1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 128 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 P1-1AP1，P 2-1BP2 为对角矩阵（B）存在正交矩阵 Q1，Q 2，使得 Q1TAQ1，Q 2TBQ2 为对角矩阵（C）存在可逆矩阵 P，使得 P-1(A+B)P 为对角矩阵（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得PAQ=B2 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）A 无负特征值（B） A 是满秩矩阵（C） A 的每个特征值都是单值（D）A -1 是正定矩阵3 下列说法正确的是(
2、) （A）任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的4 设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 XTAX 与 XTA-1X( )（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同5 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵6 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则(
3、 )（A）A，B 合同（B） A，B 相似（C）方程组 AX=0 与 BX=0 同解（D）r(A)=r(B)7 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）r(A)=r(B) （B） |A|=|B|（C） AB（D）A，B 与同一个实对称矩阵合同8 设 则 A 与 B( )（A）相似且合同（B）相似不合同（C）合同不相似（D）不合同也不相似9 设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2，1，1 ，以下命题：(1)AB ；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题10 二
4、次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1 一 2x2)2+4x2x3 的矩阵为_11 设 则 1， 2， 3 经过施密特正交规范化后的向量组为_12 设二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3 的秩为 2，则 a=_13 设 5x12+x22+tx32+4x1x2 一 2x1x3 一 2x2x3 为正定二次型，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 用配方法化二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x2x3 为标准二次型15 用配方法化二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x1x3 一 4x32 为标准形15 设二次
5、型 f(x1，x 2，x 3)一 XTAX，A 的主对角线上元素之和为 3，又AB+B=O，其中16 求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；17 求矩阵 A17 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，tr(A)=1，又 且 AB=O18 求正交矩阵 Q，使得在正交变换 X=QY，下二次型化为标准形19 求矩阵 A20 用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32 一 4x1x2 一 4x1x3 一 4x2x3 为标准二次型20 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a 一 1)x12+(a 一 1)x22+2x32+2x1x2(a0)的秩为21 求
6、a；22 用正交变换法化二次型为标准形22 设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2=A(A 称为幂等阵)求：23 二次型 XTAX 的标准形；24 |E+A+A2+An|的值24 设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，25 记 X=(x1，x 2，x n)T，把二次型 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式；26 二次型 g(x)=XTAX 是否与 f(x1，x 2，x n)合同?26 设 A 是三阶实对称矩阵，且 A2+2A=O，r(A)=227 求 A 的全部特征值；28 当 k 为何值时，A+kE 为正定矩阵?29 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+2x32
7、+2tx1x2+2x1x3 为正定二次型，求 t 的范围30 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：|E+A| 131 用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22 一 5x32+2x1x22x1x3+2x2x332 用配方法化下列二次型为标准形：f(x 1，x 2，x 3)=2x1x2+2x1x3+6x2x332 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax22+x32 一 4x1x2 一 8x1x3 一 4x2x3 经过正交变换化为标准形 5y12+6y22 一 4y32，求：33 常数 a，b ；34 正交变换的矩阵 Q34 设 为正定矩阵，令35 求
8、PTCP；36 证明：DBA -1BT 为正定矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 128 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B；选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数， (A)不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要
9、条件【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 f=x1x2，令 则 f=y12 一 y22；若令则 f=y12 一 9y22； (B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同； (C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为 0，不能保证其正惯性指数为 n； 选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 A-1 合同，所以 XTAX 与 XTA-1X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次
10、型也有多种标准形，选(B)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与对角阵 A 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 PTAP=A，从而 A=(PT)-1AP-1=(P-1)TAP-1，A T=(P-1)TAP-1T=(P-1)TAP-1=A，选(B)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与 合同，选(D)【知识模块】 线性代数8
11、 【正确答案】 C【试题解析】 由|EA|=0 得 A 的特征值为 1，3，一 5，由|E B|=0 得 B 的特征值为 1，1，一 1，所以 A 与 B 合同但不相似，选 (C)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 的特征值为一 2，1，1 ，所以|A|=|B|=一 2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 因为 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22 一 4x1x2+4x2x3，所以【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 令 3=3， 正交规范化的
12、向量组为【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 该二次型的矩阵为 因为该二次型的秩为 2，所以|A|=0，解得【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 二次型的矩阵为 因为二次型为正定二次型，所以有 50， |A|0，解得 t2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 令 即 X=PY，其中则【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x1x3 一 4x32=(x1+x2+x3)2 一(x 2+x3)2 一432，【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 AB+B=O
13、 得(E+A)B=O，从而 r(E+A)+r(B)3， 因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =一 1 为 A 的特征值且不低于 2 重， 显然 =一 1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1=2=一 1， 3=5 由(E+A)B=0 得 B 的列组为(E+A)X=0 的解， 故 为 1=2=一 1 对应的线性无关解 令为 3=5 对应的特征向量， 因为 AT=A，所以 解得令 正交化得 令 Q=(1， 2， 3)，则【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由 得 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)由 AB=O 得 为 =0 的两个线性无关
14、的特征向量，从而 =0 为至少二重特征值，又由 tr(A)=1 得 3=1， 即1=2=0， 3=1 令 3=1 对应的特征向量为 因为 AT=A，所以解得 #=1 对应的线性无关的特征向量为 令所求的正交矩阵为 且【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX，其中 由得 1=一 3， 2=3=3 由(一3EA)X=0 得 1=一 3 对应的线性无关的特征向量为 由(3E A)X=0 得2=3=3 对应的线性无关的特征向量为 将 2， 3 正交化得单位化得 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案
15、】 因为二次型的秩为 2，所以 r(A)=2，从而a=2【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由|E 一 A|=0 得 1=2=2， 3=0 当 =2 时，由(2EA)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 当 =0 时，由(0EA)X=0 得 =0 对应的线性无关的特征向量为 因为 1， 2 两两正交，单位化得 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A2=A，所以|A|E A|=0，即 A 的特征值为 0 或者 1， 因为A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r 重)，=0(n-r重)，则二次型 XTAX
16、的标准形为 y12+y22+yr2【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令 B=E+A+A2+An，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n 一 r重)，故 |E+A+A2+An|=|B|=(n+1)r【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 r(A)=n，所以|A|0，于是 显然 A*，A -1 都是实对称矩阵【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A-1 合同，故二次型 f(x1，x 2，x n)与 g(X)=XTAX 规范合同【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答
17、案】 由 A2+2A=O 得 r(A)+r(A+2E)3，从而 A 的特征值为 0 或一 2，因为 A 是实对称矩阵且 r(A)=2，所以 1=0， 2=3=一 2【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 A+kE 的特征值为 k，k 一 2，k 一 2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 二次型的矩阵为 因为该二次型为正定二次型，所以有 解得【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 方法一 因为 A 是正定矩阵，所以存在正交阵 Q，使得其中 10， 20， n0，因此于是|Q T(A+E)Q|=|A+E|=(1+1)(2+1)( n+1)1 方法二 因
18、为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值10, 20， n0，因此 A+E 的特征值为 1+l1， 2+11， n+11，故|A+E|=( 1+1)(2+1)( n+1)1【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 令 则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX， f(x1，x 2，x 3)=x12+2x22 一 5x32+2x1x22x1x3+2x2x3 =(x1+x2 一 x3)2+(x2+2x3)2 一10x32， 【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 令 或 X=P1Y，其中 且 P1 可逆， 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 令 则 f(x1，x 2，x
19、3)=XTAX， 矩阵 A的特征值为 1=5， 2=b， 3=一 4， 从而 特征值为 1=2=5， 3=一 4【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 将 1=2=5 代入(EA)X=0，即(5E A)X=0， 由得 1=2=5 对应的线性无关的特征向量为将 3=一 4 代入(EA)X=0，即(4E+A)X=0， 由得 3=一 4 对应的线性无关的特征向量为令 单位化得所求的正交变换矩阵为【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 因为 为正定矩阵，所以 AT=A，D T=D， 【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 因为 C 与 合同，且 C 为正定矩阵，所以为正定矩阵，故 A 与 DBA-1BT 都是正定矩阵【知识模块】 线性代数
