1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学理 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 是 z 的共轭复数，若 z+ =2， (z- )i=2(i 为虚数单位 )，则 z=( ) A. 1+i B. -1-i C. -1+i D. 1-i 解析 ：由于， (z- )i=2，可得 z- =-2i ， 又 z+ =2 ， 由 解得 z=1-i 答案 ： D. 2.函数 f(x)=ln(x2-x)的定义域为 ( ) A. (0， 1) B. 0， 1 C. (- ， 0) (1， + ) D. (- ， 01 ，
2、 + ) 解析 ： 要使函数有意义，则 x2-x 0，即 x 1 或 x 0，故函数的定义域为 (- ， 0) (1， + )， 答案 ： C 3.已知函数 f(x)=5|x|， g(x)=ax2-x(a R)，若 fg(1)=1，则 a=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. -1 解析 ： g(1)=a-1，若 fg(1)=1，则 f(a-1)=1，即 5|a-1|=1，则 |a-1|=0，解得 a=1， 答案： A. 4.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 c2=(a-b)2+6， C= ，则 ABC的面积是 ( ) A. B. C. D. 3
3、解析 ：由题意得， c2=a2+b2-2ab+6， 又由余弦定理可知， c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab， -2ab+6=-ab，即 ab=6.S ABC = . 答案： C. 5.一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以 C、 D 不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以 A 不正确， 答案： B. 6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了 52名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性
4、最大的变量是 ( ) 表 1 表 2 表 3 表 4 A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量 解析 ：表 1： X2= 0.009 ； 表 2： X2= 1.769 ； 表 3： X2= 1.3 ； 表 4： X2= 23.48 ， 阅读量与性别有关联的可能性最大 . 答案： D. 7.阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 ( ) A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 解析 ：由程序框图知：算法的功能是求 S=0+lg +lg +lg +lg 的值， S=lg +lg +lg =lg -1，而 S=lg +lg +lg =lg -1， 跳出循环的 i 值为
5、 9， 输出 i=9. 答案： B. 8.若 f(x)=x2+2 f(x)dx，则 f(x)dx=( ) A. -1 B. - C. D. 1 解析 ：若 f(x)dx=-1 则： f(x)=x2-2， x 2-2=x2+2 (x2-2)dx=x2+2( ) =x2- ，显然 A 不正确； 若 f(x)dx= ， 则： f(x)=x2- ， x 2- =x2+2 (x2- )dx=x2+2( ) =x2- ，显然 B 正确； 若 f(x)dx= ， 则： f(x)=x2+ ， x 2+ =x2+2 (x2+ )dx=x2+2( ) =x2+2，显然 C 不正确； 若 f(x)dx=1 则： f
6、(x)=x2+2， x 2+2=x2+2 (x2+2)dx=x2+2( ) =x2+ ，显然 D 不正确； 答案： B. 9.在平面直角坐标系中， A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线2x+y-4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为 ( ) A. B. C. (6-2 ) D. 解析 ： AB 为直径， AOB=90 ， O 点必在圆 C 上， 由 O 向直线做垂线，垂足为 D，则当 D 恰为圆与直线的切点时，此时圆 C 的半径最小，即面积最小 ， 此时圆的直径为 O 到直线的距离为 ，则圆 C 的面积为： ( )2= . 答案 ： A. 10.如图，
7、在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=11， AD=7， AA1=12.一质点从顶点 A 射向点 E(4， 3，12)，遇长方体的面反射 (反射服从光的反射原理 )，将第 i-1 次到第 i 次反射点之间的线段记为 li(i=2， 3， 4)， l1=AE，将线段 l1， l2， l3， l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：根据题意有： A 的坐标为： (0， 0， 0)， B 的坐标为 (11， 0， 0)， C 的坐标为 (11， 7， 0)， D 的坐标为 (0， 7，0)； A1的坐标为： (0， 0， 12)， B1的坐标为
8、(11， 0， 12)， C1的坐标为 (11， 7， 12)， D1的坐标为(0， 7， 12)； E 的坐标为 (4， 3， 12) (1)l1长度计算 ， 所以： l1=|AE|= =13. (2)l2长度计算 ， 将平面 A1B1C1D1沿 Z 轴正向平移 AA1个单位，得到平面 A2B2C2D2；显然有： A2的坐标为： (0， 0， 24)， B2的坐标为 (11， 0， 24)， C2的坐标为 (11， 7， 24)， D2的坐标为(0， 7， 24)； 显然平面 A2B2C2D2和平面 ABCD 关于平面 A1B1C1D1对称 . 设 AE 与的延长线与平面 A2B2C2D2相
9、交于： E2(xE2， yE2， 24) 根据相识三角形易知： xE2=2xE=24=8 ， yE2=2yE=23=6 ，即： E2(8， 6， 24). 根据坐标可知， E2在长方形 A2B2C2D2内 . 根据反射原理， E2在平面 ABCD 上的投影即为 AE 反射光与平面 ABCD 的交点 . 所以 F 的坐标为 (8， 6， 0). 因此： l2=|EF|= =13. (3)l3长度计算 ， 设 G 的坐标为： (xG， yG， zG) 如果 G 落在平面 BCC1B1；这个时候有： xG=11， yG7 ， zG12 ， 根据反射原理有： AEFG ， 于是：向量 与向量 共线；即
10、有： = ， 因为： =(4， 3， 12)； =(xG-8， yG-6， zG-0)=(3， yG-6， zG) 即有： (4， 3， 12)= (3， yG-6， zG)， 解得： yG= ， zG=9；故 G 的坐标为： (11， ， 9)， 因为： 7，故 G 点不在平面 BCC1B1上，所以： G 点只能在平面 DCC1D1上； 因此有： yG=7； xG11 ， zG12 ， 此时： =(xG-8， yG-6， zG-0)=(xG-8， 1， zG)， 即有： (4， 3， 12)= (xG-8， 1， zG)， 解得： xG= ， zG=4； 满足： xG11 ， zG12 ，
11、故 G 的坐标为： ( ， 7， 4)， 所以 l3=|FG|= = . (4)l4长度计算 ， 设 G 点在平面 A1B1C1D1的投影为 G ，坐标为 ( ， 7， 12). 因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即： AEFGH 共面 ， 故 EG 的反射线 GH 只能与平面 A1B1C1D1相交，且交点 H只能在 A1G； 易知： l4 |GG|=12 -4=8 l3. 根据以上解析，可知 l1， l2， l3， l4要满足以下关系： l1=l2；且 l4 l3， 对比 ABCD 选项，可知，只有 C选项满足以上条件 . 故本题选： C. 二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，
12、若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .不等式选做题 11.对任意 x， y R， |x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 ：对任意 x， y R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|x -1-x|+|1-y+y+1|=3， 当且仅当 x 0， ， y 0， 1成立 . 答案： C. 坐标系与参数方程选做题 12.若以直角坐标系的原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1-x(0x1 )的极坐
13、标方程为 ( ) A. = ， 0 B. = ， 0 C. =cos+sin ， 0 D. =cos+sin ， 0 解析 ：根据直角坐标和极坐标的互化公式 x=cos ， y=sin ， y=1-x(0x1 )， 可得 cos+sin=1 ，即 = ， 0， ， 答案： A. 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 13.10件产品中有 7件正品， 3件次品，从中任取 4件，则恰好取到 1件次品的概率是 . 解析 ：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是从 10 件中取 4 件有 C104种结果， 满足条件的事件是恰好有 1 件次品有 C C31种结果，
14、 恰好有一件次品的概率是 P= = 答案 ： 14.若曲线 y=e-x上点 P 的切线平行于直线 2x+y+1=0，则点 P的坐标是 . 解析 ：设 P(x， y)，则 y=e-x， y= -e-x，在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行， -e-x=-2，解得 x=-ln2， y=e -x=2，故 P(-ln2， 2)， 答案 ： (-ln2， 2). 15.已知单位向量 与 的夹角为 ，且 cos= ，向量 =3 -2 与 =3 - 的夹角为 ，则 cos= . 解析 ：单位向量 与 的夹角为 ，且 cos= ，不妨 =(1， 0)， = ， =3 -2 =( )， =3 - =
15、( )， cos= = = . 答案 ： . 16.过点 M(1， 1)作斜率为 - 的直线与椭圆 C： + =1(a b 0)相交于 A， B 两点，若 M是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于 . 解析 ：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 ， ， 过点 M(1， 1)作斜率为 - 的直线与椭圆 C： + =1(a b 0)相交于 A， B 两点， M 是线段 AB 的中点， 两式相减可得 ， a= b， =b， e= = . 答案 ： . 五、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(12 分 )已知函数 f(x)=s
16、in(x+ )+acos(x+2 )，其中 a R， (- ， ) (1)当 a= ， = 时，求 f(x)在区间 0， 上的最大值与最小值； (2)若 f( )=0， f( )=1，求 a， 的值 . 解析 ： (1)由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为 f(x)=-sin(x-)，再根据 x 0， ，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值 . (2)由条件可得 (- ， )， cos -asin2=0 ， -sin -acos2=1 ，由这两个式子求出 a 和 的值 . 答案 ： (1)当 a= ， = 时， f(x)=sin(x+ )+acos(x+2 ) =sin
17、(x+ )+ cos(x+ )= sinx+ cosx- sinx=- sinx+ cosx =sin( -x)=-sin(x- ). x 0， ， x - - ， ， sin (x- ) - ， 1， -sin(x- ) -1， ， 故 f(x)在区间 0， 上的最小值为 -1，最大值为 . (2)f (x)=sin(x+ )+acos(x+2 )， a R， (- ， )， f( )=0， f( )=1， cos -asin2=0 ， -sin -acos2=1 ， 由 求得 sin= ，由 可得 cos2= =- - . 再根据 cos2=1 -2sin2 ，可得 - - =1-2 ，
18、求得 a=-1， sin= - ， = - . 综上可得，所求的 a=-1， = - . 18.(12 分 )已知首项是 1 的两个数列 an， bn(bn0 ， n N*)满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令 cn= ，求数列 cn的通项公式； (2)若 bn=3n-1，求数列 an的前 n 项和 Sn. 解析 ： (1)由 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0， en= ，可得数列 cn是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，即可求数列 cn的通项公式； (2)用错位相减法来求和 . 答案 ： (1)a nbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0，
19、 cn= ， c n-cn+1+2=0， c n+1-cn=2， 首项是 1的两个数列 an， bn， 数列 cn是以 1为首项， 2为公差的等差数列， c n=2n-1； (2)b n=3n-1， cn= ， a n=(2n-1) 3n-1， S n=13 0+33 1+ (2n-1)3 n-1， 3S n=13 1+33 2+ (2n-1)3 n， -2Sn=1+2 (31+32+3 n-1)-(2n-1) 3n=-2-(2n-2)3n， S n=(n-1)3n+1. 19.(12 分 )已知函数 f(x)=(x2+bx+b) (b R) (1)当 b=4 时，求 f(x)的极值； (2)
20、若 f(x)在区间 (0， )上单调递增，求 b 的取值范围 . 解析 ： (1)把 b=4 代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值； (2)求出原函数的导函数，由导函数在区间 (0， )上大于等于 0 恒成立，得到 对任意 x (0， )恒成立 .由单调性求出 的范围得答案 . 答案 ： (1)当 b=4 时， f(x)=(x2+4x+4) = (x )， 则 =. 由 f (x)=0，得 x=-2 或 x=0. 当 x -2 时， f (x) 0， f(x)在 (- ， -2)上为减函数 . 当 -2 x 0
21、 时， f (x) 0， f(x)在 (-2， 0)上为增函数 . 当 0 x 时， f (x) 0， f(x)在 (0， )上为减函数 . 当 x=-2 时， f(x)取极小值为 0. 当 x=0 时， f(x)取极大值为 4； (2)由 f(x)=(x2+bx+b) ，得： = . 由 f(x)在区间 (0， )上单调递增， 得 f (x)0 对任意 x (0， )恒成立 . 即 -5x2-3bx+2x0 对任意 x (0， )恒成立 . 对任意 x (0， )恒成立 . . .b 的取值范围是 . 20.(12 分 )如图，四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 为矩形，平面 PAD 平面
22、 ABCD. (1)求证： ABPD ； (2)若 BPC=90 ， PB= ， PC=2，问 AB 为何值时，四棱锥 P-ABCD 的体积最大？并求此时平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值 . 解析 ： (1)要证 ADPD ，可以证明 AB 面 PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明 ADPD . (2)过 P 做 POAD 得到 PO 平面 ABCD，作 OMBC ，连接 PM，由边长关系得到 BC= ， PM=，设 AB=x，则 VP-ABCD= ，故当 时， VP-ABCD取最大值，建立空间直角坐标系 O-AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值 . 答案 ： (1
23、) 在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 为矩形， ABAD ， 又 平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD=AD， AB 面 PAD， ADPD . (2)过 P 做 POAD ， PO 平面 ABCD，作 OMBC ，连接 PMPMBC ， BPC=90 ， PB= ， PC=2， BC= ， PM= ， 设 AB=x， OM=xPO= ， V P-ABCD= x = 当 ，即 x= ， VP-ABCD= ， 建立空间直角坐标系 O-AMP，如图所示， 则 P(0， 0， )， D( ， 0， 0)， C( ， ， 0)， M(0， ， 0)， B( ， ，0)， 面
24、 PBC 的法向量为 =(0， 0， 1)，面 DPC 的法向量为 =(1， 1， 1)， cos= . 21.(13 分 )如图，已知双曲线 C： -y2=1(a 0)的右焦点为 F，点 A， B 分别在 C 的两条渐近线 AFx 轴， ABOB ， BFOA (O 为坐标原点 ). (1)求双曲线 C 的方程； (2)过 C 上一点 P(x0， y0)(y00 )的直线 l： -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x= 相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时， 恒为定值，并求此定值 . 解析 ： (1)依题意知， A(c， )，设 B(t， - )，利用 ABOB ，
25、BFOA ，可求得 a= ，从而可得双曲线 C 的方程； (2)易求 A(2， )， l 的方程为： -y0y=1，直线 l： -y0y=1 与直线 AF 相交于点M，与直线 x= 相交于点 N，可求得 M(2， )， N( ， )，于是化简 =可得其值为 ，于是原结论得证 . 答案 ： (1)依题意知， A(c， )，设 B(t， - )， ABOB ， BFOA ， =-1， = ，整理得： t= ， a= ， 双曲线 C 的方程为 -y2=1； (2)由 (1)知 A(2， )， l 的方程为： -y0y=1， 又 F(2， 0)，直线 l： -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M，与
26、直线 x= 相交于点 N. 于是可得 M(2， )， N( ， )， = = = = . 22.(14 分 )随机将 1， 2， ， 2n(n N*， n2 )这 2n 个连续正整数分成 A、 B 两组，每组 n个数， A 组最小数为 a1，最大数为 a2； B 组最小数为 b1，最大数为 b2；记 =a 2-a1， =b 2-b1. (1)当 n=3 时，求 的分布列和数学期望； (2)C 表示时间 “ 与 的取值恰好相等 ” ，求事件 C 发生的概率 P(C)； (3)对 (2)中的事件 C， 表示 C 的对立时间，判断 P(C)和 P( )的大小关系，并说明理由 . 解析 ： (1)当
27、n=3 时， 的取值可能为 2， 3， 4， 5，求出随机变量 的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望 E . (2)根据 C 表示时间 “ 与 的取值恰好相等 ” ，利用分类加法原理，可得事件 C 发生的概率 P(C)的表达式； (3)判断 P(C)和 P( )的大小关系，即判断 P(C)和 的大小关系，根据 (2)的公式，可得答案 . 答案 ： (1)当 n=3 时， 的取值可能为 2， 3， 4， 5 其中 P(=2 )= = ， P(=3 )= = ， P(=4 )= = ， P(=5 )= = ， 故随机变量 的分布列为： 的数学期望 E( )=2 +3 +4 +5 = ； (2)C 表示时间 “ 与 的取值恰好相等 ” ， P (C)=2 (3)当 n=2 时， P(C)=2 = ，此时 P( ) ；即 P( ) P(C)； 当 n3 时， P(C)=2 ，此时 P( ) ； 即 P( ) P(C).
