1、考研数学三（微积分）模拟试卷 128 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个：( )f(x) 在 x=0 处三阶可导，且=1；()f(x)在 x=0 邻域二阶可导，f(0)=0 ，且( 一 1)f“(x)一xf(x)=ex 一 1，则下列说法正确的是（A）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)是 f(x)的极大值2 设函数 f(x)有二阶连续导数，且 =一 1，则（A）f(x)在
2、x=0 处取极大值（B） f(x)在 x=0 处取极小值（C）点 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且 =一 1，则 x=1是 f(x)的（A）不可导点（B）可导点，但非驻点（C）驻点，但非极值点（D）驻点，且为极值点4 设函数 y(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值，其图形在 x=1 处的切线与直线6x+2y+5=0 平行，则 y(x)的极大值与极小值之差为（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
3、骤。5 求下列函数的导数与微分：6 设 y= 及 “(1)7 求下列隐函数的微分或导数： ()设 ysinxcos(x 一 y)=0，求 dy； ( )设由方程确定 y=y(x)，求 y与 y“8 设 f(x)= ()求 f(x)；()f(x)在点 x=0 处是否可导?9 设 g(x)= 且 f(x)处处可导，求 fg(x)的导数10 设 f(x)在( 一，+)有一阶连续导数，且 f(0)=0 并存在 f“(0)若求 F(x)，并证明 F(x)在(一，+00)上连续11 设 y=xcosx，求 y(n)12 设 y=ln(3+7x 一 6x2)，求 y(n)13 设 f(x)在0，1上连续，在
4、 (0，1)内可导，且f(x)1，又 f(0)=f(1)，证明：对于 x1，x 20，1，有 f(x 1)一 f(x2) 14 设 ae，0xy ，求证 ayax(cosxcosy)a xlna15 证明：当 x1 时，0lnx+ (x 一 1)316 求证：当 x0 时，不等式(1+x)ln 2(1+x)x 2 成立17 求证：当 x(0，1)时，18 设 f(x)在0，1连续，在 (0，1)可导，f(0)=0，0f(x)1(x (0，1)，求证： 01f(x)dx2 01f3(x)dx19 设 p，g 是大于 1 的常数，且x20 设 0x1，求证：x n(1 一 x) ，其中 n 为自然
5、数21 设 f(x)在(a，b)内二阶可导，且 ax 1x 2b ()若 x(a，b)时 f“(x)0，则 f(x) (x2) (217)对任何 x(x1，x 2)成立； ()若x(a，b)时 f“(x)0，则 f(x) (x2) (218)对任何x(x1，x 2)成立22 证明：当 0x 23 设函数 f(x)在区间0， a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)=0，f(a)=b，求证： 0af(x)dx+0bg(x)dx=ab， 其中 g(x)是 f(x)的反函数24 设 g(x)在a，b 连续，f(x)在a ，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 x(axb)满足 f“(x)+g(x
6、)f(x)一 f(x)=0求证：当 xa，b时 f(x)025 设函数 f(x)在a，+)上连续， f“(x)在(a，+)内存在且大于零记 F(x)=(xa)证明：F(x)在(a，+)内单调增加26 设 f(x)在(a，b)四次可导，且存在 x0(a，b)使得 f“(x0)=f“(x0)=0，又设当axb 时 f(4)(x)0，求证 f(x)的图形在(a ，b)是凹的考研数学三（微积分）模拟试卷 128 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 () 由条件=f(0)=0用洛必达法则得因 f“(x)=f“(0)，若 f“(0)0，
7、则 J=，与 J=1 矛盾，故必有 f“(0)=0再由 f“(0)的定义知 J=f“(0)=1，即 f“(0)=2 因此，(0，f(0) 是拐点选(C) ()已知 f(0)=0，现考察 f“(0)由方程得 利用当 x0 时的等价无穷小关系，并求极限即得 又f“(x)在 x=0 连续，故 f“(0)=30因此 f(0)是 f(x)的极小值应选(B)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 利用 f(x)在 x=0 处的二阶泰勒公式可得从而必有 f(0)=a，f(0)=0 ，f“(0)=一 2，所以 f(x)在 x=0 处取得极大值故应选(A)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【
8、试题解析】 即 f(x+1)0=f(1)从而可知 x=1 为极小值点，故选(D) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 先确定三次函数 y(x)表达式中的常数 a，b ，c 由 y(x)=3x2+6ax+3b及已知 x=2 是极值点，可得 y(2)=3(4+4a+b)=0 又由在 x=1 处的斜率为 y(1)=一 3，得 3(1+2a+b)=一 3 由、可得 a=一 1，b=0 故三次函数 y(x)=x3一 3x2+c 由 y(x)=3x(x 一 2)得函数 y(x)有驻点 x=0 与 x=2又由 y“(x)=6x 一 6知 y“(0)0 与 y“(2)0故 y(x)的极大值为
9、 y(0)=c，极小值为 y(2)=一 4+c 于是y(0)y(2)=4 故应选(D)【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 ()这是求连乘积的导数，用对数求导法方便因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得若只求y(1)，用定义最简单利用 y(1)=0 可得【知识模块】 微积分6 【正确答案】 由变限积分求导法先求得，最后由复合函数求导法得【知识模块】 微积分7 【正确答案】 () 利用一阶微分形式不变性求得 d(ysinx)一 dcos(x 一 y)=0，即 sinxdy+ycosxdx+sin(x 一 y)(dxdy)=0，整理得 sin(x
10、一 y)一 sinxdy=ycosx+sin(x一 y)dx，故 dy= ()将原方程两边取对数，得等价方程 ， (*)于是方程两边对 x 求导并注意 y 是 x 的函数，即得【知识模块】 微积分8 【正确答案】 () 这是分段函数，分界点 x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即 x0，于是可得当 x0 时，f(x)= +2cos2x，x=0 处是左导数：f(0)=2；又 =0=f(0)，即 f(x)在 x=0 右连续f +(0)=2于是 f(0)=2因此 ()f(x)也是分段函数，x=0 是分界点为讨论 f(x)在 x=0 处的可导性，要分别求 f“+(0)与 f“(0)同前可得因 f“
11、+(0)f“(0)，所以 f“(0)不存在，即 f(x)在点 x=0 处不可导【知识模块】 微积分9 【正确答案】 若已求得 g(x)，则由复合函数求导法得 fg(x)=fg(x)g(x)故只需求 g(x)【知识模块】 微积分10 【正确答案】 首先求 F(x)当 x0 时，由求导法则易求 F(x)，而 F(0)需按定义计算然后讨论 F(x)的连续性，当 x0 时由连续性的运算法则得到 F(x)连续，当 x=0 时可按定义证明 型极限问题，可用洛必达法则即 F(x)在 x=0 也连续因此， F(x)在(一，+)上连续【知识模块】 微积分11 【正确答案】 逐一求导，得 y=cosx+x(cos
12、x)，y“=2(cosx)+x(cosx)“，y“=y (3)=3(cosx)“+x(cosx)(3)，观察其规律得 y(n)=n(cosx)(n1)+x(cosx)(n) (*) 用归纳法证明：当 n=1 时 (*)显然成立，设 n=k 时(*)式成立，得 y(k+1)=k(cosx)(k)+(cosx)(k)+x(cosx)(k+1)=(k+1)(cosx)(k)+x(cosx)(k+1)，即 n=k+1 时成立，因此 (*)式对任意自然数n 成立 再用(cosx) (n)的公式得 y(n)=ncos(x+ )【试题解析】 逐一求导，求出 y，y“，总结出规律，写出 y(n)表达式，然后用
13、归纳法证明【知识模块】 微积分12 【正确答案】 先分解 y=ln(3 2x)(1+3x)=ln(32x)+ln(1+3x) y (n)=ln(32x)(n)+ln(1+3x)(n)然后利用ln(ax+b) (n)的公式得【试题解析】 利用对数函数性质将函数 y 分解为形如 ln(ax+b)的对数函数之和，再用ln(ax+b) (n)的公式即可得结果【知识模块】 微积分13 【正确答案】 联系 f(x1)f(x2)与 f(x)的是拉格朗日中值定理不妨设0x1x21分两种情形： 1)若 x2 一 x1 ，直接用拉格朗日中值定理得 f(x 1)一 f(x2)=f()(x 2 一 x1)=f()x
14、2 一 x1 2)若 x2 一 x1 ，当0x 1x 21 时，利用条件 f(0)=f(1)分别在0，x 1与x 2，1上用拉格朗日中值定理知存在 (0，x 1)，(x 2，1)使得 f(x 1)一 f(x2)=f(x 1)一 f(0)一f(x 2)一 f(1) f(x 1)一 f(0)+ f(1)一 f(x2) =f()x 1+ f()(1 一 x2) x 1+(1 一 x2)=1 一(x2 一 x1) ， 当 x1=0 且 x2 时，有 f(x 1)一 f(x2)=f(0) 一 f(x2)=f(1)一 f(x2)=f()(1 一 x2) 当 x1 且 x2=1 时，同样有 x(x 1)一f
15、(x2)=f(x 1)一 f(1)=f(x 1)一 f(0)=f()(x 1 一 0) 因此对于任何x1，x 20，1总有 f(x 1)一 f(x2) 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 f(t)=at，g(t)=cost，在区间x， y上应用柯西中值定理，即知存在满足 0xy 的 ，使得 由于axa ， 0sin1，故由上式可得 ayax (cosx 一 cosy)axlna【试题解析】 把不等式改写成 注意到(a x)=axlna，(cosx)=一 sinx，而sinx1对 f(t)=at，g(t)=cost，应用柯西中值定理即可【知识模块】 微积分15 【正确答案】 对 x1 引
16、入函数 f(x)=lnx+ 一 2，则 f(x)在1，+)可导，且当 x1 时 从而 f(x)在1，+)单调增加，又 f(1)=0，所以当 x1 时 f(x)f(1)=0，即 lnx+ 一 20 令 g(x)=lnx+(x 一 1)3，则 g(x)在1，+)可导，且当 x1 时故g(x)在区间1，+)上单调减少，又 g(1)=0，所以当 x1 时 g(x)g(1)=0 ，即 lnx+(x 一 1)3 当 x1 时成立【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 f(x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，则有 f(x)在0，+)三阶可导且 f(0)=0， f(x)=2xln 2(1+x)一
17、2ln(1+x)，f(0)=0 ， 于是f“(x)当 x0 时单调增加，又 f“(0)=0，所以当 x0 时 f“(x)f“(0)=0从而 f(x)当x0 时单调增加，又 f(0)=0，故当 x0 时 f(x)f(0)=0 因此 f(x)当 x0 时单调增加，又 f(0)=0，所以当 x0 时 f(x)f(0)=0原不等式得证【知识模块】 微积分17 【正确答案】 故 g(x)在(0， 1)内单调下降又 g(x)在(0，1连续，且 g(1)= 1，g(x)在 x=0 无定义，但 若补充定义 g(0)= ，则 g(x)在0，1上连续又 g(x)0，0x1，因此 g(x)在0，1单调下降所以，当
18、x(0，1)时 g(1)g(x)g(0)，即成立【知识模块】 微积分18 【正确答案】 即证 01f(x)dx2 一 01f3(x)dx0考察 F(x)=0xf(t)dt20xf3(t)dt， 若能证明 F(x)0(x(0， 1)即可这可用单调性方法 令 F(x)=0xf(t)dt2 一 0xf3(t)dt，易知 F(x)在0，1 可导，且 F(0)=0，F(x)=f(x)2 0xf(t)dt 一 f2(x) 由题设知 f(x)在0， 1单调上升，故 f(x)f(0)=0(x(0，1)，从而 F(x)与 g(x)=20xf(t)dt 一 f2(x)同号计算可得 g(x)=2f(x)1 一 f(
19、x)0(x (0，1)， 结合 g(x)在0，1连续，于是g(x)在0，1单调上升，故 g(x)g(0)=0(x(0，1)，也就有 F(x)0(x(0，1)，即F(x)在0 ，1单调上升，F(x)F(0)=0(x(0，1) 因此 F(1)= 01f(x)dx2 一 01f3(x)dx0【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 f(x)= 一 x，则 f(x)=xp11令 f(x)=0，得唯一驻点 x=1因为 f“(x)=(p1)xp2，f“(1)=p 一 10，所以当 x=1 时 f(x)取极小值，即最小值从而当 x0 时，有 f(x)f(1)=0，即 x【试题解析】 构造函数 f(x)=
20、一 x，并证明 f(x)的驻点 x=1 为 f(x)当x0 时的最小值点【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 f(x)=nxn(1 一 x)(x0，1)，则 f(x)=nnxn1(1 一 x)一 xn=nxn1n(1 一 x)一 x=nxn1n 一(n+1)x f(x)在(0，1) 有唯一驻点 x=x0= ，又 f(0)=f(1)=0，f(x n)0，所以 f(x)在 x=xn 取到(0，1)上的最大值：【知识模块】 微积分21 【正确答案】 因() 与() 的证法类似，下面只证()把(2 17)式改写成下面的等价不等式，有 (x 2 一 x)f(x)一 f(x1)(x 一 x1)f(x
21、2)一 f(x)， 由拉格朗日中值定理知 (x 2 一 x)f(x)一 f(x1)=(x2 一 x)(x 一 x1)f(1)，x 1 1x， (x 一 x1)f(x2)一 f(x)=(x 一 x1)(x2 一 x)f(2)，x 2x 2 由 f“(x)0 知 f(x)单调增加，故 f(1)f( 2)，由此即知等价不等式成立，从而()成立【知识模块】 微积分22 【正确答案】 在区间=0，F“(x)=一sinx 0 当 x(0， 上 F(x)的图形上凸由此即得当时成立【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 F(a)=0af(x)dx+0f(a)g(x)dx 一 af(a)，对 a 求导得 F
22、(a)=f(a)+gf(a)f(a)一 af(a)一 f(a)， 由题设 g(x)是 f(x)的反函数知 gf(a)=a，故 F(a)=0，从而 F(a)为常数又 F(0)=0，故 F(a)=0，即原等式成立【试题解析】 即证对 a 有函数恒等式 0af(x)dx+0f(a)g(x)dx=af(a)成立【知识模块】 微积分24 【正确答案】 若 f(x)在a ，b不恒为零，则 f(x)在a，b取正的最大值或负的最小值 无妨设 f(x0)= f(x)0，则 x0(a，b)且 f(x0)=0，f“(x 0)0，从而 f“(x0)+g(x0)f(x0)一 f(x0)0，与已知条件矛盾类似可得若 f(
23、x1)= f(x)0，同样与已知条件矛盾因此当 xa，b时 f(x)0【知识模块】 微积分25 【正确答案】 证明 F(x)0(x0)由题设条件，有由拉格朗日中值定理知，存在 (0x)使得由 f“(x)0，可知 f(x)在(a ，+)内单调增加因此，对于任何满足 ax 的 x和 ，有 f(x)f()又 x 一 a0，从而由 可知 F(x)0，于是 F(x)是单调增加的【试题解析】 要证 F(x)在(a ，+)内单调增加，只需证 F(x)0，为此需先求出F(x)条件“f“(x)在(a，+) 内存在且大于零”隐含着 f(x)在(a，+)上单调上升，因此要充分利用这一信息来证明 F(x)0【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由当 x(a，b)时 f(4)(x)0，知 f“(x)在(a，b)单调增加 又因f“(x0)=0，故 从而 f“(x)在x 0，b)单调增加，在(a，x 0单调减少 又 f“(x0)=0，故当 x(a，b)且 xx0 时 f“(x)0，因此 f(x)的图形在(a， b)是凹的【知识模块】 微积分
