1、考研数学一（随机事件和概率）-试卷 2及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A和 B为任意二不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有（分数：2.00）A.不相容B.相容C.P(AD.P(A3.设 A 1 ，A 2 和 B是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1 A 2 )B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)，则（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 )B.P(A 1 A 2 )=P(A 1 B)+P(A 2
2、B)C.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)D.P(A 1 A 2 ) 4.设随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是（分数：2.00）A.AB=B.=C.A=BD.5.下列事件中与 A互不相容的事件是 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设随机事件 A与 B为对立事件，0P(A)1，则一定有（分数：2.00）A.0P(A U B)1B.0P(B)1C.0P(AB)1D.07.已知事件 A发生必导致 B发生，且 0P(B)1，则 P(A （分数：2.00）A.0B.C.D.18.在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(BA)+P （分数
3、：2.00）A.0P(A)1，B 为任意随机事件B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件D.A与 B为相互独立事件9.在全概率公式 P(B)= （分数：2.00）A.A 1 ，A n 两两独立，但不相互独立B.A 1 ，A n 相互独立C.A 1 ，A n 两两互不相容D.A 1 ，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即 10.同时抛掷三枚匀称的硬币，正面与反面都出现的概率为 （分数：2.00）A.B.C.D.11.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”：C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是（分数：2.00）A.A与 B独
4、立B.B与 C独立C.A与 C独立D.BC 与 A独立12.A，B，C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件（分数：2.00）A.A，B，C 两两独立B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C.P(AB)=1D.P(AB)=0二、填空题(总题数：6，分数：12.00)13.两人相约于晚 7点到 8点间在某处会面，到达者等足 20分钟便立即离去设两人的到达时刻在 7点到8点间都是随机且等可能的，则两人能会面的概率 P= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设随机事件 A，B 及 AB 的概率分别为 04，03 和 06，则 P(A （分数：2.00）填空项 1:_15.口袋内有四个同样
5、的球，分别标有号码 1，2，3，4每次从中任取一个球(每次取后放回去)，连续两次如果第 i次取到球上的编号记为 a i ，i=1，2，记事件 A表示事件“ （分数：2.00）填空项 1:_16.设事件 A发生的概率是事件 B发生概率的 3倍，A 与 B都不发生的概率是 A与 B同时发生概率的 2倍，若 P(B)= （分数：2.00）填空项 1:_17.设事件 A与 B相互独立，已知它们都不发生的概率为 016，又知 A发生 B不发生的概率与 B发生 A不发生的概率相等，则 A与 B都发生的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.三个箱子，第一个箱子中有 4个黑球与 1个白球，第二个箱中
6、有 3个黑球与 3个白球，第三个箱中有3个黑球与 5个白球现随机地选取一个箱子从中任取 1个球，则这个球为白球的概率是 1；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是 2（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设平面区域 D是由坐标为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)的四个点围成的正方形今向 D内随机地投入 10个点，求这 10个点中至少有 2个点落在曲线 y=x 2 与直线 y=x所围成的区域 D 1 内的概率（分数：2.00）_21.铁路一编组站随机
7、地编组发往三个不同地区 E 1 ，E 2 和 E 3 的各 2节、3 节和 4节车皮，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率 p（分数：2.00）_22.将长为 L的棒随机折成三段，求这三段能构成三角形的概率（分数：2.00）_23.假设从单位正方形区域 D=(x，y)0x1，0y1中随机地选取一点，以该点的两个坐标 x与 y作为直角三角形的两条直角边，求该直角三角形的面积大于 （分数：2.00）_24.假设随机事件 A与 B相互独立，P(A)=P =a一 1，P(AB)= （分数：2.00）_25.一个班内有 20位同学都想去参观一个展览会，但只有 3张参观票，大家同意通过这 20位同学抽签决定
8、 3张票的归属计算下列事件的概率： ()“第二人抽到票”的概率 P 1 ； ()“第二人才抽到票”的概率 P 2 ； ()“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”的概率 P 3 ； ()“前两人中至少有一人抽到票”的概率 P 4 （分数：2.00）_26.甲袋中有 3个白球 2个黑球，乙袋中有 4个白球 4个黑球，现从甲袋中任取 2球放入乙球，再从乙袋中取一球，求取出球是白球的概率 p；如果已知从乙袋中取出的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率 q（分数：2.00）_27.三人独立地同时破译一个密码，他们每人能够译出的概率分别为 （分数：2.00）_28.甲盒内有 3个白球与 2个黑球，
9、从中任取 3个球放入空盒乙中，然后从乙盒内任取 2个球放入空盒丙中，最后从丙盒内再任取 1个球，试求：()从丙盒内取出的是白球的概率；()若从丙盒内取到白球，当初从甲盒内取到 3个白球的概率（分数：2.00）_考研数学一（随机事件和概率）-试卷 2答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A和 B为任意二不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有（分数：2.00）A.不相容B.相容C.P(A D.P(A解析：解析：因为 P(A P(AAB) =P(
10、A)+P3.设 A 1 ，A 2 和 B是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1 A 2 )B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)，则（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 )B.P(A 1 A 2 )=P(A 1 B)+P(A 2 B)C.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B) D.P(A 1 A 2 ) 解析：解析：由条件知，P(A 1 A 2 B)=0，但是这不能保证 P(A 1 A 2 )=0和 P(A 1 A 2 )=0，故(A)和(D)不成立由于 P(A 1 B)+P(A 2 B)=P(A 1 A 2 B)未必等于 P(A
11、 1 +A 2 )，因此(B)一般也不成立由 P(B)0 及 P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)，可见选项(C)成立： 4.设随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是（分数：2.00）A.AB=B.= C.A=BD.解析：解析：因 AB=5.下列事件中与 A互不相容的事件是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于( 与任何一个事件 A都互不相容，即 ，而6.设随机事件 A与 B为对立事件，0P(A)1，则一定有（分数：2.00）A.0P(A U B)1B.0P(B)1 C.0P(AB)1D.0解析：解析：因 A、B 为对立事件，
12、即 AB=，AB= 所以 P(AB)=0，P7.已知事件 A发生必导致 B发生，且 0P(B)1，则 P(A （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：由题设知 A8.在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(BA)+P （分数：2.00）A.0P(A)1，B 为任意随机事件 B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件D.A与 B为相互独立事件解析：解析：由于 A P(B)=P(AB9.在全概率公式 P(B)= （分数：2.00）A.A 1 ，A n 两两独立，但不相互独立B.A 1 ，A n 相互独立C.A 1 ，A n 两两互不相容D.A 1 ，A n 两两互不相容，其和
13、包含事件 B，即 解析：解析：若 A 1 ，A n 两两互不相容，则 A 1 B，A n B亦两两互不相容，且因 B，故P(B)=P( A i B)应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即 10.同时抛掷三枚匀称的硬币，正面与反面都出现的概率为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设 B k 表示三枚中出现的正面硬币个数，k=0，1，2，3，P(A)为所求概率，依题意 11.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”：C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是（分数：2.00）A.A与 B独立B.B与 C独立 C.A与 C独立D.
14、BC 与 A独立解析：解析：试验的样本空间有 8个样本点，即 =(正，正，正)，(正，反，反)，(反，反，反)显然 B与 C为对立事件，且依古典型概率公式有 由于 P(A)P(B)= ，即 P(AB)=P(A)P(B)因此 A与 B独立，类似地 A与 C也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此 BC 与 A也独立，用排除法应选(B)或直接计算 P(BC)=0，P(B)P(C)=12.A，B，C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件（分数：2.00）A.A，B，C 两两独立B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C.P(AB)=1 D.P(AB)=0解析：解析：由三个事件相互独立的条件可
15、知，(A)与(B)显然不对 由以上 1)，2)，3)可知A，B，C 两两独立 4)由 P(ABC)P(B)=0二、填空题(总题数：6，分数：12.00)13.两人相约于晚 7点到 8点间在某处会面，到达者等足 20分钟便立即离去设两人的到达时刻在 7点到8点间都是随机且等可能的，则两人能会面的概率 P= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：59）解析：解析：以 x，y 分别表示两人到达时刻在 7点后韵分钟数，记事件 A表示 “两人能会面”，如图11 所示，则 14.设随机事件 A，B 及 AB 的概率分别为 04，03 和 06，则 P(A （分数：2.00）填空项 1:
16、_ （正确答案：正确答案：03）解析：解析：由于 A=A=A(B =AAB 而 AB A，根据减法公式，可得 P(A )=P(AAB)=P(A)一 P(AB) 根据加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)，可得 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=04+0306=01， 所以 P(A15.口袋内有四个同样的球，分别标有号码 1，2，3，4每次从中任取一个球(每次取后放回去)，连续两次如果第 i次取到球上的编号记为 a i ，i=1，2，记事件 A表示事件“ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1)，(1，4)，(2，1)，(4，4) (2，1)
17、，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4) ）解析：解析：=(i，j)：i，j=1，2，3，4=(1，1)，(1，4)，(2，1)，(4，4)； A=(i，j)：i 2 4j，i，j=1，2，3，4 =(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)； 16.设事件 A发生的概率是事件 B发生概率的 3倍，A 与 B都不发生的概率是 A与 B同时发生概率的 2倍，若 P(B)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(A)=3P(B)= P( )=1一 P(AB)=1 一 P(A)一 P(B)+
18、P(AB)=2P(AB)， P(AB)=14P(B)=17.设事件 A与 B相互独立，已知它们都不发生的概率为 016，又知 A发生 B不发生的概率与 B发生 A不发生的概率相等，则 A与 B都发生的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：036）解析：解析： 18.三个箱子，第一个箱子中有 4个黑球与 1个白球，第二个箱中有 3个黑球与 3个白球，第三个箱中有3个黑球与 5个白球现随机地选取一个箱子从中任取 1个球，则这个球为白球的概率是 1；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解
19、析：解析：设事件 A i ：“取到第 i箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，易见 A 1 ，A 2 ，A 3 是一完备事件组，第一空应填 P(B)，第二空为 P( B)，依题意，有 应用全概率公式与贝叶斯公式 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设平面区域 D是由坐标为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)的四个点围成的正方形今向 D内随机地投入 10个点，求这 10个点中至少有 2个点落在曲线 y=x 2 与直线 y=x所围成的区域 D 1 内的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
20、：设事件 A表示“任投的一点落在区域 D 1 内”，则 P(A)是一个几何型概率的计算问题样本空间 =(x，y)0x1，0y1，有利于事件 A的样本点集合为 D 1 =(x，y)x 2 yx(如图 13)依几何型概率公式 其中 S D =1，S D1 = 设事件 B k 表示“10 个点中落入区域 D 1 的点的个数为 k”，k=0，10，这是一个十重伯努利概型问题，应用伯努利公式 P(B 2 B 3 B 10 )=1一 P(B 0 )一 P(B 1 )=1一(1 一 p) 10 一 p(1一 p) 9 =1一 )解析：21.铁路一编组站随机地编组发往三个不同地区 E 1 ，E 2 和 E 3
21、 的各 2节、3 节和 4节车皮，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率 p（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A=发往同一地区的车皮恰好相邻，B i =发往 E i 的车皮相邻(i=1，2，3)，将发往 E 1 ，E 2 和 E 3 三个不同地区的车皮统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻，总共有 3!=6种不同情形，其中每种情形对应 B 1 ，B 2 和 B 3 的一种排列6 种不同情形都是等可能的，如 B 1 B 2 B 3 是其中一种可能的情形，即“发往 E 1 的 2节车皮编在最前面，发往 E 2 的 3节车皮编在中间，发往 E 3 的 4节车皮编在最后面”由古典型概率的
22、计算公式，有 从而 p=P(A)=6P(B 1 B 2 B 3 )= )解析：22.将长为 L的棒随机折成三段，求这三段能构成三角形的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A表示“三段构成三角形”，且第一、二段的长分别为 x与 y，则第三段的长为 L一 x一 y，且 =(x，y)0x，y，x+yL欲使三段构成三角形，则任意两段之和必须大于第三段，即 x+yL 一 x一 y，x+L 一 xyy，y+L 一 x一 yx， 亦即 x+y ，故 A为 A=(x，y)0y，x x+yL 为等腰直角三角形，直角边长为 L，A 为图 12 阴影部分，由几何概率定义得 )解析：23.假设从单位
23、正方形区域 D=(x，y)0x1，0y1中随机地选取一点，以该点的两个坐标 x与 y作为直角三角形的两条直角边，求该直角三角形的面积大于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A=“直角三角形面积大于 ”，依题意，事件 A所在区域 D 1 =(x，y)0x1，0y1， ，如图 13，则 应用几何型概率公式 p=P(A)= )解析：24.假设随机事件 A与 B相互独立，P(A)=P =a一 1，P(AB)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：从 P =a一 1，得 P(B)=2a，P(A)P(B)=(a1)(2 一 a)应用广义加法公式 a一 1+(2a)一(a 一 1)(2
24、一 a) = )解析：25.一个班内有 20位同学都想去参观一个展览会，但只有 3张参观票，大家同意通过这 20位同学抽签决定 3张票的归属计算下列事件的概率： ()“第二人抽到票”的概率 P 1 ； ()“第二人才抽到票”的概率 P 2 ； ()“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”的概率 P 3 ； ()“前两人中至少有一人抽到票”的概率 P 4 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A i =“第 i人抽到票”，i=1，2 ()如果是填空题，可以根据抽签公平性原理得知中签率应与抽签次序无关直接填写 p 1 =P(A 2 )= ；作为计算题，应写出解题步骤根据全概率公式 p 1
25、 =P(A 2 )=P(A 1 )P(A 2 A 1 )+P ()事件“第二人才抽到票”表示“第一人未抽到票、但第二人抽到了票”，根据乘法公式 ()“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”表示已知事件 A 1 发生，再考虑事件 A 2 出现 p 3 =P(A 2 A 1 )= ()根据加法公式与乘法公式 p 4 =P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 )一 P(A 1 A 2 ) =P(A 1 )+P(A 2 )一 P(A 1 )P(A 2 A 1 )= )解析：26.甲袋中有 3个白球 2个黑球，乙袋中有 4个白球 4个黑球，现从甲袋中任取 2球放入乙球，再从乙袋中取一球，求取出
26、球是白球的概率 p；如果已知从乙袋中取出的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率 q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=“从乙袋中取出一球为白球”，试验理解为：一次从甲袋中取出两球，记 B i =“从甲袋中取出的 2球中恰有 i个白球”，i=0，1，2，则 B 0 ，B 1 ，B 2 是一完备事件组，A=AB 0 AB 1 AB 2 ，由全概率公式 )解析：解析：显然 A=“从乙袋中任取一球是白球”的概率 p与其前提条件：“从甲袋取出 2球颜色”有关我们自然想到将 A对其前提条件的所有可能情况作全集分解，应用全概公式计算 P(A)=p；而概率 q是在“结果 A”已发生条件下
27、，追溯“原因”的概率，故要应用贝叶斯公式27.三人独立地同时破译一个密码，他们每人能够译出的概率分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A、B、C 分别表示三人各自能够译出密码，依题意 A、B、C 相互独立，且P(A)= P(B)= ，则 p=P(ABC)=1 )解析：28.甲盒内有 3个白球与 2个黑球，从中任取 3个球放入空盒乙中，然后从乙盒内任取 2个球放入空盒丙中，最后从丙盒内再任取 1个球，试求：()从丙盒内取出的是白球的概率；()若从丙盒内取到白球，当初从甲盒内取到 3个白球的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意，有 应用全概率公式 )解析：解析：设 C=“从丙盒内取到白球”，易见它与从乙盒内取到球的颜色组成有关设 B j =“从乙盒中取到 j个白球”，j=0，1，2，易见 B j 的发生又与从甲盒中取出球的颜色有关设 A i =“从甲盒中取到 i个白球”，i=1，2，3，且 A 1 ，A 2 ，A 3 与 B 0 ，B 1 ，B 2 分别是两个完备事件组，应用全概率公式求出 B j ，再计算出 P(C)
