1、考研数学一（随机事件和概率）-试卷 1及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B，C 为随机事件，A 发生必导致 B与 C最多一个发生，则有（分数：2.00）A.AB.AC.AD.A3.设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有（分数：2.00）A.C与 AB独立B.C与 AB不独立C.AC 与 BD.AC 与 B4.设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(B （分数：2.00）A.P
2、(AB)=P(B.P(AB)P(C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)P(A)P(B)5.设事件 A与 B满足条件 AB= （分数：2.00）A.AB=B.AB=C.AB=AD.AB=B6.设随机事件 A与 B互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的是（分数：2.00）A.A，B 为对立事件B.互不相容C.A，B 不独立D.A，B 相互独立7.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B （分数：2.00）A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)一 P(B)C.P(AB)=P(A)P(BA)D.P(AB)P(A)8.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A
3、 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A3=正、反面各出现一次，A4=正面出现两次，则（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立9.某射手的命中率为 p(0p1)，该射手连续射击 n次才命中 k次(kn)的概率为（分数：2.00）A.p k (1一 p) nk B.C.D.二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.已知(A （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机事件 A，B 满足条件 AC=BC 和 CA=CB，则 （分数：2.0
4、0）填空项 1:_12.在一个盒子中放有 10个乒乓球，其中 8个是新球，2 个是用过的球在第一次比赛时，从该盒子中任取 2个乒乓球，比赛后仍放回盒子中在第二次比赛时从这个盒子中任取 3个乒乓球，则第二次取出的都是新球的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面都是正面()如果他随机取一枚抛出，结果出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为 1；()如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_14.对同一目标接连进行 3次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为 78，则单次射击命中目标的概率
5、p= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机事件 A与 B互不相容，且 A=B，则 P(A)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.重复独立掷两个均匀的骰子，则两个骰子的点数之和为 4的结果出现在它们点数之和为 7的结果之前的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.若在区间(0，1)上随机地取两个数 u，v，则关于 x的一元二次方程 x 2 2vx+u=0有实根的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 A、B 是两个随机事件，且 P(A)= （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= （分数：2.00）填空项 1:_20.设
6、有某种零件共 100个，其中 10个是次品，其余为合格品现在从这些零件中不放回抽样，每次抽取一个零件，如果取出一个合格品就不再取下去，则在三次内取到合格品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_21.甲、乙二人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p与 05，则 p= 1时，甲、乙胜负概率相同（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.抛掷两枚骰子，在第一枚骰子出现的点数能够被 3整除的条件下，求两枚骰子出
7、现的点数之和大于 8的概率（分数：2.00）_24.在区间(0，1)中任取两数，求这两数乘积大于 025 的概率（分数：2.00）_25.已知 P(A)=05，P(B)=06，P(BA)=08，求 P(AB)和 P(B （分数：2.00）_26.每箱产品有 10件，其中次品数从 0到 2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的概率为 10试求：()随机检验一箱产品，它能通过验收的概率 p；()检验 10箱产品通过率不低于 90的概率 q（分数：2.00）_27.某种仪器由三个部件组装而
8、成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为 08，07 与09已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为 02；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为 06；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为 09()求该仪器的不合格率；()如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大（分数：2.00）_28.一条自动生产线连续生产 n件产品不出故障的概率为 （分数：2.00）_考研数学一（随机事件和概率）-试卷 1答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题
9、下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B，C 为随机事件，A 发生必导致 B与 C最多一个发生，则有（分数：2.00）A.AB.AC.A D.A解析：解析：B 与 C最多有一个发生就是 B与 C不可能同时发生，即 BC=3.设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有（分数：2.00）A.C与 AB独立B.C与 AB不独立C.AC 与 BD.AC 与 B 解析：解析：对于(A)，(B)： PC(AB)=P(A C)=P(AC)一 P(ABC)=P(A)P(C)一 P(ABC)， P(C)P(AB)=P(
10、C)P(A)一 P(AB)=P(A)P(C)一 P(A)P(B)P(C) 尽管 A，B，C 两两独立，但未知 A，B，C 是否相互独立，从而不能判定 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立，故(A)，(B)均不正确 如果 AC 与 B， 由于 P P(C)，进而得 P4.设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(B （分数：2.00）A.P(AB)=P(B.P(AB)P(C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(AB)P(A)P(B)解析：解析：由题设条件可知，无论事件 A发生与否，事件 B发生的概率都相同，即事件 A的发生与否不影响事件 B发生的概率，因此可以确认
11、 A与 B是相互独立的应该选(C)5.设事件 A与 B满足条件 AB= （分数：2.00）A.AB=B.AB= C.AB=AD.AB=B解析：解析：由“对称性”知(C)、(D)都不成立(否则，一个成立另一个必成立)，而(A)成立 A=B=这与已知 AB= 相矛盾，所以正确选项是(B) 事实上，由对偶法则及题设有 AB= 因AB B于是有 AB=ABAB=(AB) = 或因为 AB= 所以 AB 于是 AB =6.设随机事件 A与 B互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的是（分数：2.00）A.A，B 为对立事件B.互不相容C.A，B 不独立 D.A，B 相互独立解析：解析
12、：A，B 互不相容，只说明 AB= ，但并不一定满足 AB=，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB= 不一定成立，故 亦不一定成立。因此选项(A)与(B)均不能选同时因P(AB)=P(7.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B （分数：2.00）A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)一 P(B)C.P(AB)=P(A)P(BA)D.P(AB)P(A) 解析：解析：由于 B A，则 AB=B，AB=A当 P(A)0 时，选项(A)不成立；当 P(A)=0时，条件概率 P(BA)不存在，选项(C)不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设 P(A)P(B)，故选项(
13、B)不成立对于选项(D)，依题设条件 0P(A)P(B)1，可知条件概率 P(AB)存在，并且 P(AB)=8.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A3=正、反面各出现一次，A4=正面出现两次，则（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立解析：解析：试验的样本空间有 4个样本点，即 =(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，显然 A 1 A 4 ，且 A 3 与 A 4 互不相容，依古典型概率公式
14、，有 P(A 1 )=P(A 2 )=P(A 3 )= ， P(A 4 )= ， P(A 1 A 2 )=P(A 1 A 3 )=P(A 2 A 3 )= 9.某射手的命中率为 p(0p1)，该射手连续射击 n次才命中 k次(kn)的概率为（分数：2.00）A.p k (1一 p) nk B.C. D.解析：解析：n 次射击视为 n次重复独立试验，每次射击命中概率为 p，不中概率为 1一 p，设事件A=“射击 n次命中 k次”=“前 n一 1次有 k一 1次击中且第 n次也击中”则 P(A)= p k1 (1一 p) n1(k1) .p= 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.已知
15、(A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由事件的运算性质，可得11.设随机事件 A，B 满足条件 AC=BC 和 CA=CB，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 CA=CB 又由 AC=BC 由+可得 亦即 A=B 因此12.在一个盒子中放有 10个乒乓球，其中 8个是新球，2 个是用过的球在第一次比赛时，从该盒子中任取 2个乒乓球，比赛后仍放回盒子中在第二次比赛时从这个盒子中任取 3个乒乓球，则第二次取出的都是新球的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0218）解析：解析：在第一次
16、比赛时从盒子中任取的 2个乒乓球之中，可能全是用过的球，可能有 1个新球 1个用过的球，也可能全是新球设 A i 表示事件“在第一次比赛时取出的 2个球中有 i个是新球，其余是用过的球”(i=0，1，2)，B 表示事件“在第二次比赛时取出的球全是新球”。则有 由于 A 0 ，A 1 ，A 2 构成完备事件组，因此由全概率公式可得 13.某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面都是正面()如果他随机取一枚抛出，结果出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为 1；()如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：() ()
17、）解析：解析：两小题都是求条件概率，因此需用贝叶斯公式设 B=“取出的硬币是均匀的”，A i =“第i次抛出的结果是正面”，i=1，2，则()所求概率为 P(BA 1 )，()所求概率为 P(BA 1 A 2 ) ()由贝叶斯公式得 ()由贝叶斯公式得 14.对同一目标接连进行 3次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为 78，则单次射击命中目标的概率 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：引进事件 A i =第 i次命中目标(i=1，2，3)，由题设知，事件 A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立，且其概率均为 p，由 3次独立重复射击至少命中日标
18、一次的概率 P(A 1 A 2 A 3 )=1一 P 解得 p= 15.设随机事件 A与 B互不相容，且 A=B，则 P(A)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由于 A=B，于是有 AB=A=B，又由于 A与 B互不相容，因此 AB= ，即 A=B=16.重复独立掷两个均匀的骰子，则两个骰子的点数之和为 4的结果出现在它们点数之和为 7的结果之前的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 A表示“点数之和 4出现在点数之和 7之前”；B 表示“第一次试验出现点数之和 4”；C表示“第一次试验出现点数之和 7
19、”；D 表示“第一次试验没出现点数之和 4与点数之和 7”，则B，C，D 构成一个完备事件组，且 A=A(B+C+D)易知，总样本数为 6 2 =36，P(B)= (因 B中有 3个样本点：(1，3)，(2，2)，(3，1)，P(C)= (因 C中有 6个样本点)，P(D)= ，且 P(AB)=1， P(AC)=0， P(AD)=P(A) 由全概率公式，得 P(A)=P(B)P(AB)+P(C)P(AC)+P(D)P(AD) =P(B)+P(D)P(A)= P(A)， 所以，P(A)= 17.若在区间(0，1)上随机地取两个数 u，v，则关于 x的一元二次方程 x 2 2vx+u=0有实根的概
20、率是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A表示“方程 x 2 2vx+u=0有实根”，因 u，v 是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(u，v)与正方形区域 D内的点一一对应，其中 D=(u，v)0u1，0v1事件A=(u，v)(2v) 2 4u0，(u，v)D，有利于事件 A的样本点区域为图 12 中阴影部分 D 1 ，其中D 1 =(u，v)v 2 u，0u，v1依几何型概率公式，有 18.设 A、B 是两个随机事件，且 P(A)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据乘法公式 P(AB)=P(A)P
21、(BA)= 再应用减法公式 或应用加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=19.已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：首先要分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，而后应用概率性质计算概率 由于 A=max(X，Y)0=X，Y 至少有一个大于等于 0=X0Y0，故 P(A)=PX0+PY0PX0，Y0= 又max(X，Y)0 min(X，Y)0，则 B=max(X，Y)0，min(X，Y)0=max(X，Y)0= 从而 P(B)=P =1一 P(A)=1一 由全集分解式知：A=max(X，Y)0
22、=max(X，Y)0，min(X，Y)0+max(X，Y)0，min(X，Y)0=C+X0，Y0，故 P(C)=P(A)一PX0，Y0=20.设有某种零件共 100个，其中 10个是次品，其余为合格品现在从这些零件中不放回抽样，每次抽取一个零件，如果取出一个合格品就不再取下去，则在三次内取到合格品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：09993）解析：解析：设事件 A i 表示“第 i次取到合格品”(i=1，2，3)，事件 A表示“在三次内取到合格品”，则有 A=A 1 A 3 由于 A 1 ， A 3 是不相容事件，因此 p(A)=P(A 1 )+P( A 3
23、) =P(A 1 )+P ) 21.甲、乙二人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p与 05，则 p= 1时，甲、乙胜负概率相同（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记事件 A i ，B i 分别表示甲、乙在第 i次投篮中投中，i 为甲、乙二人投篮的总次数，i=1，2，3，4，记事件 A，B 分别表示甲、乙取胜事件 A可以表示为下列互不相容的事件之和，即 A=A 1 A 7 ， 又 A中每项中的各事件相互独立，因此有 =p+05 2 (1一 p)p+05 4 (1一 p) 2 p+
24、 =p+025(1 一 p)p+025(1 一 p) 2 p+ 这是一个公比 q=025(1 一 p)的几何级数求和问题由于 0025(1 一 p)1，该级数收敛，且 若要甲、乙胜率相同，则 P(A)=P(B)=05，即 按这种游戏规则，只有当 p= 三、解答题(总题数：7，分数：14.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.抛掷两枚骰子，在第一枚骰子出现的点数能够被 3整除的条件下，求两枚骰子出现的点数之和大于 8的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A表示事件“第一枚骰子出现的点数能够被 3整除”，B 表示事件“两枚骰子出现的
25、点数之和大于 8”抛掷两枚骰子所出现的点数为(i，j)(i，j=1，2，6)，其中 i，j 分别表示抛掷第一枚骰子和抛掷第二枚骰子出现的点数，共有 6 2 =36种结果，即有 36个基本事件抛掷第一枚骰子出现 3点或 6点时，才能被 3整除，因此事件 A包含 2个基本事件，从而 事件 A和事件 B的交 AB=(3，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，即包含 5个基本事件，因此 所求概率即为条件概率 )解析：24.在区间(0，1)中任取两数，求这两数乘积大于 025 的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x与 y为从(0，1)中取出的两个数，记事件 A表示“x 与
26、 y之积大于 025”，则 =(x，y)0x，y1， A=(x，y)xy025，(x，y) ，A 的图形如图 11 所示，由几何概率定义得 )解析：25.已知 P(A)=05，P(B)=06，P(BA)=08，求 P(AB)和 P(B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设及乘法公式有 P(AB)=P(A)P(BA)=0508=04， 从而依题设及加法公式有 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=05+0604=07 由条件概率的定义有 P )解析：26.每箱产品有 10件，其中次品数从 0到 2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收
27、由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的概率为 10试求：()随机检验一箱产品，它能通过验收的概率 p；()检验 10箱产品通过率不低于 90的概率 q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()记 B=“任取一件产品为正品”， =“任取一件产品为次品”，则A=BA ，由题设知 P(AB)=1 一 002=098，P(A =01，所以 P=P(A)=P(BA)+ =098P(B)+1 一 P(B)01=01+088P(B) 显然 P(B)与该箱产品中有几件次品有关，为计算 P(B)，我们再次应用全概率公式若记 C i =“每箱产品含 i件次品”(i=0，l，2)
28、，则 C 0 ，C 1 ，C 2 是一完备事件组，P(C i )= ，故 B=C 0 BC 1 BC 2 B，且 P(B)=P(C 0 )P(BC 0 )+P(C 1 )P(BC 1 )+P(C 2 )P(BC 2 ) 所以 p=01+08809=0892 ()如果用 X表示检验 10箱被接收的箱数，则通过率为 ，我们要求的概率 q=P )解析：解析：如果记 A=“一箱产品能通过验收”，则 p=P(A)事件 A等价于“在 10件产品中任取一件检验结果为正品”，A 的发生与其前题条件“取出产品是正品还是次品”有关，因此我们用全概率公式计算P(A)27.某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互
29、不影响且它们的优质品率分别为 08，07 与09已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为 02；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为 06；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为 09()求该仪器的不合格率；()如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记事件 B=“仪器不合格”，A i =“仪器上有 i个部件不是优质品”，i=0，1，2，3显然 A 0 ，A 1 ，A 2 ，A 3 构成一个完备事件组，且 P(BA 0 )=0， P(BA 1 )=02， P(B
30、A 2 )=06， P(BA 3 )=09， P(A 0 )=080709=0504， P(A 1 )=020709+080309+080701=0398， P(A 3 )=020301=0006， P(A 2 )=1P(A 0 )一 P(A 1 )一 P(A 3 )=0092 ()应用全概率公式，有 =05040+039802+009206+000609=01402 ()应用贝叶斯公式，有 从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大事实上，根据条件概率的性质： )解析：解析：依题意，仪器的不合格率与组装该仪器的三个部件的质量有关，即三个部件是否为优质品是导致“仪器不合格
31、”发生的全部因素因此我们要对导致“仪器不合格”这一事件发生的所有可能因素进行全集分解，再应用全概率公式计算出仪器不合格的概率；如果在发现了仪器不合格，从而返回来追溯分析当初组装仪器上三个部件的优质品数量，则需要应用贝叶斯公式28.一条自动生产线连续生产 n件产品不出故障的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()应用全概率公式，有 ()当 mk 时，P(A m B k )=0；当 mk 时， )解析：解析：记事件 B k =“两次故障间共生产 k件优质品”，B k 显然与两次故障间生产的产品总数有关记 A n =“两次故障间共生产 n件产品”，n=0，1，2，A 0 ，A 1 ，A 2 ，构成一个完备事件组在应用全概率公式时，条件概率 P(B k A n )的计算是一个 n重伯努利概型问题这是因为每件产品的质量均有优质品与非优质品之分，并且各件产品是否为优质品是相互独立的，又每件产品的优质品率都是 p因此当，nk 时，P(B k A n )=0，当 nk 时，P(B k A n )=
