1、考研数学一（常微分方程）-试卷 9 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设线性无关的函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)均是方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 2 ，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 一 C 2 )y 3
2、D.C 1 y 3 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 一 C 3 )y 33.设二阶线性常系数齐次微分方程 y“+by“+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是 ( )（分数：2.00）A.0，+)B.(一，0C.(一，4D.(一，+)4.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶线性常系数齐次微分方程是( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+y“一 y“一 y=0C.y“一 6y“+11y“一 6y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=05.函数 (其中 C 是任意常数)对微分方程
3、 （分数：2.00）A.是通解B.是特解C.是解，但既非通解也非特解D.不是解6.微分方程(x 2 +y 2 )dx+(y 3 +2xy)dy=0 是 ( )（分数：2.00）A.可分离变量的微分方程B.齐次方程C.一阶线性方程D.全微分方程7.微分方程 y“一 6y“+8ye x +e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +be 2xB.ae x +bxe 2xC.axe x +be 2xD.axe x +bxe 2x8.微分方程 y“+2y“+2y=e -x sinx 的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.e -x (Acosx+B
4、sinx)B.e -x (Acosx+3zsinx)C.xe -x (Acosx+Bsinx)D.e -x (ATcosx+Bsinx)9.微分方程 （分数：2.00）A.2e 3x +3ey 2 =CB.2e 3x +3e -y2 =CC.2e 3x 一 3e-y -y2 =CD.e 3x e -y2 =C二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设 y 1 =e x ，y 2 =x 2 为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 p(x)，g(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y 1 (x)，y 2 (x)与 y 3 (
5、x)是二阶线性非齐次方程y“+p(x)y“+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 满足初值条件 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)在(一，+)内有定义，且对任意 x(一，+)，y(一，+)，成立 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，且 f“(0)存在等于 a，a0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x)在(一，+)上可导，且其反函数存在为 g(x)若 （分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 y“+ytanx=cox 的通解为 y=
6、 1（分数：2.00）填空项 1:_17.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.微分方程 3e x tan ydx+(1 一 e x )sec 2 ydy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.微分方程 y“tanx=yln y 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.
7、已知 y=y(x)是微分方程(x 2 +y 2 )dy=dxdy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ，记 y 0 =y(x 0 ) (1)证明： ； (2)证明： （分数：2.00）_24.设 a0，函数 f(x)在0，+)上连续有界，证明：微分方程 y“+ay=f(x)的解在0，+)上有界（分数：2.00）_25.已知曲线 y=y(x)经过点(1，e -1 )，且在点(x，y)处的切线方程在 y 轴上的截距为 xy，求该曲线方程的表达式（分数：2.00）_26.求解 （分数：2.00）_27.设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 “(x)=(x)，(0)=0 (1)求方程
8、 y“+ysinx=(x)e cosx 的通解； (2)方程是否有以 2 为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由（分数：2.00）_28.设有方程 y“+P(x)y=x 2 ，其中 （分数：2.00）_29.设 (1)用变限积分表示满足上述初值问题的特解 y(x)；(2)讨论 （分数：2.00）_30.求微分方程 xy“+y=xe x 满足 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_31.求(4 一 x+y)dx 一(2 一 xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_32.求 xy“一 y“lny“+y“lnx=0 满足 y(1)=2 和 y“(1)=e 2 的特解（分数：2.00
9、）_33.求 y “2 一 yy “ =1 的通解（分数：2.00）_34.求(x+2)y “ +xy “2 =y“的通解（分数：2.00）_35.求微分方程 （分数：2.00）_36.求微分方程 y“cos y=(1+cosxsin y)sin y 的通解（分数：2.00）_37.求微分方程 y “ 一 2y “ 一 e 2x =0 满足条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_38.求二阶常系数线性微分方程 y “ +y “ =2x+1 的通解，其中 为常数（分数：2.00）_考研数学一（常微分方程）-试卷 9 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择
10、题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设线性无关的函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)均是方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 2 ，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 一 C 2 )y 3D.C 1 y 3 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 一 C 3 )y 3 解析：解析
11、：由于 C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 一 C 2 )y 3 =C 1 (y 1 一 y 3 )+C 2 (y 2 一 y 3 )+y 3 ，其中 y 1 一 y 3 和 y 2 y 3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又 y 3 是原方程的一个特解，所以 D 是原方程的通解3.设二阶线性常系数齐次微分方程 y“+by“+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是 ( )（分数：2.00）A.0，+) B.(一，0C.(一，4D.(一，+)解析：解析：因为当 b2 时， ，所以，当 b 2 一 40 时，要想使 y(x)在区间
12、(0，+)上有界，只需要 即 b2当 b 2 一 40 时，要想使 y(x)在区间(0，+)上有界，只需要 4.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶线性常系数齐次微分方程是( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+y“一 y“一 y=0 C.y“一 6y“+11y“一 6y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=0解析：解析：根据题设条件，1，一 1 是特征方程的两个根，且一 1 是重根，所以特征方程为( 一 1)(+1) 2 = 3 一 2 一 一 1=0，故所求微分方程为 y“+y“一 y“一 y=0，故选 B或使用待定
13、系数法，具体为：设所求的三阶常系数齐次线性微分方程是 y“+ay“+by“+cy=0由于 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 是上述方程的解，所以将它们代入方程后得 5.函数 (其中 C 是任意常数)对微分方程 （分数：2.00）A.是通解B.是特解C.是解，但既非通解也非特解 D.不是解解析：解析：(1)因原方程阶数为二，通解中应包含两个任意常数(可求出通解为 C 1 +C 2 x+ ); (2)特解中不含有任意常数 6.微分方程(x 2 +y 2 )dx+(y 3 +2xy)dy=0 是 ( )（分数：2.00）A.可分离变量的微分方程B.齐次方程C.一阶线
14、性方程D.全微分方程 解析：解析：由 Q x “=2y=P y “及 A、B、C 均不符合即知7.微分方程 y“一 6y“+8ye x +e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +be 2xB.ae x +bxe 2x C.axe x +be 2xD.axe x +bxe 2x解析：解析：由原方程对应齐次方程的特征方程 r 2 一 6r+8=0 得特征根 r 1 =2，r 2 =4又 f 1 (x)=e x ，=1 非特征根，对应特解为 y 1 =ae x ；f 2 (x)=e 2x ，=2 为特征单根，对应特解为 y 2 * =bre 2
15、x 故原方程特解的形式为 ae x +bxe 2x ，即 B8.微分方程 y“+2y“+2y=e -x sinx 的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.e -x (Acosx+Bsinx)B.e -x (Acosx+3zsinx)C.xe -x (Acosx+Bsinx) D.e -x (ATcosx+Bsinx)解析：解析：特征方程 r 2 +2r+2=0 即(r+1) 2 =一 1，特征根为 r 1,2 =一 1i而 iw=一 1i 是特征根，特解 y * =xe -x (Acosx+Bsinx)9.微分方程 （分数：2.00）A.2e 3x +3ey 2 =CB.2e 3x +3e
16、-y2 =CC.2e 3x 一 3e-y -y2 =C D.e 3x e -y2 =C解析：解析：原方程写成 ，分离变量有 积分得二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设 y 1 =e x ，y 2 =x 2 为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可由于 y 1 =e x 与 y 2 =x 2 线性无关，故该二阶线性齐次微分方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 x 2 ， y“=C 1 e x +2C 2 x， y“=C 1 e x +
17、2C 2 由式、式、式消去 C 1 与 C 2 便得如上所填11.设 p(x)，g(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y 1 (x)，y 2 (x)与 y 3 (x)是二阶线性非齐次方程y“+p(x)y“+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 (y 1 一 y 2 )+C 2 (y 2 一 y 3 )+y 1 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：y=C 1 (y 1 一 y 2 )+C 2 (y 2 一 y 3 )+y 1 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数解析由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应
18、的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可y 1 一 y 2 与 y 2 一 y 3 均是式对应的线性齐次方程 y“+p(x)y“+q(x)y=0 的两个解今证它们线性无关事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数 k 1 与 k 2 使 k 1 (y 1 y 2 )+k 2 (y 2 一 y 3 )=0 设 k 1 0，又由题设知 y 2 一 y 3 0，于是式可改写为 12.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 2 =ylny+C，其中 C 为任意常数）解析：解析：将 x 看成未知函数，y 看成自变量，问题就迎刃而解了将 x 看成未知函数(实际上
19、就是作反函数变换)，原方程改写为 这是一个伯努利方程，令 z=x 2 ，有 得 13.微分方程 满足初值条件 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：熟悉反函数的导数的读者知道， 原方程可化为 x 关于 y 的二阶常系数线性方程 将式代入原方程，原方程化为 解得 x 关于 y 的通解为 以 x=0 时，y=0 代入上式，得 0=C 1 +C 2 再将式两边对 y 求导，有 解得 C 1 =1，C 2 =一 1，于是得通解 14.设 f(x)在(一，+)内有定义，且对任意 x(一，+)，y(一，+)，成立 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，且 f“
20、(0)存在等于 a，a0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：axe x）解析：解析：由 f“(0)存在，设法去证对一切 x，f“(x)存在，并求出 f(x)将 y=0 代入 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，得 f(x)=f(x)+f(0)e x ，所以 f(0)=0 15.设 f(x)在(一，+)上可导，且其反函数存在为 g(x)若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：未知函数含于积分之中的方程称积分方程现在此积分的上限为变量，求此方程的解的方法是将方程两边对 x 求导数化成微分方程解之注意，积分方程
21、的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之将所给方程两边对 x 求导，有 g(f(x)f“(x)+f(x)=xe x 因 g(f(x)x，所以上式成为xf“(x)+f(x)=xe以 x=0 代入上式，由于 f“(0)存在，所以由上式得 f(0)=0当 x0 时，上式成为 解得 由于 f(x)在 x=0 处可导，所以连续令 x0，得 所以 从而知 C=1于是得 16.微分方程 y“+ytanx=cox 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x+C)cosx，其中 C 为任意常数）解析：解析：属于一阶非齐次线性方程，直接根据解一阶非齐次线性方程的方法即
22、可得出答案17.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：y“一 4y=0 的特征根 =2，则其通解为 y=C 2 -2x +C 2 2x 设其特解 y“=Ae 2x 代入 y“一 4y=e 2x ，可解得 所以 y“一 4y=e 2x 的通解为 18.微分方程 3e x tan ydx+(1 一 e x )sec 2 ydy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：tan y=C(e x 一 1) 3 ，其中 C 为任意常数）解析：解析：方程分离变量得 19.微分方程 y“tan
23、x=yln y 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e Csinx ，其中 C 为任意常数）解析：解析：原方程分离变量，有 20.微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3x 2 +xy=C，其中 C 为任意常数）解析：解析：原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程原方程可写为 6xdx+ydx+xdy=0，有d(3x 2 +xy)=0，积分得通解 3x 2 +xy=C，其中 C 为任意常数21.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=(C 1 +C 2 x)
24、e x +1，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程其通解为 y=y 齐 +y * ，其中 y 齐 是对应齐次方程的通解，y * 是非齐次方程的个特解因原方程对应齐次方程的特征方程为 r 2 2r+1=0，即(r-1) 2 =0，特征根为 r 1,2 =1故 y 齐 =(C 1 +C 2 x)e x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数又据观察，显然 y * =1 与 y 齐 合并即得原方程通解三、解答题(总题数：17，分数：34.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.已知 y=y(x)是微分方程
25、(x 2 +y 2 )dy=dxdy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取 x 0 ，记 y 0 =y(x 0 ) (1)证明： ； (2)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题以微分方程的概念为载体，考查一元微积分学的综合知识，是一道有一定难度的综合题(1)将微分方程(x 2 +y 2 )dy=dx 一 dy 变形为 ，则 y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明 y(x)有界即可对 两边从 x 0 到 x 积分，得 )解析：24.设 a0，函数 f(x)在0，+)上连续有界，证明：微分方程 y“+ay=f(x)的解在0，+)上有界（分数：2.00）_正确
26、答案：(正确答案：原方程的通解为 )解析：25.已知曲线 y=y(x)经过点(1，e -1 )，且在点(x，y)处的切线方程在 y 轴上的截距为 xy，求该曲线方程的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题以几何问题为载体，让考生根据问题描述建立微分方程，然后求解，是一道简单的综合题，是考研的重要出题形式曲线 y=f(x)在点(x，y)处的切线方程为 Yy=y“(Xx)，令X=0，得到截距为 xy=y 一 xy“，即 xy“=y(1 一 x)此为一阶可分离变量的方程，于是 ，得到 又 y(1)=e -1 ，故 C=1，于是曲线方程为 )解析：26.求解 （分数：2.00）_正确答案
27、：(正确答案：方程化为 整理得 积分得 ln(u+e u )=一 ln y+C 1 ，(u+e u )y=C， ,故原方程的通解为 )解析：27.设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 “(x)=(x)，(0)=0 (1)求方程 y“+ysinx=(x)e cosx 的通解； (2)方程是否有以 2 为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设有方程 y“+P(x)y=x 2 ，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 (1)用变限积分表示满足上述初值问题的特解 y(x)；(2)讨论 （分数：2.0
28、0）_正确答案：(正确答案：一般认为，一阶线性微分方程 y“+p(x)y=q(x)的计算公式为 而本题是要求写成变限积分形式 请考生仔细分辨这里的变量表达形式由于本题表达形式比较复杂，且写出表达式后还要进行极限讨论，故本题对于考生是一道难题(1)初值问题可写成 由上述变限积分形式的诵解公式，有： (2)由 )解析：30.求微分方程 xy“+y=xe x 满足 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由通解公式得 当 x=1，y=1 时，得 C=1，所以特解为 )解析：31.求(4 一 x+y)dx 一(2 一 xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
29、：方程化为 设 x=X+h，y=Y+k，代入方程，并令 解得 h=3，k=一 1，此时原方程化为 )解析：32.求 xy“一 y“lny“+y“lnx=0 满足 y(1)=2 和 y“(1)=e 2 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 y“=p，则 y“=P“，代入原方程中，xp“一 pln P+plnx=0，即 由原方程知x0，y“0，从而 u0，积分后，得 lnu 一 1=C 1 x，即 lnu=C 1 x+1，回代 代入初值条件y“(1)=e 2 ，解得 C 1 =1，得到方程 )解析：33.求 y “2 一 yy “ =1 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
30、： )解析：34.求(x+2)y “ +xy “2 =y“的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.求微分方程 y“cos y=(1+cosxsin y)sin y 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作适当代换 z=sin y 便可化为伯努利方程令 z=siny，则 代入原方程，得伯努利方程 )解析：37.求微分方程 y “ 一 2y “ 一 e 2x =0 满足条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次方程 y“一 2y“=0 的特征方程为
31、2 一 2=0，由此求得特征根 1 =0， 2 =2对应齐次方程的通解为 =C 1 +C 2 e 2x ，设非齐次方程的特解为 y * =Axe 2x ，则(y * )“=(A+2Ax)e 2x ， (y * ) “ =4A(1+x)e 2x ，代入原方程，求得 于是，原方程通解为 )解析：38.求二阶常系数线性微分方程 y “ +y “ =2x+1 的通解，其中 为常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应齐次方程 y“+y“=0 的特征方程 r 2 +r=0 的特征根为 r=0 或，r=一(1)当 0 时，y“+y“=0 的通解为 y=C 1 +C 2 e -x 设原方程的特解形式为 y * =x(Ax+B)，代入原方程，比较同次幂项的系数，解得 ，故原方程的通解为 其中 C 1 ，C 2 为任意常数(2)当 =0 时，y“=2x+1，积分两次得方程的通解为 )解析：
