1、考研数学一（数理统计的基本概念）-试卷 1及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X服从 F(3，4)分布，对给定的 (01)，数 F (3，4)满足 PXF (3，4)=，若 PXx=1 一 ，则 x=（分数：2.00）A.B.C.F (4，3)D.F 1 (4，3)3.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2 )的简单随机样本，记 Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 4X 4 ) 2 ，其中
2、 a，b 为常数已知 Y 2 (n)，则（分数：2.00）A.n必为 2B.n必为 4C.n为 1或 2D.n为 2或 44.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自标准正态总体的简单随机样本， （分数：2.00）A.服从标准正态分布B.C.服从标准正态分布D.(n一 1)S 2 服从自由度为 n一 1的 2 分布5.设随机变量 X服从 n个自由度的 t分布，定义 t 满足 PXt =1一 (01)若已知PXx=b(b0)，则 x等于（分数：2.00）A.t 1b B.C.t b D.6.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， （分数：2.00）A.B.
3、C.t(n 一 1)D.F(n 一 1，1)7.假设两个正态分布总体 XN( 1 ，1)，YN( 2 ，1)，X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别是取自总体 X和 Y的相互独立的简单随机样本 分别是其样本均值， （分数：2.00）A.B.C.F(m 一 1，n 一 1)D.t(m+n2)二、填空题(总题数：12，分数：24.00)8.设总体 XE()，则来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的联合概率密度 f(x 1 ，x 2 ，x n )= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设总体 XP()，则来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，
4、X n 的样本均值 （分数：2.00）填空项 1:_10.已知 2 2 (n)，则 E( 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且服从 N(0， 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知(X，Y)的联合概率密度为 则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设总体 X的密度函数 f(x)= ，S 2 分别为取自总体 X容量为 n的样本的均值和方差，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.假设 X 1 ，X 2 ，X 16 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本， 为其均值，S 为其标准差，如果 P （分数：2.00）填空
5、项 1:_15.设 X 1 ，X 2 ，X 9 是来自总体 X一 N(，4)的简单随机样本，而 是样本均值，则满足p （分数：2.00）填空项 1:_16.设总体 X服从参数为 P的 0-1分布，则来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的概率分布为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.假设总体 X服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则统计量 Y 1 = （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_18.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 15 是取自总体 X的简单随机样本，则 （分数
6、：2.00）填空项 1:_19.设总体 X与 Y独立且都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X m 与 Y 1 ，Y n 是分别来自总体 X与 Y的简单随机样本，统计量 T= 服从 t(n)分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自标准正态总体 N(0，1)的简单随机样本，其均值和方差分别为 （分数：2.00）_22.已知总体 X的数学期望 EX=，方差 DX= 2 ，X 1 ，X 2 ，X 2n 是来自总体 X容量为 2n
7、的简单随机样本，样本均值为 ，统计量 Y= （分数：2.00）_23.已知总体 X与 Y相互独立且都服从标准正态分布，X 1 ，X 8 和 Y 1 ，Y 9 是分别来自总体 X与 Y的两个简单随机样本，其均值分别为 ，求证：T= （分数：2.00）_24.设 X与 Y相互独立，且 XN(5，15)，Y 2 (5)，求概率 Px一 535 （分数：2.00）_25.设总体 XN(25，6 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 是来自 X的简单随机样本，求概率P(13 （分数：2.00）_26.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 X的简单随机样本，EX=，DX=4，
8、试分别求出满足下列各式的最小样本容量 n： ()P 一 010090； ()D 010； ()E （分数：2.00）_27.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，其均值和方差分别为 与 S 2 ，且XB(1，p)，0P1 ()试求： 的概率分布； (II)证明：B 2 = （分数：2.00）_28.设正态总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自 X的简单随机样本，求证： （分数：2.00）_29.设 X 1 ，X 2 ，X 10 是来自正态总体 XN(0，2 2 )的简单随机样本，求常数 a，b，c，d，使 Q=a （分数：2.00）_30.设总体 X
9、和 Y相互独立，分别服从 N(， X 1 ，X 2 ，X m 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自 X和 Y的简单随机样本，其样本均值分别为 样本方差分别为 ， （分数：2.00）_31.已知 X 1 ，X n 是来自总体 X容量为 n的简单随机样本，其均值和方差分别为 与 S 2 ()如果 EX=，DX= 2 ，试证明：X i 一 （分数：2.00）_32.设 XN(， 2 )，从中抽取 16个样本，S 2 为样本方差， 2 未知，求 P （分数：2.00）_33.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n (n=16)是来自 X的简单随机样本，求下列概率： （分数：2.00
10、）_34.设 （分数：2.00）_考研数学一（数理统计的基本概念）-试卷 1答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X服从 F(3，4)分布，对给定的 (01)，数 F (3，4)满足 PXF (3，4)=，若 PXx=1 一 ，则 x=（分数：2.00）A. B.C.F (4，3)D.F 1 (4，3)解析：解析：因 XF(3，4)，故 F(4，3)又 1 一 =PXx=PXx=P 所以3.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自
11、正态总体 N(0，2 2 )的简单随机样本，记 Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 4X 4 ) 2 ，其中 a，b 为常数已知 Y 2 (n)，则（分数：2.00）A.n必为 2B.n必为 4C.n为 1或 2 D.n为 2或 4解析：解析：依题意 X i N(0，2 2 )且相互独立，所以 X 1 一 2X 2 N(0，20)，3X 3 4X 4 N(0，100)，故 N(0，1)且它们相互独立由 2 分布的典型模式及性质知 (1)当 a= 时，Y 2 (2)； (2)当 a= ，b=0，或 a=0，b= 4.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自标准正态总体的简单随机样
12、本， （分数：2.00）A.服从标准正态分布B.C.服从标准正态分布D.(n一 1)S 2 服从自由度为 n一 1的 2 分布 解析：解析：显然，(n 一 1)S 2 服从自由度为 n一 1的 2 分布，故应选(D)其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体， N(0，n)， 由于 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立并且都服从标准正态分布，可见 5.设随机变量 X服从 n个自由度的 t分布，定义 t 满足 PXt =1一 (01)若已知PXx=b(b0)，则 x等于（分数：2.00）A.t 1b B.C.t b D. 解析：解析：根据 t分布的对称性及 b0，可知 x0从而 PXx=
13、1 一 PXx=1 一 PXx=1 一 根据题设定义 PXt =1一 ，可知 x= 6.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， （分数：2.00）A.B.C.t(n 一 1)D.F(n 一 1，1) 解析：解析：根据正态总体抽样分布公式知7.假设两个正态分布总体 XN( 1 ，1)，YN( 2 ，1)，X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别是取自总体 X和 Y的相互独立的简单随机样本 分别是其样本均值， （分数：2.00）A.B.C.F(m 一 1，n 一 1) D.t(m+n2)解析：解析：因 相互独立，所以二、填空题(总题
14、数：12，分数：24.00)8.设总体 XE()，则来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的联合概率密度 f(x 1 ，x 2 ，x n )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：总体 X的概率密度 f(x)= 由于 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且与总体 X服从同一指数分布，因此 f(x 1 ，x 2 ，x n )= 9.设总体 XP()，则来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的样本均值 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由泊松分布的可加性可知，当 X 1 ，X 2 独立
15、时，X 1 +X 2 P(2)，继而有 X 1 ，X 2 ，X n 独立同为 P()分布时， P(n)于是，对任意 n2，n 的概率分布为 10.已知 2 2 (n)，则 E( 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：由 2 分布的典型模式 2 = ，而 X i N(0，1)，且 X i 相互独立，由于 E( )=D(X i )+E(X i ) 2 =1+0=1，所以 11.已知 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且服从 N(0， 2 )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t， ）解析：解析：记 Y 1 =X 2 +X 3
16、 ，Y 2 =X 2 一 X 3 ，则 Y 1 (0，2 2 )，Y 2 N(0，2 2 )由于 Cov(Y 1 ，Y 2 )=E(Y 1 Y 2 )一 E(Y 1 )E(Y 2 )=E(X 2 +X 3 )(X 2 一 X 3 ) = = 2 一 2 =0 所以 Y 1 与 Y 2 相互独立，且与 X 1 独立又由 X 1 +X 2 +X 3 =X 1 +y 1 N(0，3 2 )， 可知 2 (1)，且 X 1 +X 2 +X 3 与 X 2 X 3 相互独立，于是按 t分布定义有 12.已知(X，Y)的联合概率密度为 则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：
17、解析：由题设知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为 故 XN(0，2 2 )，YN(1，3 2 )，X与 Y相关系数 =0，所以 X与 Y独立， N(0，1)， 根据 F分布典型模式知 13.设总体 X的密度函数 f(x)= ，S 2 分别为取自总体 X容量为 n的样本的均值和方差，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0 ）解析：解析：由于 ，ES 2 =DX，由题设有 所以 14.假设 X 1 ，X 2 ，X 16 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本， 为其均值，S 为其标准差，如果 P （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：04383）
18、解析：解析：由于总体 XN(， 2 )，故 与 S 2 独立，由 t分布典型模式得：t= t(15)，所以 15.设 X 1 ，X 2 ，X 9 是来自总体 X一 N(，4)的简单随机样本，而 是样本均值，则满足p （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：13067）解析：解析：由条件知， 一 )N(0，1)，从而16.设总体 X服从参数为 P的 0-1分布，则来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的概率分布为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：总体 X的概率分布为 ，此概率分布也可以表示为 于是样本 X 1 ，X 2
19、，X n 的概率分布为 如果记 ，则样本 X 1 ，X 2 ，X n 的概率分布为 17.假设总体 X服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则统计量 Y 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t）填空项 1:_ （正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：n 一 1）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同服从分布 N(0，1)，所以 X 1 X 2 与 也相互独立，且有 18.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 15 是取自总体 X的简单随机样本，则 （分数：2
20、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F (10，5)）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X 15 相互独立且都服从分布 N(0， 2 )，所以 + N(0，1)，因此 19.设总体 X与 Y独立且都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X m 与 Y 1 ，Y n 是分别来自总体 X与 Y的简单随机样本，统计量 T= 服从 t(n)分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：依题意 X i N(0， 2 )，Y i N(0， 2 )且相互独立，所以 U与 V相互独立，由 t分布典型模式知 根据题设 三、解答题(总题
21、数：15，分数：30.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自标准正态总体 N(0，1)的简单随机样本，其均值和方差分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由正态总体的性质知， 与 S 2 相互独立；由样本数字特征的性质知，E =E(X)=0， E(S 2 )=D(X)=1；由正态总体的样本方差的分布知，(n 一 1)S 2 2 (n1)；由 2 分布的性质知，D 2 (n一 1)=2(n一 1)，从而 D(n一 1)S 2 =(n一 1) 2 D(S 2 )=2(n一 1)，即 D(S 2 )=
22、 于是 )解析：22.已知总体 X的数学期望 EX=，方差 DX= 2 ，X 1 ，X 2 ，X 2n 是来自总体 X容量为 2n的简单随机样本，样本均值为 ，统计量 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于总体分布未知，我们只好将 y化简，应用数字特征性质计算 EY由于 )解析：23.已知总体 X与 Y相互独立且都服从标准正态分布，X 1 ，X 8 和 Y 1 ，Y 9 是分别来自总体 X与 Y的两个简单随机样本，其均值分别为 ，求证：T= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用 t分布的典型模式证明已知 X i N(0，1)，Y i N(0，1)且相互独立，因此样本均值
23、 2 (7)，8 2 (8)，由于 X i 与 Y i 相互独立， 独立，根据 2 分布性质(可加性)知 Q= =Q相互独立，根据 t分布典型模式有 )解析：24.设 X与 Y相互独立，且 XN(5，15)，Y 2 (5)，求概率 Px一 535 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PX 一 535 =Pt(5)202=005 (因 )解析：25.设总体 XN(25，6 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 是来自 X的简单随机样本，求概率P(13 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 与 S 2 相互独立，故有 )解析：26.设 X 1 ，X 2 ，X n 是
24、取自正态总体 X的简单随机样本，EX=，DX=4， 试分别求出满足下列各式的最小样本容量 n： ()P 一 010090； ()D 010； ()E （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意，XN(，4)， N(0，1) ()P 一 1090， 即 (005 )095 查标准正态分布函数表可得 005 165， n1089 ()解不等式01， n40 ()令 U= 易见 UN(0，1)，于是 )解析：27.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，其均值和方差分别为 与 S 2 ，且XB(1，p)，0P1 ()试求： 的概率分布； (II)证明：B 2 = （分数：
25、2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 XB(1，p)，故 X的概率分布为 B(n，p)于是 其中，因为 X i 取值 0或 1，故 )解析：28.设正态总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自 X的简单随机样本，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X n 相互独立与 X同分布且 与 S 2 相互独立，于是 又因 X 2 (n一 1)，且 W与 S 2 相互独立，所以 )解析：29.设 X 1 ，X 2 ，X 10 是来自正态总体 XN(0，2 2 )的简单随机样本，求常数 a，b，c，d，使 Q=a （分数：2.
26、00）_正确答案：(正确答案：由于 X i 独立同分布，则有 X 1 N(0，4)，X 2 +X 3 N(0，8)， X 4 +X 5 +X 6 N(0，12)，X 7 +X 8 +X 9 +X 10 N(0，16) 于是 (X 7 +X 8 +X 9 +X 10 )相互独立都服从标准正态分布 N(0，1)由 2 分布的典型模式可知 所以，当 a= )解析：30.设总体 X和 Y相互独立，分别服从 N(， X 1 ，X 2 ，X m 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自 X和 Y的简单随机样本，其样本均值分别为 样本方差分别为 ， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 与 也相
27、互独立因此 E( =于是 )解析：31.已知 X 1 ，X n 是来自总体 X容量为 n的简单随机样本，其均值和方差分别为 与 S 2 ()如果 EX=，DX= 2 ，试证明：X i 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明因为 X 1 ，X n 相互独立且与总体 X同分布，故 EX i =，DX i = 2 ， 所以 ()由于总体XN(0， 2 )，故 EX i =0，DX i = 2 又 S 2 = ，所以 )解析：32.设 XN(， 2 )，从中抽取 16个样本，S 2 为样本方差， 2 未知，求 P （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 2 (15)，所以 查 2 分布的上分位数表，得知 P 2 (15)3058=001，因此 P 30585)=099，即 P )解析：33.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n (n=16)是来自 X的简单随机样本，求下列概率： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 相互独立，则 依题意 查标准正态分布表，得 )解析：
