1、考研数学三（随机事件和概率）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ABC 为随机事件， A 发生必导致 B 与 C 最多一个发生，则有2 设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有（A）C 与 A-B 独立（B） C 与 A-B 不独立（C） AC 与 B 独立（D）AC 与 B 不独立3 设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0， =P(BA)，则必有（A）P(AB)= （B） P(AB) （C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B) 4 设事件 A 与
2、 B 满足条件 AB= ，则（A）AB= （B） AB=（C） AB=A（D）AB=B5 设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的是（A）A，B 为对立事件（B） 互不相容（C） A，B 不独立（D）A，B 相互独立6 设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B A，且 P(A)P(B)1，则一定有（A）P(AB)=P(A)+P(B)（B） P(A-B)=P(A)-P(B)（C） P(AB)=P(A)P(BA)（D）P(AB)P(A)7 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面 ， A23=正、反面各出现一次
3、，A 4=正面出现两次 ，则（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立二、填空题8 已知 ，则 X=_9 设随机事件 A，B 满足条件 AC=BC 和 C-A=C-B，则 =_10 在一个盒子中放有 10 个乒乓球，其中 8 个是新球，2 个是用过的球在第一次比赛时，从该盒子中任取 2 个乒乓球，比赛后仍放回盒子中在第二次比赛时从这个盒子中任取 3 个乒乓球，则第二次取出的都是新球的概率为_11 某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面都是正面如果他随机取一枚抛出，结果出现正面，
4、则该枚硬币是均匀的概率为_.12 某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面都是正面如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为_13 对同一目标接连进行 3 次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为78，则单次射击命中目标的概率 p=_14 设随机事件 A 与 B 互不相容，且 A=B，则 P(A)=_15 重复独立掷两个均匀的骰子，则两个骰子的点数之和为 4 的结果出现在它们点数之和为 7 的结果之前的概率为_16 若在区间(0，1) 上随机地取两个数 u，v，则关于 x 的一元二次方程 x2-2ux+u=0有实根的概率是_17 设 A、B 是两个随机事件，且 P
5、(A)=_18 已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，设A=max(X，Y)0，B=max(X，Y) 0，min(X，Y) 0 ，C=max(X，Y)0，min(X，Y)0 ，则 P(A)=_，P(B)=_，P(C)=_ 19 设有某种零件共 100 个，其中 10 个是次品，其余为合格品现在从这些零件中不放回抽样，每次抽取一个零件，如果取出一个合格品就不再取下去，则在三次内取到合格品的概率为_.20 甲、乙二人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜设甲、乙每次投篮的命中率分别是 P 与 05，则p=_时，甲、乙胜负概率相同.三、解答题解答
6、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 抛掷两枚骰子，在第一枚骰子出现的点数能够被 3 整除的条件下，求两枚骰子出现的点数之和大于 8 的概率22 在区间(0 ，1) 中任取两数，求这两数乘积大于 025 的概率23 已知 P(A)=05，P(B)=06，P(B A)=08，求 P(A8)和 P(BA) 24 每箱产品有 10 件，其中次品数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的概率为 10试求：()随机检验一箱产品，它能通过验收的概率 p；()检验 10 箱产品通
7、过率不低于 90的概率 q25 某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为 0.8，0.7 与 09已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为 02；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为 06；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为 09求该仪器的不合格率；26 一条自动生产线连续生产 n 件产品不出故障的概率为 ，n=0，1 ，2， 假设产品的优质品率为 p(0P1)如果各件产品是否为优质品相互独立 () 计算生产线在两次故障间共生产 k 件(k=0，1，2，)优质品的概率； ( )若已知在某
8、两次故障间该生产线生产了 k 件优质品，求它共生产 m 件产品的概率考研数学三（随机事件和概率）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 B 与 C 最多有一个发生就是 B 与 C 不可能同时发生，即 BC=故选(C) 【知识模块】 随机事件和概率2 【正确答案】 D【试题解析】 对于(A) ，(B) ： PC(A-B)= =P(AC)-P(ABC)=P(A)P(C)-P(ABC)， P(C)P(A-B)=P(C)P(A)-(AB)=P(A)P(C)-P(A)P(B)p(C)尽管 A，B ，C两两独立，但未知 A，B
9、，C 是否相互独立，从而不能判定 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立，故(A) ，(B)均不正确如果 AC 与 BC 独立，则与题设P(A)，P(B)， P(C)(0，1)矛盾，因此排除(C)，选 (D)【知识模块】 随机事件和概率3 【正确答案】 C【试题解析】 由题设条件可知，无论事件 A 发生与否，事件 B 发生的概率都相同，即事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，因此可以确认 A 与 B 是相互独立的应该选(C) 事实上，【知识模块】 随机事件和概率4 【正确答案】 B【试题解析】 由“对称性”知(C)、(D) 都不成立(否则，一个成立另一个必成立)，而(A)成立
10、相矛盾，所以正确选项是(B) 事实上，由对偶法则及题设有【知识模块】 随机事件和概率5 【正确答案】 C【试题解析】 A，B 互不相容，只说明 AB= ，但并不一定满足 AB=，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB= 不一定成立，故 AB 即 AB=亦不一定成立，因此选项(A)与(B)均不能选同时因 P(AB)=P( )=0，但是 P(A)P(B)0，即 P(AB)P(A)P(B)，故 A 与 B 一定不独立，应选(C)【知识模块】 随机事件和概率6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 B A，则 AB=B，AB=A当 P(A)0 时，选项(A)不成立；当 P(A)=0 时，条件概
11、率 P(BA) 不存在，选项(C) 不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设 P(A)P(B)，故选项(B)不成立对于选项(D)，依题设条件 0P(A)P(B)1，可知条件概率 P(AB)存在，并且故应选(D)【知识模块】 随机事件和概率7 【正确答案】 C【试题解析】 试验的样本空间有 4 个样本点，即 =(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反 )，显然 ，且 A3 与 A4 互不相容，依古典型概率公式，有 计算可见 P(A 1A2)=P(A1)P(A2)， P(A1A3)=P(A1)P(A3)，P(A 2A3)=P(A2)P(A3)， P(A 3A4)=0， P(A1A2A3)=0.
12、 因此，A 1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立而 A2，A 3，A 4 中由于A3 与 A4 不独立，从而不是两两独立，更不可能相互独立综上分析，应选(C)【知识模块】 随机事件和概率二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 由事件的运算性质，可得【知识模块】 随机事件和概率9 【正确答案】 【试题解析】 由于 A=(AC)-(C-A)=(BC)-(C-B)=B，因此【知识模块】 随机事件和概率10 【正确答案】 0.218【试题解析】 在第一次比赛时从盒子中任取的 2 个乒乓球之中，可能全是用过的球，可能有 1 个新球 1 个用过的球，也可能全是新球设 Ai 表示事件“在第一次比赛时取
13、出的 2 个球中有 i 个是新球，其余是用过的球 ”(i=0，1，2) ，B 表示事件“在第二次比赛时取出的球全是新球”，则有由于 A0，A 1，A 2 构成完备事件组，因此由全概率公式可得【知识模块】 随机事件和概率11 【正确答案】 【试题解析】 两小题都是求条件概率，因此需用贝叶斯公式设 B=“取出的硬币是均匀的”，A i=“第 i 次抛出的结果是正面”，i=1，2，则所求概率为 P(BA 1)由贝叶斯公式得【知识模块】 随机事件和概率12 【正确答案】 【试题解析】 两小题都是求条件概率，因此需用贝叶斯公式设 B=“取出的硬币是均匀的”，A i=“第 i 次抛出的结果是正面”，i=1，
14、2，则所求概率为P(BA 1A2)由贝叶斯公式得【知识模块】 随机事件和概率13 【正确答案】 【试题解析】 引进事件 Ai=第 i 次命中目标(i=1，2，3)，由题设知，事件A1，A 2，A 3 相互独立，且其概率均为 p，由 3 次独立重复射击至少命中目标一次的概率解得【知识模块】 随机事件和概率14 【正确答案】 0【试题解析】 由于 A=B，于是有 AB=A=B，又由于 A 与 B 互不相容，因此 AB=，即 A=B= 所以 P(A)=0【知识模块】 随机事件和概率15 【正确答案】 【试题解析】 设 A 表示“点数之和 4 出现在点数之和 7 之前”；B 表示“第一次试验出现点数之
15、和 4”；C 表示“第一次试验出现点数之和 7”；D 表示“第一次试验没出现点数之和 4 与点数之和 7”，则 B，C，D 构成一个完备事件组，且A=A(B+C+D)易知，总样本数为 62=36，P(B)= (因 B 中有 3 个样本点：(1，3)，(2，2)，(3，1) ，P(C)= ，且 P(AB)=1， P(A C)=0 ， P(A D)=P(A)由全概率公式，得 P(A)=P(B)P(AB)+P(C)P(AC)+P(D)P(A D)【知识模块】 随机事件和概率16 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A 表示“方程 x2-2vx+u=0 有实根”，因 u，v 是从(0，1)中任意取的两
16、个数，因此点(u，v)与正方形区域 D 内的点一一对应，其中D=(u，v) 0u 1，0 v1 事件 A=(u，v)(2v) 2-4u0，(u，v)0，有利于事件 A 的样本点区域为图 12 中阴影部分 D1，其中D1=(u，v) v2u，0u，v1依几何型概率公式，有【知识模块】 随机事件和概率17 【正确答案】 【试题解析】 根据乘法公式再应用减法公式 或应用加法公式【知识模块】 随机事件和概率18 【正确答案】 【试题解析】 首先要分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，而后应用概率性质计算概率 由于 A=max(X，Y)0=X，Y 至少有一个大于等于 0=X0Y0，故 P(A)=
17、PX0+PY0-PX0，Y0= 又max(X，Y)0 min(X，Y)0 ，则 B=max(X，Y)0，min(X ，Y)0=max(X，Y)0= 从而 由全集分解式知：A=max(X，Y)0=max(X，Y)0，min(X ，Y)0+max(X，Y)0，min(X，Y)0=C+X0，Y0 ，故 P(C)=P(A)-PX0，Y0=【知识模块】 随机事件和概率19 【正确答案】 0.9993【试题解析】 设事件 Ai 表示“第 i 次取到合格品”(i=1，2，3)，事件 A 表示“在三次内取到合格品”，则有【知识模块】 随机事件和概率20 【正确答案】 【试题解析】 记事件 Ai，B i 分别表
18、示甲、乙在第 i 次投篮中投中，i 为甲、乙二人投篮的总次数，i=1，2，3，4，记事件 A，B 分别表示甲、乙取胜事件 A 可以表示为下列互不相容的事件之和，即又 A 中每项中的各事件相互独立，因此有 =P+05 2(1-P)P+05 4(1-p)2p+ =P+025(1-p)p+025(1-p) 2p+这是一个公比q=0025(1-p) 的几何级数求和问题由于 0025(1-p)1，该级数收敛，且若要甲、乙胜率相同，则 P(A)=P(B)=05，即按这种游戏规则，只有当 时，甲、乙胜负概率相同【知识模块】 随机事件和概率三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】
19、设 A 表示事件“第一枚骰子出现的点数能够被 3 整除”，B 表示事件“两枚骰子出现的点数之和大于 8”抛掷两枚骰子所出现的点数为 (i，j)(i，j=1，2，6)，其中 i，j 分别表示抛掷第一枚骰子和抛掷第二枚骰子出现的点数，共有 62=36 种结果，即有 36 个基本事件抛掷第一枚骰子出现 3 点或 6 点时，才能被 3 整除，因此事件 A 包含 2 个基本事件，从而 事件 A和事件 B 的交 AB=(3， 6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6) ，即包含 5 个基本事件，因此 所求概率即为条件概率【知识模块】 随机事件和概率22 【正确答案】 设 x 与 y 为从(0，1
20、)中取出的两个数，记事件 A 表示“x 与 y 之积大于 025”，则 =(c，y)0x，y1 ， A=(x，y)xy025，(x，y) ，A 的图形如图 11 所示，由几何概率定义得【知识模块】 随机事件和概率23 【正确答案】 由题设及乘法公式有 P(AB)=P(A)P(BA)=0508=04，从而依题设及加法公式有 P(A8)=P(A)+P(B)-P(AB)=05+06-04=0 7 由条件概率的定义有 =(06-0 4)(1-05)=04【知识模块】 随机事件和概率24 【正确答案】 () 记 B=“任取一件产品为正品”， =“任取一件产品为次品”，则A=BA ，由题设知 P(AB)=
21、1-0 02=0 98， =01，所以=098P(B)+1-P(B)01=0 1+088P(B)显然 P(B)与该箱产品中有几件次品有关，为计算P(B)，我们再次应用全概率公式若记 Ci=“每箱产品含 i 件次品”(i=0 ，1，2)，则C0，C 1，C 2 是一完备事件组，P(C i)= ，故 B=C0BC1BC2B，且 P(B)=P(C0)P(BC 0)+P(C1)P(BC 1)+P(C2)P(BC 2) 所以 p=01+08809=0 892( )如果用 X 表示检验 10 箱被接收的箱数，则通过率为 =PX9，其中 X 是 10 次检验事件 A发生的次数，XB(10，0892)，故 q
22、=Px9 =PX=9+PX=10=10089290108+0892 100705【试题解析】 如果记 A=“一箱产品能通过验收”，则 p=P(A)事件 A 等价于“在10 件产品中任取一件检验结果为正品”，A 的发生与其前题条件 “取出产品是正品还是次品”有关，因此我们用全概率公式计算 P(A) 【知识模块】 随机事件和概率25 【正确答案】 记事件 B=“仪器不合格” ，A i=“仪器上有 i 个部件不是优质品”，i=1，1 ，2， 3显然 A0，A 1，A 2，A 3 构成一个完备事件组，且 P(BA 0)=0，P(BA 1)=02，P(BA 2)=06，P(BA 3)=09， P(A 0
23、)=080709：0504， P(A 1)=0.20.709+080 309+08070 1=0 398， P(A 3)=020301=0006 ，P(A 2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0092应用全概率公式有=05040+0 3980 2+0 09206+000609=01402【试题解析】 依题意，仪器的不合格率与组装该仪器的三个部件的质量有关，即三个部件是否为优质品是导致“仪器不合格”发生的全部因素因此我们要对导致“仪器不合格”这一事件发生的所有可能因素进行全集分解，再应用全概率公式计算出仪器不合格的概率；如果在发现了仪器不合格，从而返回来追溯分析当初组装仪器上三个部件的
24、优质品数量，则需要应用贝叶斯公式【知识模块】 随机事件和概率26 【正确答案】 () 应用全概率公式，有()当 mk时，P(A mB k)=0；当 mk 时，【试题解析】 记事件 Bk=“两次故障间共生产 k 件优质品”，B k 显然与两次故障间生产的产品总数有关记 An=“两次故障间共生产 n 件产品”，n=0，1，2，A 0，A 1，A 2，构成一个完备事件组在应用全概率公式时，条件概率 P(BkA n)的计算是一个 n 重伯努利概型问题这是因为每件产品的质量均有优质品与非优质品之分，并且各件产品是否为优质品是相互独立的，又每件产品的优质品率都是 p因此当 nk 时，P(B kA n)=0，当 nk 时，P(B kA n)=Cnkpkqn-k【知识模块】 随机事件和概率
