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选 D二、填空题(总题数：11，分数：22.00)9.微分方程 y“一 2y“+2y=e x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x cosx+C 2 e x sinx+e x）解析：解析：对应的特征方程为 r 2 一 2r+2=0 解得其特征根为 r 1,2 =1i 由于 =1 不是特征根，可设原方程的特解为 y * =Ae * ，代入原方程解得 A=1 因此所求的通解为 y=C 1 e
15、 x cosx+C 2 e x sinx+e x 10.二阶常系数非齐次线性方程 y“一 4y“+3y=2e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 3x 一 2e 2x）解析：解析：特征方程为 r 2 一 4r+3=0，解得 r 1 =1，r 2 =3 则对应齐次线性微分方程 y“一4y“+3y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 设非齐次线性微分方程 y“一 4y“+3y=2e 2x 的特解为 y * =ke 2x 代入非齐次方程可得 k=一 2 故通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 一
16、 2e 2x 11.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=y 2 +y）解析：解析： 12.欧拉方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*）解析：解析：令 x=e t ，则 13.已知 y 1 =e 3x xe 2x ，y 2 =e x 一 xe 2x ，y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，则该方程的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 3x +C 2 e x 一 xe 2x ，C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：显然 y 1 一 y 3 =e 3
17、x 和 y 2 一 y 3 =e x 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关自解且 y * =一 xe 2x 是非齐次微分方程的一个特解 由解的结构定理，该方程的通解为 y=C 1 e 3x +C 2 e x 一 xe 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数14.设 y=e x (asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“一 2y“+2y=0）解析：解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是 r 1 ，r 2 =1i，因此特征方程为 (rr 1 )(rr 2 )=r
18、 2 一(r 1 +r 2 )r+r 1 r 2 =r 2 一 2r+2=0 故所求微分方程为 y“一 2y“+2y=015.方程(xy 2 +x)dx+(y 一 x 2 y)dy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 +1=C(x 2 一 1)）解析：解析：由题干可得 (y 2 +1)xdx+(1 一 x 2 )ydy=0， 则分离变量得 16.微分方程 xy“+3y“=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 + ）解析：解析：17.微分方程 y“= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
19、y=Cxe x (x0)）解析：解析：原方程等价为 两边积分得 lny=lnx 一 x+C 1 取 C= 18.微分方程 y“=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=tan ）解析：解析：将已知方程变形后，并整理得19.已知函数 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0 确定，则 y“(0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“(0)=一 2）解析：解析：由题干可知，方程两边对 x 进行两次求导得 e y y“+6xy“+6y+2x=0， (1) e y y“+e y y“ 2 +6xy
20、“+12y“+2=0， (2) 将 x=0 代入原方程得 y=0，将 x=y=0 代入(1)得 y“=0再将 x=y=y“=0 代入(2)得y“(0)=一 2三、解答题(总题数：6，分数：12.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设 f(u，v)具有连续偏导数，且 f“ u (u，v)+f“ u (u，v)=sin(u+v)e，求 y(x)=e 2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y(x)=e 2x f(x，x)，有 y“(x)=一 2e 2x f(x，x)+e 2x f“ 1 (
21、x，x)+f“ 2 (x，x)， 由 f“ u (u，v)+f“ v (u，v)=sin(u+v)e u+v 可得 f“ 1 (x，x)+f“ 2 (x，x)=(sin2x)e 2x 于是 y(x)满足一阶线性微分方程 y“(x)+2y(x)=sin2x 通解为 y(x)=e 2x sin2x.e 2x dx+C， 由分部积分公式，可得 )解析：22.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受
22、的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：选取沉放点为原点 O，Oy 轴正向取铅直向下，则根据牛顿第二定律得 )解析：23.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答
23、案：设曲线 y=y(x)上的点 P(x，y)处的切线方程为 Y 一 y=y“(Xx)， 并且y“(0)=1，两边对 x 求导并化简得 yy“=(y“) 2 ，这是可降阶的二阶常微分方程，令 p=y“，则上述方程可化 )解析：24.设函数 y=y(x)在(一，+)内具有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数 (1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 =0 变换为 y=y(x)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入原微分方程得 y“一 y=sinx (*) (2)方程(*)所对应的齐次
24、方程 y“一 y=0 的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e x 设方程(*)的特解为 y * =Acosx+Bsinx， )解析：25.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh，经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6 )，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg 表示千克，kmh 表示千米小时)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，飞机的质量 m=9000 kg，着陆时的水平速度 v=700 kmh从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t)=x“(t) 根据牛顿第二定律，得 )解析：
