1、考研数学三（微积分）模拟试卷 128 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个： ()f(x)在 x=0 处三阶可导，且 =1； ()f(x)在 x=0 邻域二阶可导，f(0)=0，且( （分数：2.00）A.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)是 f(x)的极大值3.设函数 f(x)有二阶
2、连续导数，且 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处取极大值B.f(x)在 x=0 处取极小值C.点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.不可导点B.可导点，但非驻点C.驻点，但非极值点D.驻点，且为极值点5.设函数 y(x)=x 3 +3ax 2 +3bx+c 在 x=2 处有极值，其图形在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行，则y(x)的极大值与极小值之差为（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4二、解答题(总题数
3、：23，分数：46.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_7.求下列函数的导数与微分： （分数：2.00）_8.设 y= （分数：2.00）_9.求下列隐函数的微分或导数： ()设 ysinxcos(x 一 y)=0，求 dy； ()设由方程 （分数：2.00）_10.设 f(x)= （分数：2.00）_11.设 g(x)= （分数：2.00）_12.设 f(x)在(一，+)有一阶连续导数，且 f(0)=0 并存在 f“(0)若 （分数：2.00）_13.设 y=xcosx，求 y (n) （分数：2.00）_14.设 y=ln(3+7x 一 6x 2 )
4、，求 y (n) （分数：2.00）_15.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且f(x)1，又 f(0)=f(1)，证明：对于 x 1 ，x 2 0，1，有 f(x 1 )一 f(x 2 ) （分数：2.00）_16.设 ae，0xy （分数：2.00）_17.证明：当 x1 时，0lnx+ （分数：2.00）_18.求证：当 x0 时，不等式(1+x)ln 2 (1+x)x 2 成立（分数：2.00）_19.求证：当 x(0，1)时， （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0f(x)1(x(0，1)，求证： 0 1 f(x)dx 2
5、 0 1 f 3 (x)dx（分数：2.00）_21.设 p，g 是大于 1 的常数，且 （分数：2.00）_22.设 0x1，求证：x n (1 一 x) （分数：2.00）_23.设 f(x)在(a，b)内二阶可导，且 ax 1 x 2 b ()若 x(a，b)时 f“(x)0，则 f(x) (x 2 ) (217) 对任何 x(x 1 ，x 2 )成立； ()若 x(a，b)时 f“(x)0，则 f(x) （分数：2.00）_24.证明：当 0x （分数：2.00）_25.设函数 f(x)在区间0，a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)=0，f(a)=b，求证： 0 a f(x)dx+
6、 0 b g(x)dx=ab， 其中 g(x)是 f(x)的反函数（分数：2.00）_26.设 g(x)在a，b连续，f(x)在a，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 （分数：2.00）_27.设函数 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零记 F(x)= （分数：2.00）_28.设 f(x)在(a，b)四次可导，且存在 x 0 (a，b)使得 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，又设当 axb 时 f (4) (x)0，求证 f(x)的图形在(a，b)是凹的（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 128 答案解析(总分：56.00，做题时间：90
7、分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个： ()f(x)在 x=0 处三阶可导，且 =1； ()f(x)在 x=0 邻域二阶可导，f(0)=0，且( （分数：2.00）A.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)是 f(x)的极大值解析：解析：()由条件 =f(0)=0 用洛必达法则得 因 f“(x)=f“(0)，若 f“(0)0，
8、则 J=，与 J=1 矛盾，故必有 f“(0)=0再由 f“(0)的定义知 J= f“(0)=1，即 f“(0)=2 因此，(0，f(0)是拐点选(C) ()已知 f(0)=0，现考察 f“(0)由方程得 利用当 x0 时的等价无穷小关系 ，并求极限即得3.设函数 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处取极大值 B.f(x)在 x=0 处取极小值C.点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：利用 f(x)在 x=0 处的二阶泰勒公式可得4.设函数 f(x)在 x=1 的
9、某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.不可导点B.可导点，但非驻点C.驻点，但非极值点D.驻点，且为极值点 解析：解析：5.设函数 y(x)=x 3 +3ax 2 +3bx+c 在 x=2 处有极值，其图形在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行，则y(x)的极大值与极小值之差为（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：先确定三次函数 y(x)表达式中的常数 a，b，c 由 y(x)=3x 2 +6ax+3b 及已知 x=2 是极值点，可得 y(2)=3(4+4a+b)=0 又由在 x=1 处的斜率为 y(1)=一 3，得 3(1+2a+b)=一 3 由、可得 a=
10、一 1，b=0 故三次函数 y(x)=x 3 一 3x 2 +c 由 y(x)=3x(x 一 2)得函数 y(x)有驻点x=0 与 x=2又由 y“(x)=6x 一 6 知 y“(0)0 与 y“(2)0故 y(x)的极大值为 y(0)=c，极小值为 y(2)=一 4+c 于是 y(0)y(2)=4故应选(D)二、解答题(总题数：23，分数：46.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：7.求下列函数的导数与微分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()这是求连乘积的导数，用对数求导法方便因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得 若只求 y(1
11、)，用定义最简单利用 y(1)=0 可得 )解析：8.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由变限积分求导法先求得 ，最后由复合函数求导法得 )解析：9.求下列隐函数的微分或导数： ()设 ysinxcos(x 一 y)=0，求 dy； ()设由方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用一阶微分形式不变性求得 d(ysinx)一 dcos(x 一 y)=0， 即 sinxdy+ycosxdx+sin(x 一 y)(dxdy)=0， 整理得 sin(x 一 y)一 sinxdy=ycosx+sin(x 一 y)dx， 故 dy= ()将原方程两边取对数，得等价方程 ，
12、 (*) 于是方程两边对 x 求导并注意 y 是 x 的函数，即得 )解析：10.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()这是分段函数，分界点 x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即 x0，于是可得当 x0 时，f(x)= +2cos2x，x=0 处是左导数：f (0)=2； 又 =0=f(0)，即 f(x)在 x=0 右连续f + (0)=2于是 f(0)=2因此 ()f(x)也是分段函数，x=0 是分界点为讨论 f(x)在 x=0 处的可导性，要分别求 f“ + (0)与 f“ (0)同前可得 )解析：11.设 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
13、：若已求得 g(x)，则由复合函数求导法得 fg(x)=fg(x)g(x)故只需求 g(x) )解析：12.设 f(x)在(一，+)有一阶连续导数，且 f(0)=0 并存在 f“(0)若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先求 F(x)当 x0 时，由求导法则易求 F(x)，而 F(0)需按定义计算然后讨论 F(x)的连续性，当 x0 时由连续性的运算法则得到 F(x)连续，当 x=0 时可按定义证明型极限问题，可用洛必达法则 )解析：13.设 y=xcosx，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：逐一求导，得 y=cosx+x(cosx)，y“=2(cosx)+
14、x(cosx)“，y“=y (3) =3(cosx)“+x(cosx) (3) ， 观察其规律得 y (n) =n(cosx) (n1) +x(cosx) (n) (*) 用归纳法证明：当 n=1 时(*)显然成立，设 n=k 时(*)式成立，得 y (k+1) =k(cosx) (k) +(cosx) (k) +x(cosx) (k+1) =(k+1)(cosx) (k) +x(cosx) (k+1) ， 即 n=k+1 时成立，因此(*)式对任意自然数 n 成立 再用(cosx) (n) 的公式得 y (n) =ncos(x+ )解析：解析：逐一求导，求出 y，y“，总结出规律，写出 y
15、(n) 表达式，然后用归纳法证明14.设 y=ln(3+7x 一 6x 2 )，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先分解 y=ln(32x)(1+3x)=ln(32x)+ln(1+3x) y (n) =ln(32x) (n) +ln(1+3x) (n) 然后利用ln(ax+b) (n) 的公式得 )解析：解析：利用对数函数性质将函数 y 分解为形如 ln(ax+b)的对数函数之和，再用ln(ax+b) (n) 的公式即可得结果15.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且f(x)1，又 f(0)=f(1)，证明：对于 x 1 ，x 2 0，1，有 f(x 1
16、)一 f(x 2 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：联系 f(x 1 )f(x 2 )与 f(x)的是拉格朗日中值定理不妨设 0x 1 x 2 1分两种情形： 1)若 x 2 一 x 1 ，直接用拉格朗日中值定理得 f(x 1 )一 f(x 2 )=f()(x 2 一 x 1 )=f()x 2 一 x 1 2)若 x 2 一 x 1 ，当0x 1 x 2 1 时，利用条件 f(0)=f(1)分别在0，x 1 与x 2 ，1上用拉格朗日中值定理知存在(0，x 1 )，(x 2 ，1)使得 f(x 1 )一 f(x 2 )=f(x 1 )一 f(0)一f(x 2 )一 f(1) f(x
17、 1 )一 f(0)+f(1)一 f(x 2 ) =f()x 1 +f()(1 一 x 2 ) x 1 +(1 一 x 2 )=1 一(x 2 一 x 1 ) ， 当 x 1 =0 且 x 2 时，有 f(x 1 )一 f(x 2 )=f(0)一 f(x 2 )=f(1)一 f(x 2 )=f()(1 一 x 2 ) 当 x 1 且 x 2 =1 时，同样有 x(x 1 )一 f(x 2 )=f(x 1 )一 f(1)=f(x 1 )一 f(0)=f()(x 1 一 0) 因此对于任何 x 1 ，x 2 0，1总有 f(x 1 )一 f(x 2 ) )解析：16.设 ae，0xy （分数：2.
18、00）_正确答案：(正确答案：令 f(t)=a t ，g(t)=cost，在区间x，y上应用柯西中值定理，即知存在满足0xy 的 ，使得 )解析：解析：把不等式改写成 17.证明：当 x1 时，0lnx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 x1 引入函数 f(x)=lnx+ 一 2，则 f(x)在1，+)可导，且当 x1 时 从而 f(x)在1，+)单调增加，又 f(1)=0，所以当 x1 时 f(x)f(1)=0，即 lnx+ 一20 令 g(x)=lnx+ (x 一 1) 3 ，则 g(x)在1，+)可导，且当 x1 时 故 g(x)在区间1，+)上单调减少，又 g(1)=0，
19、所以当 x1 时 g(x)g(1)=0，即 lnx+ )解析：18.求证：当 x0 时，不等式(1+x)ln 2 (1+x)x 2 成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 2 一(1+x)ln 2 (1+x)，则有 f(x)在0，+)三阶可导且 f(0)=0， f(x)=2xln 2 (1+x)一 2ln(1+x)，f(0)=0， )解析：19.求证：当 x(0，1)时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故 g(x)在(0，1)内单调下降又 g(x)在(0，1连续，且 g(1)= 1，g(x)在 x=0 无定义，但 若补充定义 g(0)= ，则 g(x)在0
20、，1上连续又 g(x)0，0x1，因此 g(x)在0，1单调下降所以，当 x(0，1)时 g(1)g(x)g(0)，即 )解析：20.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0f(x)1(x(0，1)，求证： 0 1 f(x)dx 2 0 1 f 3 (x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 0 1 f(x)dx 2 一 0 1 f 3 (x)dx0考察 F(x)= 0 x f(t)dt 2 0 x f 3 (t)dt， 若能证明 F(x)0(x(0，1)即可这可用单调性方法 令 F(x)= 0 x f(t)dt 2 一 0 x f 3 (t)dt，易知 F(
21、x)在0，1可导，且 F(0)=0，F(x)=f(x)2 0 x f(t)dt 一 f 2 (x) 由题设知 f(x)在0，1单调上升，故 f(x)f(0)=0(x(0，1)，从而 F(x)与 g(x)=2 0 x f(t)dt一 f 2 (x)同号计算可得 g(x)=2f(x)1 一 f(x)0(x(0，1)， 结合 g(x)在0，1连续，于是g(x)在0，1单调上升，故 g(x)g(0)=0(x(0，1)，也就有 F(x)0(x(0，1)，即 F(x)在0，1单调上升，F(x)F(0)=0(x(0，1)因此 F(1)= 0 1 f(x)dx 2 一 0 1 f 3 (x)dx0)解析：21
22、.设 p，g 是大于 1 的常数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= 一 x，则 f(x)=x p1 1令 f(x)=0，得唯一驻点 x=1因为f“(x)=(p1)x p2 ，f“(1)=p 一 10，所以当 x=1 时 f(x)取极小值，即最小值从而当 x0 时，有f(x)f(1)=0，即 )解析：解析：构造函数 f(x)=22.设 0x1，求证：x n (1 一 x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=nx n (1 一 x)(x0，1)，则 f(x)=nnx n1 (1 一 x)一 x n =nx n1 n(1 一 x)一 x=nx n1
23、n 一(n+1)x f(x)在(0，1)有唯一驻点 x=x 0 = ， 又 f(0)=f(1)=0，f(x n )0，所以 f(x)在 x=x n 取到(0，1)上的最大值： )解析：23.设 f(x)在(a，b)内二阶可导，且 ax 1 x 2 b ()若 x(a，b)时 f“(x)0，则 f(x) (x 2 ) (217) 对任何 x(x 1 ，x 2 )成立； ()若 x(a，b)时 f“(x)0，则 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因()与()的证法类似，下面只证()把(217)式改写成下面的等价不等式，有 (x 2 一 x)f(x)一 f(x 1 )(x 一 x
24、1 )f(x 2 )一 f(x)， 由拉格朗日中值定理知 (x 2 一 x)f(x)一f(x 1 )=(x 2 一 x)(x 一 x 1 )f( 1 )，x 1 1 x， (x 一 x 1 )f(x 2 )一 f(x)=(x 一 x 1 )(x 2 一 x)f( 2 )，x 2 x 2 由 f“(x)0 知 f(x)单调增加，故 f( 1 )f( 2 )，由此即知等价不等式成立，从而()成立)解析：24.证明：当 0x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在区间 =0，F“(x)=一 sinx0 当 x(0， 上 F(x)的图形上凸由此即得当 )解析：25.设函数 f(x)在区间0，a上
25、单调增加并有连续的导数，且 f(0)=0，f(a)=b，求证： 0 a f(x)dx+ 0 b g(x)dx=ab， 其中 g(x)是 f(x)的反函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(a)= 0 a f(x)dx+ 0 f(a) g(x)dx 一 af(a)，对 a 求导得 F(a)=f(a)+gf(a)f(a)一 af(a)一 f(a)， 由题设 g(x)是 f(x)的反函数知 gf(a)=a，故 F(a)=0，从而 F(a)为常数又 F(0)=0，故 F(a)=0，即原等式成立)解析：解析：即证对 a 有函数恒等式 0 a f(x)dx+ 0 f(a) g(x)dx=af
26、(a)成立26.设 g(x)在a，b连续，f(x)在a，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)在a，b不恒为零，则 f(x)在a，b取正的最大值或负的最小值 无妨设 f(x 0 )= f(x)0，则 x 0 (a，b)且 f(x 0 )=0，f“(x 0 )0，从而 f“(x 0 )+g(x 0 )f(x 0 )一f(x 0 )0，与已知条件矛盾类似可得若 f(x 1 )= )解析：27.设函数 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零记 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明 F(x)0(x0
27、)由题设条件，有 由拉格朗日中值定理知，存在(0x)使得 )解析：解析：要证 F(x)在(a，+)内单调增加，只需证 F(x)0，为此需先求出 F(x)条件“f“(x)在(a，+)内存在且大于零”隐含着 f(x)在(a，+)上单调上升，因此要充分利用这一信息来证明 F(x)028.设 f(x)在(a，b)四次可导，且存在 x 0 (a，b)使得 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，又设当 axb 时 f (4) (x)0，求证 f(x)的图形在(a，b)是凹的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由当 x(a，b)时 f (4) (x)0，知 f“(x)在(a，b)单调增加 又因 f“(x 0 )=0，故 )解析：
