【考研类试卷】考研数学三-128及答案解析.doc

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1、考研数学三-128 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 为常数,则级数 (分数:4.00)A.B.C.D.2.设随机变量 Xt(n)(n1), ,则_(分数:4.00)_3.方程(x+1)(y 2+1)dx+y2x2dy=0 是_(分数:4.00)A.齐次方程B.可分离变量方程C.伯努利方程D.线性非齐次方程4.设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量 X1和 X2的分布函数,为了使 F(x)=aF1(x)=bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下列各组值中正确的是_(分数:4.00)_5.设 n 阶方阵 A=( 1, 2

2、, n),B=( 1, 2, n),AB=( 1, 2, n),记向量组() 1, 2, n,() 1, 2, n,() 1, 2, n如果向量组()线性相关,则_(分数:4.00)A.向量组()与()都线性相关B.向量组()线性相关C.向量组()线性相关D.向量组()与()中至少有一个线性相关6.设 A 是 n 阶矩阵,且 A 的行列式|A|=0,则 A_(分数:4.00)A.必有一列元素全为 0B.必有两列元素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性组合D.任一列向量是其余列向量的线性组合7.要使 1=(-1,2,0) T, 2=(3,0,1) T都是 Ax=0 的解,只要系数矩阵 A

3、 是_(分数:4.00)A.B.C.D.8.要使 都是线性方程组 Ax=0 的解,则系数矩阵 A 为_(分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定,则 y“(0)=_(分数:4.00)10.微分方程 yy“+y2=0 满足方初始条件 y|x-0=1, (分数:4.00)11.以 y1=ex,y 2=e2xcosx 为特解的最低阶数的常系数线性齐次方程为_(分数:4.00)12.设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定,则 (分数:4.00)13. (分数:4.00)14.随机

4、变量 X 服从自由度为(n 1,n 2)的 F 的分布,则随机变量 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.将函数 展开成 x 的幂级数,并求级数 (分数:9.00)_16.现在甲工厂生产某商品,年销售量为 100 万件,每批生产需要增加准备费 1000 元,而每件商品的年库存费为 0.05 元如果销售率是均匀的,且上一批售完,立即生产下一批,每批数量相同,问全年应组织几批生产使得生产准备费与库存费用之和为最小(分数:9.00)_17.已知函数 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0,f(1)=1证明:() 存在 (0,1),使得 f()=1-;

5、() 存在两个不同的点 ,(0,1),使得 f()f()=1(分数:11.00)_18.设函数 f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导,且 (分数:11.00)_19.设函数 f(x)在a,b上满足 af(x)b,|f(x)|q1,令 un=f(un-1),n=1,2,3,u 0a,b,证明: (分数:10.00)_20.设向量组 1, 2, 3线性相关,向量组 2, 3, 4线性无关,问:(1) 1能否由 2, 3线性表出?证明你的结论(2) 4能否由 1, 2, 3线性表出?证明你的结论(分数:11.00)_21.设线性方程组 (分数:11.00)_22.设随机变量 X 与 Y 相互独立

6、,且 XN(0, 2),YN(0, 2)求 (分数:11.00)_23.设随机变量 X 与 Y 独立,且 X 服从均值为 1、标准差(均方差)为 (分数:11.00)_考研数学三-128 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 为常数,则级数 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点提示 级数的敛散性解题分析 *发散,故应选 C2.设随机变量 Xt(n)(n1), ,则_(分数:4.00)_解析:3.方程(x+1)(y 2+1)dx+y2x2dy=0 是_(分数:4.00)A.齐次方程B.可分离变量方程 C.伯努利方程D.线性

7、非齐次方程解析:考点提示 方程类型的判断解题分析 方程(x+1)(y 2+1)dx+y2x2dy=0 可化为*,故该方程为可分离变量方程即正确答案为 B4.设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量 X1和 X2的分布函数,为了使 F(x)=aF1(x)=bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下列各组值中正确的是_(分数:4.00)_解析:5.设 n 阶方阵 A=( 1, 2, n),B=( 1, 2, n),AB=( 1, 2, n),记向量组() 1, 2, n,() 1, 2, n,() 1, 2, n如果向量组()线性相关,则_(分数:4.00)A.向量组()与()都线性相关B.向量

8、组()线性相关C.向量组()线性相关D.向量组()与()中至少有一个线性相关 解析:考点提示 向量组的线性相关性解题分析 因为向量组()线性相关,所以矩阵 AB 不可逆,即|AB|=|A|B|=0因此|A|、|B|中至少有一个为 0,即 A 与 B 中至于至少有一个不可逆,亦即向量组()与()中至少有一个线性相关,所以选D6.设 A 是 n 阶矩阵,且 A 的行列式|A|=0,则 A_(分数:4.00)A.必有一列元素全为 0B.必有两列元素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性组合 D.任一列向量是其余列向量的线性组合解析:考点提示 矩阵、行列式、向量的综合题解题分析 本题考查|A|-

9、0 的充分必要条件,而选项 A、B、D 都是充分条件,并不必要以 3 阶矩阵为例,若*,条件 A,B 均不成立,但|A|=0若*,则|A|=0,但第 3 列并不是其余两列的线性组合,可见 D 不正确这样,用排除法可知应选 C评注 对干概念性的选择题,对错误的命题最好能举出简单的反例,正确的命题最好有一个简单的证明,这样可加深理解,把握概念能更透彻|A|=0*A=( 1, 2, 3, 4)的列向量线性相关*有某 i可由其余的列向量线性表出7.要使 1=(-1,2,0) T, 2=(3,0,1) T都是 Ax=0 的解,只要系数矩阵 A 是_(分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点提示 矩阵

10、方程的求解解题分析 将四个选项分别代入验证,可得正确答案为 C8.要使 都是线性方程组 Ax=0 的解,则系数矩阵 A 为_(分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点提示 线性方程组的解与系数矩阵的结合解题分析 因为 1, 2是 Ax=0 的 2 个线性无关的解,故 n-r(A)2,知 r(A)1故选 A二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定,则 y“(0)=_(分数:4.00)解析:考点提示 求隐函数的二阶导数解题分析 方程两边对 x 两次求导得eyy+6xy+6y+2x=0, eyy“+eyy2+6xy“+12y+2

11、=0 以 x=0 代入原方程得 y=0,以 x=y=0 代入得 y(0)=0,再以 x=y=y=0 代入得 y(0)=-210.微分方程 yy“+y2=0 满足方初始条件 y|x-0=1, (分数:4.00)解析:考点提示 微分方程求特解解题分析 这是二阶的可降阶的方程解法一 令 y=P(y)(以 y 为自变量),则*,代入原微分方程可得:*分离变量得*积分得 ln|P|+ln|y|=c,即*由 x=0 时 y=1,*,于是*又由 y|x-0=1 得 c2=1,故所求特解为*解法二 不难看出方程可写成(yy)=0积分便得 yy=c1以下与解法一相同11.以 y1=ex,y 2=e2xcosx

12、为特解的最低阶数的常系数线性齐次方程为_(分数:4.00)解析:考点提示 求常系数线性齐次方程解题分析 由 y1=ex,y 2=e2xcosx 为此齐次方程的解,知 r1=1,r 2,3=2i 是其特征方程的解,且最低的齐次方程的阶数为 3,故其特征方程为(r-1)(r-2-i)(r-2+i)=0,即(r-1)(r 2-4r+5)=0,故 r3-5r2+9r-5=0,则满足条件的最低阶数的常系数线性齐次方程为 y“-5y“+9y-5y=012.设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定,则 (分数:4.00)解析:考点提示 复合函数求导数解题分析 方程两边对 x 求导得ex

13、-y(1+y)-sin(xy)(xy+y)=0解得*13. (分数:4.00)解析:考点提示 求 1 型的极限解题分析 此题属 1 型未定式解法一 *其中大括号内的极限是*型未定式,因此由洛必达法则,有*于是*解法二 由于*又因*故*14.随机变量 X 服从自由度为(n 1,n 2)的 F 的分布,则随机变量 (分数:4.00)解析:考点提示 求随机变量的分布问题解题分析 因为 X 服从自由度为(n 1,n 2)的 F 分布,即*,且 U、V 独立,*,故 Y 服从自南度为(n1,n 2)的 F 分布三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.将函数 展开成 x 的幂级数,并求级数 (分数

14、:9.00)_正确答案:(因为 f(x)简单,先求 f(x)的展开式,然后逐项积分得 f(x)的展开式因*又*,两边积分得*因为收敛,所以*(2) 今*又*,因此*)解析:考点提示 幂级数求和16.现在甲工厂生产某商品,年销售量为 100 万件,每批生产需要增加准备费 1000 元,而每件商品的年库存费为 0.05 元如果销售率是均匀的,且上一批售完,立即生产下一批,每批数量相同,问全年应组织几批生产使得生产准备费与库存费用之和为最小(分数:9.00)_正确答案:(设批量为 q总费用为 C,则成本函数为*求得唯一临界点 q=5,并且 C(5)为最小值,即应分五批生产)解析:考点提示 函数的极值

15、17.已知函数 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0,f(1)=1证明:() 存在 (0,1),使得 f()=1-;() 存在两个不同的点 ,(0,1),使得 f()f()=1(分数:11.00)_正确答案:() 即证*在(0,1)存在零点由于 F(x)在0,1连续,且F(0)=-1,F(1)=1即 F(0)F(1)0,由连续函数的零点存在性定理知,*,使得 F()=0,即f()=1-() 利用题()的结果,在0,上用拉格朗日中值定理知,*,使得在,1上,用拉格朗日中值定理知,*,使得*两式相乘得f()f()=1)解析:考点提示 微分中值定理18.设函数 f(x)在0,

16、1上连续,(0,1)内可导,且 (分数:11.00)_正确答案:(要对 f(x)在0,1上使用罗尔中值定理,问题在于证明 f(x)在0,1上有两个等值点由积分中值定理,*,从而 f(x0)=f(0);又由罗尔中值定理,*,使 f(c)=0)解析:考点提示 积分中值定理19.设函数 f(x)在a,b上满足 af(x)b,|f(x)|q1,令 un=f(un-1),n=1,2,3,u 0a,b,证明: (分数:10.00)_正确答案:(因为|un+1-un|=|f(un)-f(un-1)|=f( 1)|un-un-1q|u n-un-1|=q|f(un-1)-f(un-2)|=q|f( 2)|un

17、-1-un-2|q 2|un-1-|q n|u1-u0|,又级数*收敛,所以,级数*绝对收敛)解析:考点提示 级数收敛的证明20.设向量组 1, 2, 3线性相关,向量组 2, 3, 4线性无关,问:(1) 1能否由 2, 3线性表出?证明你的结论(2) 4能否由 1, 2, 3线性表出?证明你的结论(分数:11.00)_正确答案:(1) 1能由 2, 3线性表示因为已知 2, 3, 4线性无关,所以 2, 3线性无关,又因为 1, 2, 3线性相关,故 1可由 2, 3线性表出(2) 设 4=k1 1+k2 2+k3 3,由(1)知,可设 1=l2 2+l3 3,那么代入上式整理得 4=(k

18、1l2+k2) 2+(k1l3+k3) 3即 4可以由 2, 3线性表出,从而 2, 3, 4线性相关,这与已知矛盾因此, 4不能由 1, 2, 3线性表出)解析:考点提示 向量组线性相关性的证明21.设线性方程组 (分数:11.00)_正确答案:(设 B=( 1, 2, 3),其 i(i=1,2,3)为三维列向量,由于 B0,所以至少有一个非零的列向量,不妨设 10,由于AB=A( 1, 2, 3)=(A 1,A 2,A 3)=0,*A 1=0,即 1为齐次线性方程组 AX=0 的非零解,于是系数矩阵的行列式必为零,即*解得 =1)解析:考点提示 线性方程组中常数的确定22.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 XN(0, 2),YN(0, 2)求 (分数:11.00)_正确答案:(由题设可知*又由于 X 与 Y 相互独立,所以(X,Y)的密度为*于是*)解析:考点提示 随机变量独立性23.设随机变量 X 与 Y 独立,且 X 服从均值为 1、标准差(均方差)为 (分数:11.00)_正确答案:(由于独立的正态随机变量 X 与 Y 的线性组合仍服从正态分布,且EZ=2EX-EY+3=5,DZ=4DX+DY=9因此 Z 的概率密度函数为*)解析:考点提示 随机变量密度函数

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