1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知全集 U=R， A=x|x0 ， B=x|x1 ，则集合 U(AB )=( ) A. x|x0 B. x|x1 C. x|0x1 D. x|0 x 1 解析： AB=x|x1 或 x0 ， C U(AB )=x|0 x 1， 答案： D. 2.设复数 z 满足 (z-2i)(2-i)=5，则 z=( ) A. 2+3i B. 2-3i C. 3+2i D. 3-2i 解析： 由 (z-2i)(2-i)=5，得： ， z=2+
2、3i . 答案： A. 3.已知 a= ， b=log2 ， c=log ，则 ( ) A. a b c B. a c b C. c a b D. c b a 解析： 0 a= 20=1， b=log2 log21=0， c=log =log23 log22=1， c a b. 答案： C. 4.已知 m， n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是 ( ) A. 若 m ， n ，则 mn B. 若 m ， n ，则 mn C. 若 m ， mn ，则 n D. 若 m ， mn ，则 n 解析： A.若 m ， n ，则 m， n 相交或平行或异面，故 A 错； B.若 m ， n
3、 ，则 mn ，故 B 正确； C.若 m ， mn ，则 n 或 n ，故 C 错； D.若 m ， mn ，则 n 或 n 或 n ，故 D错 . 答案： B. 5.设 ， ， 是非零向量，已知命题 p：若 =0， =0，则 =0；命题 q：若 ， ，则 ，则下列命题中真命题是 ( ) A. pq B. p q C. ( p) ( q) D. p ( q) 解析： 若 =0， =0，则 = ，即 ( - ) =0，则 =0 不一定成立，故命题 p 为假命题， 若 ， ，则 平行，故命题 q 为真命题， 则 pq ，为真命题， p q， ( p) ( q)， p ( q)都为假命题， 答案：
4、 A. 6. 6 把椅子排成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ( ) A. 144 B. 120 C. 72 D. 24 解析： 3 人全排，有 =6 种方法，形成 4 个空，在前 3 个或后 3 个或中间两个空中插入椅子，有 4 种方法，根据乘法原理可得所求坐法种数为 64=24 种 . 答案： D. 7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 8-2 B. 8- C. 8- D. 8- 解析： 由三视图知：几何体是正方体切去两个 圆柱， 正方体的棱长为 2，切去的圆柱的底面半径为 1，高为 2， 几何体的体积 V=23-2 1 22=8 - . 答案：
5、B. 8.设等差数列 an的公差为 d，若数列 为递减数列，则 ( ) A. d 0 B. d 0 C. a1d 0 D. a1d 0 解析： 等差数列 an的公差为 d， a n+1-an=d， 又数列 2 为递减数列， = 1， a 1d 0. 答案： C. 9.将函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 ( ) A. 在区间 ， 上单调递减 B. 在区间 ， 上单调递增 C. 在区间 - ， 上单调递减 D. 在区间 - ， 上单调递增 解析： 把函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度， 得到的图象所对应的函数解析式为： y=3sin
6、2(x- )+ .即 y=3sin(2x- ). 由 ，得 . 取 k=0，得 . 所得图象对应的函数在区间 ， 上单调递增 . 答案： B. 10.已知点 A(-2， 3)在抛物线 C： y2=2px 的准线上，过点 A 的直线与 C在第一象限相切于点B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为 ( ) A. B. C. D. 解析： 点 A(-2， 3)在抛物线 C： y2=2px 的准线上， 即准线方程为： x=-2， p 0， =-2 即 p=4， 抛物线 C： y2=8x，在第一象限的方程为 y=2 ， 设切点 B(m， n)，则 n=2 ，又导数 y=2 ，则在切点处的斜率为
7、， 即 m =2 m ，解得 =2 ( 舍去 )， 切点 B(8， 8)，又 F(2， 0)， 直线 BF 的斜率为 ， 答案： D. 11.当 x -2， 1时，不等式 ax3-x2+4x+30 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. -5， -3 B. -6， - C. -6， -2 D. -4， -3 解析： 当 x=0 时，不等式 ax3-x2+4x+30 对任意 a R恒成立； 当 0 x1 时， ax3-x2+4x+30 可化为 a ， 令 f(x)= ，则 f (x)= =- (*)， 当 0 x1 时， f (x) 0， f(x)在 (0， 1上单调递增， f(x)ma
8、x=f(1)=-6， a -6； 当 -2x 0 时， ax3-x2+4x+30 可化为 a ， 由 (*)式可知，当 -2x -1 时， f (x) 0， f(x)单调递减，当 -1 x 0 时， f (x) 0，f(x)单调递增， f(x)min=f(-1)=-2， a -2； 综上所述，实数 a 的取值范围是 -6a -2，即实数 a 的取值范围是 -6， -2. 答案： C. 12.已知定义在 0， 1上的函数 f(x)满足： f (0)=f(1)=0； 对所有 x， y 0， 1，且 xy ，有 |f(x)-f(y)| |x-y|. 若对所有 x， y 0， 1， |f(x)-f(y
9、)| k 恒成立，则 k 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 解析： 依题意，定义在 0， 1上的函数 y=f(x)的斜率 |k| ， 不妨令 k 0，构造函数 f(x)= (0 k )，满足 f(0)=f(1)=0， |f(x)-f(y)|x-y|. 当 x 0， ，且 y 0， 时， |f(x)-f(y)|=|kx-ky|=k|x-y|k| -0|=k ； 当 x 0， ，且 y ， 1， |f(x)-f(y)|=|kx-(k-ky)|=|k(x+y)-k|k (1+ )-k|= ； 当 y 0， ，且 y ， 1时，同理可得， |f(x)-f(y)| ； 当 x ， 1，且 y
10、， 1时， |f(x)-f(y)|=|(k-kx)-(k-ky)|=k|x-y|k (1- )= ； 综上所述，对所有 x， y 0， 1， |f(x)-f(y)| ， 对所有 x， y 0， 1， |f(x)-f(y)| k 恒成立， k ，即 k 的最小值为 . 答案： B. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分。考生根据要求作答 . 13.执行如图的程序框图，若输入 x=9，则输出 y= . 解析： 由程序框图知：第一次循环 x=9， y= +2=5， |5-9|=4 1； 第二次循环 x=5， y= +2= ， | -5|= 1； 第三次循环 x= ， y= +2.| +2-
11、|= 1， 满足条件 |y-x| 1，跳出循环，输出 y= . 答案： . 14.正方形的四个顶点 A(-1， -1)， B(1， -1)， C(1， 1)， D(-1， 1)分别在抛物线 y=-x2和 y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 . 解析： A (-1， -1)， B(1， -1)， C(1， 1)， D(-1， 1)， 正方体的 ABCD 的面积 S=22=4 ， 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积 S=2 =2=2(1- )-(-1+ )=2 = ， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概
12、率是 . 答案： . 15.已知椭圆 C： + =1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A、B，线段 MN 的中点在 C 上，则 |AN|+|BN|= . 解析： 如图： MN 的中点为 Q，易得 ， ， Q 在椭圆 C 上， |QF 1|+|QF2|=2a=6， |AN|+|BN|=12 . 答案： 12. 16.对于 c 0，当非零实数 a， b 满足 4a2-2ab+4b2-c=0 且使 |2a+b|最大时， - + 的最小值为 . 解析： 4a 2-2ab+4b2-c=0， = 由柯西不等式得， =|2a+b|2 故当 |2a+b|最大时，有 ， -
13、 + = = = ， 当 b= 时，取得最小值为 -2. 答案： -2 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.(12 分 )在 ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c，且 a c，已知 ， cosB=， b=3，求： ( )a 和 c 的值； ( )cos(B-C)的值 . 解析： ( )利用平面向量的数量积运算法则化简 ，将 cosB 的值代入求出 ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将 b， cosB 以及 ac 的值代入得到 a2+c2=13，联立即可求出 ac的值； ( )由 cosB 的值，利用同角三角函数间基本关系求出 sinB 的值
14、，由 c， b， sinB，利用正弦定理求出 sinC 的值，进而求出 cosC 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值 . 答案 ： ( ) ， cosB= ， c acosB=2，即 ac=6 ， b=3 ， 由余弦定理得： b2=a2+c2-2accosB，即 9=a2+c2-4， a 2+c2=13 ， 联立 得： a=3， c=2； ( )在 ABC 中， sinB= = = ， 由正弦定理 = 得： sinC= sinB= = ， a=b c， C 为锐角， cosC= = = ， 则 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC= +
15、= . 18.(12 分 )一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示 .将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 . ( )求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于50 个的概率； ( )用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X的分布列，期望E(X)及方差 D(X). 解析： ( )由频率分布直方图求出事件 A1， A2的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件 “ 在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1天的日销
16、售量低于50 个 ” 的概率； ( )写出 X 可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出 X 取每一个值的概率；列出分布列 .根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望 E(X)及方差 D(X). 答案 ： ( )设 A1表示事件 “ 日销售量不低于 100 个 ” ， A2表示事件 “ 日销售量低于 50个 ” B 表示事件 “ 在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的 日销售量低于 50 个 ” ， 因此 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6 ， P(A2)=0.00350=0.15 ， P(B)=0.60.60.1
17、52=0.108 ， ( )X 可能取的值为 0， 1， 2， 3，相应的概率为： ， ， ， 随机变量 X 的分布列为 因为 X B(3， 0.6)，所以期望 E(X)=30.6=1.8 ， 方差 D(X)=30.6 (1-0.6)=0.72. 19.(12 分 )如图， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且 AB=BC=BD=2.ABC=DBC=120 ， E、F 分别为 AC、 DC 的中点 . ( )求证： EFBC ； ( )求二面角 E-BF-C 的正弦值 . 解析： ( )以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC的直线为 x轴， BC 所在直线为 y轴，在平
18、面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，得到 E、 F、B、 C 点的坐标，易求得此 =0，所以 EFBC ； ( )设平面 BFC 的一个法向量 =(0， 0， 1)，平面 BEF 的法向量 =(x， y， z)，依题意，可求得一个 =(1， - ， 1)，设二面角 E-BF-C 的大小为 ，可求得 sin 的值 . 答案 ： ( )证 由题意，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴， BC 所在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得 B(0，
19、0， 0)， A(0， -1， )， D( ， -1， 0)， C(0， 2， 0)，因而 E(0， ， )，F( ， ， 0)，所以 =( ， 0， - )， =(0， 2， 0)，因此 =0，所以 EFBC . ( )在图中，设平面 BFC 的一个法向量 =(0， 0， 1)，平面 BEF 的法向量 =(x， y， z)，又 =( ， ， 0)， =(0， ， )， 由 得其中一个 =(1， - ， 1)， 设二面角 E-BF-C 的大小为 ，由题意知 为锐角，则 cos=|cos ， |=| |= ， 因此 sin= = ，即所求二面角正弦值为 . 20.(12 分 )圆 x2+y2=4
20、 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P(如图 )，双曲线 C1： - =1 过点 P 且离心率为 . ( )求 C1的方程； ( )若椭圆 C2过点 P 且与 C1有相同的焦点，直线 l过 C2的右焦点且与 C2交于 A， B两点，若以线段 AB 为直径的圆过点 P，求 l 的方程 . 解析： ( )设切点 P(x0， y0)， (x0 0， y0 0)，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点 P 的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出； ( )由 ( )可得椭圆 C
21、2的焦点 .可设椭圆 C2的方程为 (b1 0).把 P的坐标代入即可得出方程 .由题意可设直线 l 的方程为 x=my+ ， A(x1， y1)， B(x2， y2)，与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出 . 答案 ： ( )设切点 P(x0， y0)， (x0 0， y0 0)，则切线的斜率为 ， 可得切线的方程为 ，化为 x0x+y0y=4. 令 x=0，可得 ；令 y=0，可得 . 切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形的面积 S= = . 4= ，当且仅当 时取等号 . .此时 P . 由题意可得 ， ，解得 a2=1， b2=2.
22、 故双曲线 C1的方程为 . ( )由 ( )可知双曲线 C1的焦点 ( ， 0)，即为椭圆 C2的焦点 . 可设椭圆 C2的方程为 (b1 0). 把 P 代入可得 ，解得 =3，因此椭圆 C2的方程为 . 由题意可设直线 l 的方程为 x=my+ ， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联立 ，化为 ， ， .x 1+x2= = ， x1x2= = . ， ， ， ， + ， ，解得 m= 或 m= ， 因此直线 l 的方程为： 或 . 21.(12 分 )已知函数 f(x)=(cosx-x)(+2x )- (sinx+1)，g(x)=3(x- )cosx-4(1+sinx)ln(
23、3- )， 证明： ( )存在唯一 x0 (0， )，使 f(x0)=0； ( )存在唯一 x1 ( ， )，使 g(x1)=0，且对 ( )中的 x0，有 x0+x1 . 解析： ( )由 x (0， )时， f (x) 0，得出 f(x)在 (0， )上为减函数，且 f(0) 0，f( ) 0，即可得出结论； ( )由函数 h(x)= -4ln(3- x)， x ， ，令 t= -x， t 0， ，得 u(t)=h( -t)，求出 u(t)存在唯一的零点 t1 (0， )，即证 g(x)存在唯一的零点 x1 ( ， )，且满足 x0+x1 . 答案 ： ( ) 当 x (0， )时， f
24、(x)=-(1+sinx)(+2x )-2x- cosx 0， 函数 f(x)在 (0， )上为减函数， 又 f(0)= - 0， f( )=- 2- 0； 存在唯一的 x0 (0， )，使 f(x0)=0； ( )考虑函数 h(x)= -4ln(3- x)， x ， ， 令 t= -x，则 x ， 时， t 0， ， 记 u(t)=h( -t)= -4ln(1+ t)，则 u (t)= ， 由 ( )得，当 t (0， x0)时， u (t) 0； 在 (0， x0)上 u(x)是增函数，又 u(0)=0， 当 t (， x0时， u(t) 0， u (t)在 (0， x0上无零点； 在 (
25、x0， )上 u(t)是减函数，由 u(x0) 0， u( )=-4ln2 0， 存在唯一的 t1 (x0， )，使 u(t1)=0； 存在唯一的 t1 (0， )，使 u(t1)=0； 存在唯一的 x1= -t1 ( ， )，使 h(x1)=h( -t1)=u(t1)=0； 当 x ( ， )时， 1+sinx 0， g (x)=(1+sinx)h(x)与 h(x)有相同的零点， 存在唯一的 x1 ( ， )，使 g(x1)=0， x 1= -t1， t1 x0， x 0+x1 . 四、请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B铅笔在
26、答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑 . 选修 4-1：几何证明选讲 . 22.(10 分 )如图， EP 交圆于 E， C 两点， PD 切圆于 D， G为 CE 上一点且 PG=PD，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F. ( )求证： AB 为圆的直径； ( )若 AC=BD，求证： AB=ED. 解析： ( )证明 AB 为圆的直径，只需证明 BDA=90 ； ( )证明 RtBDARtACB ，再证明 DCE 为直角，即可证明 AB=ED. 答案 ： ( )PG=PD ， PDG=PGD ， PD 为切线， PDA=DBA ， PGD=EGA ， D
27、BA=EGA ， DBA+BAD=EGA+BDA ， NDA=PFA ， AFEP ， PFA=90 .BDA=90 ， AB 为圆的直径； ( )连接 BC， DC，则 AB 为圆的直径， BDA=ACB=90 ， 在 RtBDA 与 RtACB 中， AB=BA， AC=BD， RtBDARtACB ， DAB=CBA ， DCB=DAB ， DCB=CBA ， DCAB ， ABEP ， DCEP ， DCE 为直角， ED 为圆的直径， AB 为圆的直径， AB=ED . 选修 4-4：坐标系与参数方程 23.将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得
28、曲线 C. ( )写出 C 的参数方程； ( )设直线 l： 2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1， P2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 . 解析： ( )在曲线 C 上任意取一点 (x， y)，再根据点 (x， )在圆 x2+y2=1 上，求出 C 的方程，化为参数方程 . ( )解方程组求得 P1、 P2的坐标，可得线段 P1P2的中点坐标 .再根据与 l 垂直的直线的斜率为 ，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据 x=cos 、 y=sin 可得所求的直线的极坐标方程 . 答案 ： ( )在曲线 C 上任
29、意取一点 (x， y)，由题意可得点 (x， )在圆 x2+y2=1 上， x 2+ =1，即曲线 C 的方程为 x2+ =1，化为参数方程为 (0 2 ， 为参数 ). ( )由 ，可得 ， ，不妨设 P1(1， 0)、 P2(0， 2)， 则线段 P1P2的中点坐标为 ( ， 1)， 再根据与 l 垂直的直线的斜率为 ，故所求的直线的方程为 y-1= (x- )，即 x-2y+ =0. 再根据 x=cos 、 y=sin 可得所求的直线的极坐标方程为 cos -2sin+ =0， 即 = . 不等式选讲 24.设函数 f(x)=2|x-1|+x-1， g(x)=16x2-8x+1.记 f(
30、x)1 的解集为 M， g(x)4 的解集为N. ( )求 M； ( )当 x MN 时，证明： x2f(x)+xf(x)2 . 解析： ( )由所给的不等式可得 ，或 ，分别求得 、 的解集，再取并集，即得所求 . ( )由 g(x)4 ，求得 N，可得 MN=0 ， .当 x MN 时， f(x)=1-x，不等式的左边化为 - ，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证 . 答案 ： ( )由 f(x)=2|x-1|+x-11 可得 ，或 . 解 求得 1x ，解 求得 0x 1. 综上，原不等式的解集为 0， . ( )由 g(x)=16x2-8x+14 ，求得 - x ， N= - ， ， MN=0 ， . 当 x MN 时， f(x)=1-x， x2f(x)+xf(x)2 =xf(x)x+f(x)= - ， 故要证的不等式成立 .
