1、考研数学三-128 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 为常数，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设随机变量 Xt(n)(n1)， ，则_（分数：4.00）_3.方程(x+1)(y 2+1)dx+y2x2dy=0 是_（分数：4.00）A.齐次方程B.可分离变量方程C.伯努利方程D.线性非齐次方程4.设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量 X1和 X2的分布函数，为了使 F(x)=aF1(x)=bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列各组值中正确的是_（分数：4.00）_5.设 n 阶方阵 A=( 1， 2
2、， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组() 1， 2， n，() 1， 2， n，() 1， 2， n如果向量组()线性相关，则_（分数：4.00）A.向量组()与()都线性相关B.向量组()线性相关C.向量组()线性相关D.向量组()与()中至少有一个线性相关6.设 A 是 n 阶矩阵，且 A 的行列式|A|=0，则 A_（分数：4.00）A.必有一列元素全为 0B.必有两列元素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性组合D.任一列向量是其余列向量的线性组合7.要使 1=(-1，2，0) T， 2=(3，0，1) T都是 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A
3、 是_（分数：4.00）A.B.C.D.8.要使 都是线性方程组 Ax=0 的解，则系数矩阵 A 为_（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，则 y“(0)=_（分数：4.00）10.微分方程 yy“+y2=0 满足方初始条件 y|x-0=1， （分数：4.00）11.以 y1=ex，y 2=e2xcosx 为特解的最低阶数的常系数线性齐次方程为_（分数：4.00）12.设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定，则 （分数：4.00）13. （分数：4.00）14.随机
4、变量 X 服从自由度为(n 1，n 2)的 F 的分布，则随机变量 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.将函数 展开成 x 的幂级数，并求级数 （分数：9.00）_16.现在甲工厂生产某商品，年销售量为 100 万件，每批生产需要增加准备费 1000 元，而每件商品的年库存费为 0.05 元如果销售率是均匀的，且上一批售完，立即生产下一批，每批数量相同，问全年应组织几批生产使得生产准备费与库存费用之和为最小（分数：9.00）_17.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：() 存在 (0，1)，使得 f()=1-；
5、() 存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：11.00）_18.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：11.00）_19.设函数 f(x)在a，b上满足 af(x)b，|f(x)|q1，令 un=f(un-1)，n=1，2，3，u 0a，b，证明： （分数：10.00）_20.设向量组 1， 2， 3线性相关，向量组 2， 3， 4线性无关，问：(1) 1能否由 2， 3线性表出?证明你的结论(2) 4能否由 1， 2， 3线性表出?证明你的结论（分数：11.00）_21.设线性方程组 （分数：11.00）_22.设随机变量 X 与 Y 相互独立
6、，且 XN(0， 2)，YN(0， 2)求 （分数：11.00）_23.设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为 1、标准差(均方差)为 （分数：11.00）_考研数学三-128 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 为常数，则级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 级数的敛散性解题分析 *发散，故应选 C2.设随机变量 Xt(n)(n1)， ，则_（分数：4.00）_解析：3.方程(x+1)(y 2+1)dx+y2x2dy=0 是_（分数：4.00）A.齐次方程B.可分离变量方程 C.伯努利方程D.线性
7、非齐次方程解析：考点提示 方程类型的判断解题分析 方程(x+1)(y 2+1)dx+y2x2dy=0 可化为*，故该方程为可分离变量方程即正确答案为 B4.设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量 X1和 X2的分布函数，为了使 F(x)=aF1(x)=bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列各组值中正确的是_（分数：4.00）_解析：5.设 n 阶方阵 A=( 1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组() 1， 2， n，() 1， 2， n，() 1， 2， n如果向量组()线性相关，则_（分数：4.00）A.向量组()与()都线性相关B.向量
8、组()线性相关C.向量组()线性相关D.向量组()与()中至少有一个线性相关 解析：考点提示 向量组的线性相关性解题分析 因为向量组()线性相关，所以矩阵 AB 不可逆，即|AB|=|A|B|=0因此|A|、|B|中至少有一个为 0，即 A 与 B 中至于至少有一个不可逆，亦即向量组()与()中至少有一个线性相关，所以选D6.设 A 是 n 阶矩阵，且 A 的行列式|A|=0，则 A_（分数：4.00）A.必有一列元素全为 0B.必有两列元素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性组合 D.任一列向量是其余列向量的线性组合解析：考点提示 矩阵、行列式、向量的综合题解题分析 本题考查|A|-
9、0 的充分必要条件，而选项 A、B、D 都是充分条件，并不必要以 3 阶矩阵为例，若*，条件 A，B 均不成立，但|A|=0若*，则|A|=0，但第 3 列并不是其余两列的线性组合，可见 D 不正确这样，用排除法可知应选 C评注 对干概念性的选择题，对错误的命题最好能举出简单的反例，正确的命题最好有一个简单的证明，这样可加深理解，把握概念能更透彻|A|=0*A=( 1， 2， 3， 4)的列向量线性相关*有某 i可由其余的列向量线性表出7.要使 1=(-1，2，0) T， 2=(3，0，1) T都是 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 是_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 矩阵
10、方程的求解解题分析 将四个选项分别代入验证，可得正确答案为 C8.要使 都是线性方程组 Ax=0 的解，则系数矩阵 A 为_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 线性方程组的解与系数矩阵的结合解题分析 因为 1， 2是 Ax=0 的 2 个线性无关的解，故 n-r(A)2，知 r(A)1故选 A二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，则 y“(0)=_（分数：4.00）解析：考点提示 求隐函数的二阶导数解题分析 方程两边对 x 两次求导得eyy+6xy+6y+2x=0， eyy“+eyy2+6xy“+12y+2
11、=0 以 x=0 代入原方程得 y=0，以 x=y=0 代入得 y(0)=0，再以 x=y=y=0 代入得 y(0)=-210.微分方程 yy“+y2=0 满足方初始条件 y|x-0=1， （分数：4.00）解析：考点提示 微分方程求特解解题分析 这是二阶的可降阶的方程解法一 令 y=P(y)(以 y 为自变量)，则*，代入原微分方程可得：*分离变量得*积分得 ln|P|+ln|y|=c，即*由 x=0 时 y=1，*，于是*又由 y|x-0=1 得 c2=1，故所求特解为*解法二 不难看出方程可写成(yy)=0积分便得 yy=c1以下与解法一相同11.以 y1=ex，y 2=e2xcosx
12、为特解的最低阶数的常系数线性齐次方程为_（分数：4.00）解析：考点提示 求常系数线性齐次方程解题分析 由 y1=ex，y 2=e2xcosx 为此齐次方程的解，知 r1=1，r 2,3=2i 是其特征方程的解，且最低的齐次方程的阶数为 3，故其特征方程为(r-1)(r-2-i)(r-2+i)=0，即(r-1)(r 2-4r+5)=0，故 r3-5r2+9r-5=0，则满足条件的最低阶数的常系数线性齐次方程为 y“-5y“+9y-5y=012.设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定，则 （分数：4.00）解析：考点提示 复合函数求导数解题分析 方程两边对 x 求导得ex
13、-y(1+y)-sin(xy)(xy+y)=0解得*13. （分数：4.00）解析：考点提示 求 1 型的极限解题分析 此题属 1 型未定式解法一 *其中大括号内的极限是*型未定式，因此由洛必达法则，有*于是*解法二 由于*又因*故*14.随机变量 X 服从自由度为(n 1，n 2)的 F 的分布，则随机变量 （分数：4.00）解析：考点提示 求随机变量的分布问题解题分析 因为 X 服从自由度为(n 1，n 2)的 F 分布，即*，且 U、V 独立，*，故 Y 服从自南度为(n1，n 2)的 F 分布三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.将函数 展开成 x 的幂级数，并求级数 （分数
14、：9.00）_正确答案：(因为 f(x)简单，先求 f(x)的展开式，然后逐项积分得 f(x)的展开式因*又*，两边积分得*因为收敛，所以*(2) 今*又*，因此*)解析：考点提示 幂级数求和16.现在甲工厂生产某商品，年销售量为 100 万件，每批生产需要增加准备费 1000 元，而每件商品的年库存费为 0.05 元如果销售率是均匀的，且上一批售完，立即生产下一批，每批数量相同，问全年应组织几批生产使得生产准备费与库存费用之和为最小（分数：9.00）_正确答案：(设批量为 q总费用为 C，则成本函数为*求得唯一临界点 q=5，并且 C(5)为最小值，即应分五批生产)解析：考点提示 函数的极值
15、17.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：() 存在 (0，1)，使得 f()=1-；() 存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：11.00）_正确答案：() 即证*在(0，1)存在零点由于 F(x)在0，1连续，且F(0)=-1，F(1)=1即 F(0)F(1)0，由连续函数的零点存在性定理知，*，使得 F()=0，即f()=1-() 利用题()的结果，在0，上用拉格朗日中值定理知，*，使得在，1上，用拉格朗日中值定理知，*，使得*两式相乘得f()f()=1)解析：考点提示 微分中值定理18.设函数 f(x)在0，
16、1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：11.00）_正确答案：(要对 f(x)在0，1上使用罗尔中值定理，问题在于证明 f(x)在0，1上有两个等值点由积分中值定理，*，从而 f(x0)=f(0)；又由罗尔中值定理，*，使 f(c)=0)解析：考点提示 积分中值定理19.设函数 f(x)在a，b上满足 af(x)b，|f(x)|q1，令 un=f(un-1)，n=1，2，3，u 0a，b，证明： （分数：10.00）_正确答案：(因为|un+1-un|=|f(un)-f(un-1)|=f( 1)|un-un-1q|u n-un-1|=q|f(un-1)-f(un-2)|=q|f( 2)|un
17、-1-un-2|q 2|un-1-|q n|u1-u0|，又级数*收敛，所以，级数*绝对收敛)解析：考点提示 级数收敛的证明20.设向量组 1， 2， 3线性相关，向量组 2， 3， 4线性无关，问：(1) 1能否由 2， 3线性表出?证明你的结论(2) 4能否由 1， 2， 3线性表出?证明你的结论（分数：11.00）_正确答案：(1) 1能由 2， 3线性表示因为已知 2， 3， 4线性无关，所以 2， 3线性无关，又因为 1， 2， 3线性相关，故 1可由 2， 3线性表出(2) 设 4=k1 1+k2 2+k3 3，由(1)知，可设 1=l2 2+l3 3，那么代入上式整理得 4=(k
18、1l2+k2) 2+(k1l3+k3) 3即 4可以由 2， 3线性表出，从而 2， 3， 4线性相关，这与已知矛盾因此， 4不能由 1， 2， 3线性表出)解析：考点提示 向量组线性相关性的证明21.设线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：(设 B=( 1， 2， 3)，其 i(i=1，2，3)为三维列向量，由于 B0，所以至少有一个非零的列向量，不妨设 10，由于AB=A( 1， 2， 3)=(A 1，A 2，A 3)=0，*A 1=0，即 1为齐次线性方程组 AX=0 的非零解，于是系数矩阵的行列式必为零，即*解得 =1)解析：考点提示 线性方程组中常数的确定22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，YN(0， 2)求 （分数：11.00）_正确答案：(由题设可知*又由于 X 与 Y 相互独立，所以(X，Y)的密度为*于是*)解析：考点提示 随机变量独立性23.设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为 1、标准差(均方差)为 （分数：11.00）_正确答案：(由于独立的正态随机变量 X 与 Y 的线性组合仍服从正态分布，且EZ=2EX-EY+3=5，DZ=4DX+DY=9因此 Z 的概率密度函数为*)解析：考点提示 随机变量密度函数
