1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学理 一、选择题 (每小题 5 分，共 50 分 ) 1.设全集 U=x N|x2 ，集合 A=x N|x25 ，则 UA=( ) A. B. 2 C. 5 D. 2， 5 解析 ： 全集 U=x N|x2 ，集合 A=x N|x25=x N|x3 ，则 CUA=x N|x 3=2， 答案： B. 2.已知 i 是虚数单位， a， b R，则 “a=b=1” 是 “ (a+bi)2=2i” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： 当 “a=b=1” 时， “ (a+bi
2、)2=(1+i)2=2i” 成立， 故 “a=b=1” 是 “ (a+bi)2=2i” 的充分条件； 当 “ (a+bi)2=a2-b2+2abi=2i” 时， “a=b=1” 或 “a=b= -1” ， 故 “a=b=1” 是 “ (a+bi)2=2i” 的不必要条件； 综上所述， “a=b=1” 是 “ (a+bi)2=2i” 的充分不必要条件； 故选 A 3.某几何体的三视图 (单位： cm)如图所示，则此几何体的表面积是 ( ) A. 90cm2 B. 129cm2 C. 132cm2 D. 138cm2 解析 ： 由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体， 其中直三棱柱的侧棱长
3、为 3，底面是直角边长分别为 3、 4 的直角三角形， 四棱柱的高为 6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为 3 和 4， 几何体的表面积 S=246+36+33+234+234+ (4+5)3=48+18+9+24+12+27=138 (cm2). 答案： D. 4.为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象，可以将函数 y= cos3x 的图象 ( ) A. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位 C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位 解析 ： 函数 y=sin3x+cos3x= ，故只需将函数 y= cos3x 的图象向右平移 个单位，得到 y= = 的图象 . 答案： C
4、. 5.在 (1+x)6(1+y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m， n)，则 f(3， 0)+f(2， 1)+f(1， 2)+f(0，3)=( ) A. 45 B. 60 C. 120 D. 210 解析 ： (1+x)6(1+y)4的展开式中，含 x3y0的系数是： =20.f(3， 0)=20； 含 x2y1的系数是 =60， f(2， 1)=60； 含 x1y2的系数是 =36， f(1， 2)=36； 含 x0y3的系数是 =4， f(0， 3)=4； f (3， 0)+f(2， 1)+f(1， 2)+f(0， 3)=120. 答案： C. 6.已知函数 f(x)=x3+
5、ax2+bx+c，其 0 f(-1)=f(-2)=f(-3)3 ，则 ( ) A. c3 B. 3 c6 C. 6 c9 D. c 9 解析 ： 由 f(-1)=f(-2)=f(-3)得 ，解得 ， f(x)=x3+6x2+11x+c，由 0 f(-1)3 ，得 0 -1+6-11+3 ，即 6 c9 ， 故选 C. 7.在同一直角坐标系中，函数 f(x)=xa(x0 )， g(x)=logax 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 当 0a 1 时，函数 f(x)=xa(x0 )， g(x)=logax 的图象为： 此时答案 D 满足要求， 当 a 1 时，函数 f(x)=
6、xa(x0 )， g(x)=logax 的图象为： 无满足要求的答案， 综上：故选 D 8.记 maxx， y= ， minx， y= ，设 ， 为平面向量，则 ( ) A. min| + |， | - |min| |， | | B. min| + |， | - |min| |， | | C. max| + |2， | - |2| |2+| |2 D. max| + |2， | - |2| |2+| |2 解析 ： 对于选项 A，取 ，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立； 对于选项 B，取 ， 是非零的相等向量，则不等式左边 min| + |， | - |= ，显然，不等式不成立； 对于选
7、项 C，取 ， 是非零的相等向量，则不等式左边 max| + |2， | - |2=| + |2=4，而不等式右边 =| |2+| |2=2 ，显然不成立 . 由排除法可知， D 选项正确 . 答案： D. 9.已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球 (m3 ， n3 )，从乙盒中随机抽取 i(i=1， 2)个球放入甲盒中 . (a)放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 i(i=1， 2)； (b)放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1， 2). 则 ( ) A. p1 p2， E( 1) E( 2) B. p1 p2， E(
8、1) E( 2) C. p1 p2， E( 1) E( 2) D. p1 p2， E( 1) E( 2) 解析 ： ， ， ，所以 P1 P2； 由已知 1的取值为 1、 2， 2的取值为 1、 2、 3， 所以， = ， E( 1)-E( 2)= . 答案 ： A 10.设函数 f1(x)=x2， f2(x)=2(x-x2)， ， ， i=0， 1， 2， ，99.记 Ik=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)丨 +|f k(a99)-fk(a98)|， k=1， 2， 3，则 ( ) A. I1 I2 I3 B. I2 I1 I3 C. I1 I3 I2 D. I3
9、 I2 I1 解析 ： 由 ，故= =1， 由 ，故 1， += ， 故 I2 I1 I3， 答案： B. 二、填空题 11.(4 分 )在某程序框图如图所示，当输入 50 时，则该程序运算后输出的结果是 . 解析 ： 由程序框图知：第一次循环 S=1， i=2； 第二次循环 S=21+2=4 ， i=3； 第三次循环 S=24+3=11 ， i=4； 第四次循环 S=211+4=26 ， i=5； 第五次循环 S=226+5=57 ， i=6， 满足条件 S 50，跳出循环体，输出 i=6. 答案 ： 6. 12.(4 分 )随机变量 的取值为 0， 1， 2，若 P(=0 )= ， E(
10、)=1，则 D( )= . 解析 ： 设 P(=1 )=p， P(=2 )=q，则由已知得 p+q= ， ， 解得 ， ， 所以 . 答案 ： 13.(4 分 )当实数 x， y 满足 时， 1ax+y4 恒成立，则实数 a 的取值范围是 . 解析 ： 由约束条件作可行域如图， 联立 ，解得 C(1， ).联立 ，解得 B(2， 1). 在 x-y-1=0 中取 y=0 得 A(1， 0). 要使 1ax+y4 恒成立，则 ，解得： 1 . 实数 a 的取值范围是 . 答案 ： . 14.(4 分 )在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖 .将这 8 张奖券分配给 4 个
11、人，每人 2 张，不同的获奖情况有 种 (用数字作答 ). 解析 ： 分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有 =24 种； 一、二、三等奖，有 1 人获得 2 张， 1 人获得 1 张，共有 =36种， 共有 24+36=60 种 . 答案 ： 60. 15.(4 分 )设函数 f(x)= ，若 f(f(a)2 ，则实数 a 的取值范围是 . 解析 ： 函数 f(x)= ，它的图象如图所示： 由 f(f(a)2 ，可得 f(a) -2. 由 f(x)=-2，可得 -x2=-2，即 x= ， 故当 f(f(a)2 时，则实数 a 的取值范围是 a ， 答案 ： (- ， . 16.(4 分
12、)设直线 x-3y+m=0(m0 )与双曲线 (a 0， b 0)的两条渐近线分别交于点 A， B.若点 P(m， 0)满足 |PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是 . 解析 ： 双曲线 (a 0， b 0)的两条渐近线方程为 y= x，则 与直线 x-3y+m=0 联立，可得 A( ， )， B(- ， )， AB 中点坐标为 ( ， )， 点 P(m， 0)满足 |PA|=|PB|， =-3， a=2b ， = b， e= = . 答案 ： . 17.(4 分 )如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练 .已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面
13、上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小 .若 AB=15cm， AC=25cm， BCM=30 ，则 tan 的最大值是 .(仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角 ) 解析 ： AB=15cm ， AC=25cm， ABC=90 ， BC=20cm ， 过 P 作 PPBC ，交 BC 于 P ，连接 AP ，则 tan= ， 设 BP=x ，则 CP=20 -x， 由 BCM=30 ，得 PP=CPtan30= (20-x)， 在直角 ABP 中， AP= ， tan= ， 令 y= ，则函数在 x 0， 20单调递减， x=0 时
14、，取得最大值为 = . 答案 ： . 三、解答题 18.(14 分 )在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 ab ， c= ， cos2A-cos2B=sinAcosA- sinBcosB. ( )求角 C 的大小； ( )若 sinA= ，求 ABC 的面积 . 解析 ： ( )ABC 中，由条件利用二倍角公式化简可得 -2sin(A+B)sin(A-B)=2 cos(A+B)sin(A-B). 求得 tan(A+B)的值，可得 A+B 的值，从而求得 C 的值 . ( )由 sinA= 求得 cosA 的值 .再由正弦定理求得 a，再求得 sinB=s
15、in(A+B)-A的值，从而求得 ABC 的面积为 的值 . 答案 ： ( )ABC 中， ab ， c= ， cos2A-cos2B= sinAcosA- sinBcosB， - = sin2A- sin2B， 即 cos2A-cos2B= sin2A- sin2B，即 -2sin(A+B)sin(A-B)=2 cos(A+B)sin(A-B). ab ， AB ， sin(A-B)0 ， tan (A+B)=- ， A+B= ， C= . ( )sinA= ， C= ， A ，或 A (舍去 )， cosA= = . 由正弦定理可得， = ，即 = ， a= . sinB=sin (A+B
16、)-A=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA= -(- ) = ， ABC 的面积为 = = . 19.(14 分 )已知数列 an和 bn满足 a1a2a3a n= (n N*).若 an为等比数列，且a1=2， b3=6+b2. ( )求 an和 bn； ( )设 cn= (n N*).记数列 cn的前 n 项和为 Sn. (i)求 Sn； (ii)求正整数 k，使得对任意 n N*均有 SkS n. 解析 ： ( )先利用前 n 项积与前 (n-1)项积的关系，得到等比数列 an的第三项的值，结合首项的值，求出通项 an，然后现利用条件求出通项 bn； ( )(i)利用数列
17、特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论； (ii)本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明 . 答案 ： ( )a 1a2a3a n= (n N*) ， 当 n2 ， n N*时， ， 由 知： ， 令 n=3，则有 . b 3=6+b2， a 3=8. a n为等比数列，且 a1=2， a n的公比为 q，则 =4， 由题意知 an 0， q 0， q=2 . (n N*). 又由 a1a2a3a n= (n N*)得： ， ， b n=n(n+1)(n N*). ( )(i)c n= = = . S n=c1+c2+c3+ cn = = = =
18、； (ii)因为 c1=0， c2 0， c3 0， c4 0； 当 n5 时， ， 而 = 0， 得 ，所以，当 n5 时， cn 0， 综上，对任意 n N*恒有 S4S n，故 k=4. 20.(15 分 )如图，在四棱锥 A-BCDE 中，平面 ABC 平面 BCDE， CDE=BED=90 ， AB=CD=2，DE=BE=1， AC= . ( )证明： DE 平面 ACD； ( )求二面角 B-AD-E 的大小 . 解析 ： ( )依题意，易证 AC 平面 BCDE，于是可得 ACDE ，又 DEDC ，从而 DE 平面 ACD； ( )作 BFAD ，与 AD交于点 F，过点 F作
19、 FGDE ，与 AB交于点 G，连接 BG，由 ( )知 DEAD ，则 FGAD ，所以 BFG 就是二面角 B-AD-E 的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF= ， AF= AD，从而 GF= ， cosBFG= = ，从而可求得答案 . 答案 ： ( )在直角梯形 BCDE 中，由 DE=BE=1， CD=2，得 BD=BC= ， 由 AC= ， AB=2 得 AB2=AC2+BC2，即 ACBC ， 又平面 ABC 平面 BCDE，从而 AC 平面 BCDE， 所以 ACDE ，又 DEDC ，从而 DE 平面 ACD； 作 BFAD ，与 AD 交于点 F，过点 F 作
20、FGDE ，与 AB 交于点 G，连接 BG， 由 ( )知 DEAD ，则 FGAD ，所以 BFG 就是二面角 B-AD-E 的平面角，在直角梯形 BCDE中，由 CD2=BC2+BD2，得 BDBC ， 又平面 ABC 平面 BCDE，得 BD 平面 ABC，从而 BDAB ， 由于 AC 平面 BCDE，得 ACCD . 在 RtACD 中，由 DC=2， AC= ，得 AD= ； 在 RtAED 中，由 ED=1， AD= 得 AE= ； 在 RtABD 中，由 BD= ， AB=2， AD= 得 BF= ， AF= AD，从而 GF= ， 在 ABE ， ABG 中，利用余弦定理分
21、别可得 cosBAE= ， BC= . 在 BFG 中， cosBFG= = ， 所以， BFG= ，二面角 B-AD-E 的大小为 . 21.(15 分 )如图，设椭圆 C： (a b 0)，动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P，且点 P 在第一象限 . ( )已知直线 l 的斜率为 k，用 a， b， k 表示点 P 的坐标； ( )若过原点 O 的直线 l1与 l 垂直，证明：点 P到直线 l1的距离的最大值为 a-b. 解析 ： ( )设直线 l 的方程为 y=kx+m(k 0)，由 ，消去 y 得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0，利用 =0 ，可求得
22、在第一象限中点 P的坐标； ( )由于直线 l1过原点 O 且与直线 l 垂直，设直线 l1的方程为 x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点 P 到直线 l1的距离 d= ，整理即可证得点 P到直线 l1的距离的最大值为 a-b. 答案 ： ( )设直线 l 的方程为 y=kx+m(k 0)，由 ，消去 y 得 (b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0. 由于直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P，故 =0 ，即 b2-m2+a2k2=0，解得点 P 的坐标为 (- ， )， 又点 P 在第一象限，故点 P 的坐标为 P( ， ). ( )由于直线 l1过原点
23、O 且与直线 l 垂直，故直线 l1的方程为 x+ky=0，所以点 P 到直线 l1的距离 d= ，整理得： d= ， 因为 a2k2+ 2ab ，所以 =a-b，当且仅当 k2= 时等号成立 .所以，点 P 到直线 l1的距离的最大值为 a-b. 22.(14 分 )已知函数 f(x)=x3+3|x-a|(a R). ( )若 f(x)在 -1， 1上的最大值和最小值分别记为 M(a)， m(a)，求 M(a)-m(a)； ( )设 b R，若 f(x)+b24 对 x -1， 1恒成立，求 3a+b 的取值范围 . 解析 ： ( )利用分段函数，结合 -1， 1，分类讨论，即可求 M(a)
24、-m(a)； ( )令 h(x)=f(x)+b，则 h(x)= ， h (x)= ，则f(x)+b24 对 x -1， 1恒成立，转化为 -2h (x)2 对 x -1， 1恒成立，分类讨论，即可求 3a+b 的取值范围 . 答案 ： ( )f (x)=x3+3|x-a|= ， f (x)= ， a -1 时， -1x1 ， xa ， f(x)在 (-1， 1)上是增函数， M (a)=f(1)=4-3a， m(a)=f(-1)=-4-3a， M (a)-m(a)=8； -1 a 1 时， x (a， 1)， f(x)=x3+3x-3a，在 (a， 1)上是增函数； x (-1， a)， f(
25、x)=x3-3x-3a，在 (-1， a)上是减函数， M (a)=maxf(1)， f(-1)， m(a)=f(a)=a3， f (1)-f(-1)=-6a+2， -1 a 时， M(a)-m(a)=-a3-3a+4； a 1 时， M(a)-m(a)=-a3+3a+2； a1 时，有 xa ， f(x)在 (-1， 1)上是减函数， M (a)=f(-1)=2+3a， m(a)=f(1)=-2+3a， M (a)-m(a)=4； ( )令 h(x)=f(x)+b，则 h(x)= ， h (x)= ， f (x)+b24 对 x -1， 1恒成立， -2h (x)2 对 x -1， 1恒成立
26、， 由 ( )知， a -1 时， h(x)在 (-1， 1)上是增函数，最大值 h(1)=4-3a+b，最小值 h(-1)=-4-3a+b，则-4-3a+b -2 且 4-3a+b2 矛盾； -1 a 时，最小值 h(a)=a3+b，最大值 h(1)=4-3a+b， a 3+b -2 且 4-3a+b2 ， 令 t(a)=-2-a3+3a，则 t (a)=3-3a2 0， t(a)在 (0， )上是增函数， t (a) t(0)=-2， -23a+b0 ； a 1 时，最小值 h(a)=a3+b，最大值 h(-1)=3a+b+2， 则 a3+b -2 且 3a+b+22 ， - 3a+b0 ； a1 时，最大值 h(-1)=3a+b+2，最小值 h(1)=3a+b-2， 则 3a+b-2 -2 且 3a+b+22 ， 3a+b=0 . 综上， 3a+b 的取值范围是 -23a+b0 .
