1、考研数学三（随机事件与概率）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则下列结沦正确的是( ) （A）P(C)=P(AB) （B） P(C)=P(A U B)（C） PCP(A)+P(B)一 l （D）P(C)P(A)+P(B 一 1)2 若 A、B 相互独立，则下列各式一定成立的是( )（A）（B）（C）（D）3 事件 A、B 互不相容，其概率均不为 0，则下列结论中肯定成立的是 ( )（A）A 与 B 互不相容 （B） A 与 B 互不相容（C） P(BA)=0 （D）P(BA)=04 设
2、A，B，C 是三个两两相互独立的事件，且 P(ABC)=0，00 （B） c0 且 0 （C） c0 （D）c0 且 O9 假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（A）是连续函数 （B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数 （D）恰好有一个间断点10 设随机变量 X 服从分布 F(n，n)记 p1=PX1)，p 2=X1)，则( )（A）p 1p2（B） p12（C） p1=p2（D）因自由度 n 未知，无法比较 p1 与 p2 大小11 设随机变量 X 和 Y，都服从标准正态分布，则( )（A）X+Y 服从正态分布 （B） X2+Y2 服从 X2 分布（
3、C） X2 和 Y2 都服从 X2 分布 （D）X 2Y 2 服从 F 分布12 设随机变量 X 与 Y 服从正态分布，XN(,4 2)，Y 一 N(，5 2)，记 p1=Px一4，p 2=Py+5，则( )（A）对任何 ，都有 P1=P2 （B）对任何实数 ，都有 P12（C）只对 的个别值，才有 P1=P2 （D）只任何实数 ，都有 P1P213 设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 Fn(x)、F y(y)，则Z=min(X，Y) 的分布函数是( )（A）F z(z)=maxFx(x)，F Y(y)（B） Fz(z)=minFX(z)，F Y(y)（C） FZ(Z)=1-1
4、 一 Fx(x)1 一 Fy(，y)（D）F z(z)=Fy(y)14 设 X,y 是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是 Fx(x)、F y(y)，则Z=max(X，Y)的分布函数是( )（A）F Z(Z)=maxFX(X)，F y(y)（B） Fz(z)=Fx(x)Fy(y)（C） Fz(z)=maxF x(x)， F y(y)（D）F z(z)=Fx(x)15 设随机变量 ，则( )（A）Y 一 x2(n) （B） y 一 x2(n 一 1)（C） yF(n，1) （D）1，一 F(1，n)16 设随机变量 X 具有密度函数 ，则 PXE(X)（A）1 （B） 05 （C） 04 （
5、D）0217 设 X1 和 x2 任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则( )（A）f 1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度（B） f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度（C） F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）F 1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数18 设二随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，则随机变量 U=X+Y，与 V=X 一 Y，不相关的充分必要条件为( )（A）E(X)=E(y)（B） E(X2)一 E(X)2=E(Y2)一E(Y) 2（C） E(
6、X2)=E(Y2)（D）E(X 2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)219 已知随机变量 X 在一 1，1上服从均匀分布， y=X2，则 X 与 Y( )（A）不相关且相互独立 （B）不相关且相互不独立（C）相关且相互独立 （D）相关且相互不独立20 设随机变量 X 和 Y 相互独立，X 在区间(0，2)上服从均匀分布，Y 服从参数为1 的指数分布，则概率 PX+Y1=( )（A）112e （B） 1e （C） e （D）2 e21 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是( )（A）X，Y 一定相互独立（B） X，Y 的任意线性相合 l1X+l2Y 服从于一维正态分布
7、（C） X，Y 分别服从于一维正态分布（D）当参数 p=0 时，X，Y 相互独立22 下列说法错误的是( ) （A）若(X，Y) 服从二维正态分布，则 X，-Y 服从一维正态分布（B）若 (x，Y)都服从正态分布，则 Xy 也服从正态分布（C）若 (X，Y，Z) 服从正维正态分布，则 X，Y，Z 相瓦独立与它们两两不相关等价（D）若 X，Y 相互独立且都服从于正态分布，则 X+Y 也服从正态分布23 已知随机变量 X、Y，且 n，b，c，则 Pmax(X，Y0)=( )（A）（B）（C）（D）二、填空题24 甲袋中有 5 只白球，5 只红球，15 只黑球，乙袋中有 10 只白球，5 只红球，1
8、0只黑球，从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率为_25 甲袋中有 4 个红球 2 个白球，乙袋中有 2 个红球设从袋中取球时各球被取到的可能性相等今从甲袋中任取一球放人乙袋中，再从乙袋中任取一球，则从乙袋中取到的球是白球的概率为_26 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格的概率为_27 设 A、B 为两随机事件，=_.28 设 ,则 P（A B）=_.29 连续型随机变量 X 的概率密度函数为 则 PX90)=_30 设随机变量 X 的概率密度为31 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)(0)且二次方程 y2+4y
9、+X=0 尤实根的概率为 ，则 =_32 随机变量 X 的分布律为 则 y=X2+1 的分布律为_33 设随变量 的取值为一 1，1， 的取值为一 3，一 2，一 1，且 P=一 1=04，则 F(x)= 为某一一连续型随机变情 X 的分布函数的概率是_34 设二维随机变培(X，Y)服从二维正态分布：(X，Y) N(0，0，1,1；0)，则概率=_35 已知(X，Y)的概率密度为 1108 服从参数为_的_分布36 X，Y 相互独立，同服从 u(0，2)，即(0，2) 上的均匀分布， Z=m-min(X，Y)，则 e(00【知识模块】 随机变量及其概率分布9 【正确答案】 D【试题解析】 令
10、Y=min(X，2)，当 yY(y)=0；当 y2 时，F Y(y)=1当 0yY(y)=PYy=Pmin(X，2)y)=PXy=1e -y 因此 FY(y)恰有一个间断点(y=2)【知识模块】 随机变量及其概率分布10 【正确答案】 C【试题解析】 题中随机变量 X 服从 F 分布，应从 F 分布性质人手如果XF(m，n)，则 1XF(n，m) 由题中条件知 m=n于是 X 与 1X 都服从分布 F(n，n)事件X1与 相等，因此 PX1=P =p1又因 X 与同分布，因此=Px1=p 2综上分析知， p1=p2故应选 C【知识模块】 随机变量及其概率分布11 【正确答案】 C【试题解析】
11、当随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，且两者相互独立时，题中四选项均成立当未给 X 与 Y 相互独立的条件时，A,B,D 均不一一定成立【知识模块】 随机变量及其概率分布12 【正确答案】 A【试题解析】 由题设，把 X，Y，标准化有 因此 P1=P2，故选 A【知识模块】 随机变量及其概率分布13 【正确答案】 C【试题解析】 F z(z)=PZz)=Pmin(X，Y)z=1 一 Pmin(X，Y)z)=1 一PXzYz=1 一 PXzPYz=1 一1 一 Fx(x)1 一 Fy(y)【知识模块】 随机变量及其概率分布14 【正确答案】 B【试题解析】 F z(z)=PZz)=Pmax
12、(X，Y)z=PXzYz=PfXzPYzt=F x(x)Fy(Y)【知识模块】 随机变量及其概率分布15 【正确答案】 C【试题解析】 根据 t 分布的性质，x 2 一 F(1，n)，再根据 F 分布的性质击，因此 Y= 故应选择 C【知识模块】 随机变量及其概率分布16 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 随机变量及其概率分布17 【正确答案】 D【试题解析】 首先可否定选项 A 与 C，因用排除法应选 D进一步分析可知，若令 x=max(X1，X 2)，而 X1f i(x)，i=l，2，则 X 的分布函数 F(x)恰是 F1(x)F2(x)【知识模块】 随机变量及其概率分布18 【
13、正确答案】 B【试题解析】 因为 U 与 V 不相关的充要条件是 cov(U，V)=0，即 cov(X+Y，X Y)=cov(X，X)一 cov(C，Y)+cov(Y，X) 一 cov(Y，Y)=D(X)一 D(Y)=E(X2)一 E2(X)一E(Y 2)一 E2(y)=0 故 B 正确【知识模块】 多维随机变量及其概率分布19 【正确答案】 D【试题解析】 由 X 与 Y 之间存在的函数关系，或根据 Jp(X0，Y ，0)=P(x0)P(X0).P(Y0)知，X 与 Y 不独立，A 项不正确；由而 EX=0，知 pxy0，排除 B；C 项对任意随机变量X 与 Y 均不成立，因为相互独立必不相
14、关；故正确选项 D【知识模块】 多维随机变量及其概率分布20 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 随机变量 X和 Y 相互独立二维随机变量(X，Y)的概率密度为【知识模块】 多维随机变量及其概率分布21 【正确答案】 A【试题解析】 因 X，Y，的边缘概率密度函数分别为其联合密度函数为：因当 p0 时，f x(x).fy(y)(x，y)，故 X，Y 不相互独立【知识模块】 多维随机变量及其概率分布22 【正确答案】 B【试题解析】 根据正态分布的性质：“多维随机变坦服从于多维正态分布的充要条件是它的任一线性组合服从于一维正态分布”及“多维_正态分布随机变最相互独立与不相关等价”知 A、C
15、正确设 XN( 1， 12)，N( 2， 2)2，则 X 与 Y 相互独立时，X+Y 一 N( 1+1， 12+22)，因此选项 D 正确【知识模块】 多维随机变量及其概率分布23 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 多维随机变量及其概率分布二、填空题24 【正确答案】 【试题解析】 设 Ai：从甲袋取出的球的颜色依次为白、红、黑B i：从乙袋中取出的球的颜色依次为白、红、黑(i=1，2，3)C： “取出的球颜色相同”则 C=A1B1+A2B2+A3B3 故 PC=P(A 1B1+A2B2+A3B3)=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(
16、B2)+P(A3)P(B3)而 即【知识模块】 随机事件与概率25 【正确答案】 【试题解析】 设 A1：“从甲袋中任取一球为红球” ，A 2：“从甲袋中任取一球为白球”，B ：“从乙袋中取到的球是白球”，则 A1A2= ，A 1UA1=【知识模块】 随机事件与概率26 【正确答案】 02【试题解析】 设 A：“所取的两件产品中至少有一件是不合格品 ”，B ：“所取的两件都是不合格品”【知识模块】 随机事件与概率27 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 随机事件与概率28 【正确答案】 【试题解析】 因为 所以【知识模块】 随机事件与概率29 【正确答案】 1【试题解析】 由密度函数的性
17、质 故【知识模块】 随机变量及其概率分布30 【正确答案】 【试题解析】 由概率密度的性质，有所以 于是【知识模块】 随机变量及其概率分布31 【正确答案】 4【试题解析】 设事件 A 表示“二次方程 y2+4y+X=0 无实根”，则 A=164X4)依题意，有 又随机变量 X 服从正态分布，故即有 得出 =4【知识模块】 随机变量及其概率分布32 【正确答案】 【试题解析】 由 Y=x2+1 及 X 的分布律可知【知识模块】 随机变量及其概率分布33 【正确答案】 06【试题解析】 由分布函数的性质 处连续，得 =1，【知识模块】 随机变量及其概率分布34 【正确答案】 【试题解析】 由(X
18、，Y) 一 N(0，0；1，1；0)，知，XN(0，1)，YN(0 ，1) 且pxy=0，从而 X，Y 相互独立，故【知识模块】 多维随机变量及其概率分布35 【正确答案】 (1，1) ；F【试题解析】 由题设知(X，Y)服从二维正态分布，且1109 故 XN(0，2 2)，YN(1，3 2)， X 与 Y 独立，又由于 1110 根据 F 分布典型模式知 1111【知识模块】 多维随机变量及其概率分布36 【正确答案】 【试题解析】 实际上【知识模块】 多维随机变量及其概率分布37 【正确答案】 【试题解析】 因 则【知识模块】 多维随机变量及其概率分布38 【正确答案】 【试题解析】 因为 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数所以【知识模块】 多维随机变量及其概率分布
