1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学文 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.实部为 -2，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面内的 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 实部为 -2，虚部为 1 的复数所对应的点的坐标为 (-2， 1)，位于第二象限， 答案： B. 2.在等差数列 an中， a1=2， a3+a5=10，则 a7=( ) A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 解析： 等差数列 an中， a1=2， a3+a5=102+
2、2d+2+4d=10 ，解得 d=1， a 7=2+61=8 . 答案： B. 3.某中学有高中生 3500 人，初中生 1500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则 n 为 ( ) A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 解析： 分层抽样的抽取比例为 = ， 总体个数为 3500+1500=5000， 样本容量 n=5000 =100. 答案： A. 4.下列函数为偶函数的是 ( ) A. f(x)=x-1 B. f(x)=x2+x C. f(x)=2x-2-x D. f(x)=2x+2-x 解析
3、： 根据题意，依次分析选项： A、 f(x)=x-1，其定义域为 R， f(-x)=-x-1， f(-x)f (x)，不是偶函数，不符合题意； B、 f(x)=x2+x，其定义域为 R， f(-x)=x2-x， f(-x)f (x)，不是偶函数，不符合题意； C、 f(x)=2x-2-x，其定义域为 R， f(-x)=2-x-2x， f(-x)=-f(x)，是奇函数不是偶函数，不符合题意； D、 f(x)=2x+2-x，其定义域为 R， f(-x)=2-x+2x， f(-x)=f(x)，是偶函数，符合题意； 答案： D. 5.执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为 ( ) A. 10 B.
4、 17 C. 19 D. 36 解析： 由程序框图知：第一次循环 S=2， k=22 -1=3； 第二次循环 S=2+3=5， k=23 -1=5； 第三次循环 S=5+5=10， k=25 -1=9； 第四次循环 S=10+9=19， k=29 -1=17， 不满足条件 k 10，跳出循环体，输出 S=19. 答案： C. 6.已知命题： p：对任意 x R，总有 |x|0 ， q： x=1 是方程 x+2=0 的根；则下列命题为真命题的是 ( ) A. p q B. p q C. p q D. p q 解析： 根据绝对值的性质可知，对任意 x R，总有 |x|0 成立，即 p 为真命题，
5、当 x=1 时， x+2=30 ，即 x=1 不是方程 x+2=0 的根，即 q为假命题， 则 p q，为真命题， 答案： A. 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 解析： 由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图： 三棱柱的高为 5，消去的三棱锥的高为 3， 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的等腰直角三角形， 几何体的体积 V= 345 - 343=30 -6=24. 答案： C. 8.设 F1， F2分别为双曲线 - =1(a 0， b 0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得(|PF1
6、|-|PF2|)2=b2-3ab，则该双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. 4 D. 解析： (|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab， 由双曲线的定义可得 (2a)2=b2-3ab， 4a 2+3ab-b2=0， a= ， c= = b， e= = . 答案： D. 9.若 log4(3a+4b)=log2 ，则 a+b 的最小值是 ( ) A. 6+2 B. 7+2 C. 6+4 D. 7+4 解析： 3a+4b 0， ab 0， a 0.b 0 log 4(3a+4b)=log2 ， log 4(3a+4b)=log4(ab) 3a+4b=ab ， a4 ， a 0.b 0 0，
7、 a 4， 则 a+b=a+ =(a-4)=a+ =(a-4)+ +7 +7=4+7，当且仅当 a=4+2 取等号 . 答案： D. 10.已知函数 f(x)= ，且 g(x)=f(x)-mx-m 在 (-1， 1内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 ( ) A. (- ， -2 (0， B. (- ， -2 (0， C. (- ， -2 (0， D. (- ， -2 (0， 解析： 由 g(x)=f(x)-mx-m=0，即 f(x)=m(x+1)， 分别作出函数 f(x)和 y=g(x)=m(x+1)的图象如图： 由图象可知 f(1)=1， g(x)表示过定点 A(-1， 0)
8、的直线， 当 g(x)过 (1， 1)时， m 此时两个函数有两个交点， 此时满足条件的 m 的取值范围是 0 m ， 当 g(x)过 (0， -2)时， g(0)=-2，解得 m=-2，此时两个函数有两个交点， 当 g(x)与 f(x)相切时，两个函数只有一个交点， 此时 ，即 m(x+1)2+3(x+1)-1=0， 当 m=0 时， x= ，只有 1 解， 当 m0 ，由 =9+4m=0 得 m=- ，此时直线和 f(x)相切， 要使函数有两个零点， 则 - m -2 或 0 m ， 答案： A 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，把答案填写在答题卡相应的位置上 . 11.已知集
9、合 A=3， 4， 5， 12， 13， B=2， 3， 5， 8， 13，则 AB= . 解析： 根据题意，集合 A=3， 4， 5， 12， 13， B=2， 3， 5， 8， 13， A、 B 公共元素为 3、 5、 11， 则 AB=3 ， 5， 13， 答案 ： 3， 5， 13. 12.已知向量 与 的夹角为 60 ，且 =(-2， -6)， | |= ，则 = . 解析： =(-2， -6)， =2 =10. 答案 ： 10. 13.将函数 f(x)=sin(x+ )( 0， - )图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到 y=sinx 的图象
10、，则 f( )= . 解析： 函数 f(x)=sin(x+ )( 0， - )图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数 y=sin(2x+ )的图象 . 再把所得图象再向右平移 个单位长度得到函数 y=sin2 (x- )+ )=sin(2x+ - )=sinx 的图象， 2=1 ，且 - =2k ， k z， = ， = ， f (x)=sin( x+ )， f ( )=sin( + )=sin = . 答案 ： . 14.已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相交于 A、 B 两点，且 ACBC ，则实数 a 的值为 . 解析： 圆
11、的标准方程为 (x+1)2+(y-2)2=9，圆心 C(-1， 2)，半径 r=3， ACBC ， 圆心 C 到直线 AB 的距离 d= ， 即 d= = ，即 |a-3|=3，解得 a=0 或 a=6， 答案 ： 0 或 6. 15.某校早上 8： 00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7： 30 7： 50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 (用数字作答 ). 解析： 设小张到校的时间为 x，小王到校的时间为 y.(x， y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为 = (x， y|7 x7 ， 7 y7 是一个矩形
12、区域，对应的面积S= ， 则小张比小王至少早 5 分钟到校事件 A=x|y-x 作出符合题意的图象， A(7 ， 7 )，当 x=7 时， y=7 + =7 ，则 AB=7 -7 = ， 则三角形 ABC 的面积 S= ， 由几何概率模型可知小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 = ， 答案 ： . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16.(13 分 )已知 an是首项为 1，公差为 2 的等差数列， Sn表示 an的前 n项和 . ( )求 an及 Sn； ( )设 bn是首项为 2 的等比数列，公比为 q 满足 q2-(a4+1)
13、q+S4=0.求 bn的通项公式及其前 n 项和 Tn. 解析： ( )直接由等差数列的通项公式及前 n 项和公式得答案； ( )求出 a4和 S4，代入 q2-(a4+1)q+S4=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前 n 项和公式得答案 . 答案 ： ( )a n是首项为 1，公差为 2 的等差数列， a n=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1. ； ( )由 ( )得， a4=7， S4=16. q 2-(a4+1)q+S4=0，即 q2-8q+16=0， (q-4)2=0，即 q=4. 又 b n是首项为 2 的等比数列， . . 17.(13 分 ) 2
14、0 名学生某次数学考试成绩 （ 单位：分 ） 的频率分布直方图如图： ( )求频率分布直方图中 a 的值； ( )分别求出成绩落在 50， 60)与 60， 70)中的学生人数； ( )从成绩在 50， 70)的学生任选 2 人，求此 2 人的成绩都在 60， 70)中的概率 . 解析： ( )根据频率分布直方图求出 a 的值； ( )由图可知，成绩在 50， 60)和 60， 70)的频率分别为 0.1 和 0.15，用样本容量 20 乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求 . ( )分别列出满足 50， 70)的基本事件，再找到在 60， 70)的事件个数，根据古典概率公式计算
15、即可 . 答案 ： ( )根据直方图知组距 =10，由 (2a+3a+6a+7a+2a)10=1 ，解得 a=0.005. ( )成绩落在 50， 60)中的学生人数为 20.0051020=2 ， 成绩落在 60， 70)中的学生人数为 30.0051020=3 . ( )记成绩落在 50， 60)中的 2 人为 A， B，成绩落在 60， 70)中的 3 人为 C， D， E，则成绩在 50， 70)的学生任选 2 人的基本事件有 AB， AC， AD， AE， BC， BD， BE， CD， CE， DE 共 10个，其中 2 人的成绩都在 60， 70)中的基本事件有 CD， CE，
16、DE 共 3 个， 故所求概率为 P= . 18.(13 分 )在 ABC 中，内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c，且 a+b+c=8. ( )若 a=2， b= ，求 cosC 的值； ( )若 sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，且 ABC 的面积 S= sinC，求 a 和 b的值 . 解析： ( )由 a+b+c=8，根据 a=2， b= 求出 c 的长，利用余弦定理表示出 cosC，将三边长代入求出 cosC 的值即可； ( )已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到 a+b=3c
17、，与 a+b+c=8 联立求出 a+b 的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入 S= sinC 求出 ab 的值，联立即可求出 a 与 b的值 . 答案 ： ( )a=2 ， b= ，且 a+b+c=8， c=8 -(a+b)= ， 由余弦定理得： cosC= = =- ； ( )由 sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC 可得： sinA +sinB =2sinC， 整理得： sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC， sinAcosB+cosAsinB=sin (A+B)=sinC， sinA+sinB=3sinC ， 利用正弦定理化简得： a+b
18、=3c， a+b+c=8 ， a+b=6 ， S= absinC= sinC， ab=9 ， 联立 解得： a=b=3. 19.(12 分 )已知函数 f(x)= + -lnx- ，其中 a R，且曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于直线 y= x. ( )求 a 的值； ( )求函数 f(x)的单调区间与极值 . 解析： ( )由曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于直线 y= x 可得 f (1)=-2，可求出 a 的值； ( )根据 (I)可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数 f(x)的单调区间与极值 . 答案 ： ( )f
19、(x)= + -lnx- ， f (x)= - - ， 曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于直线 y= x.f (1)= -a-1=-2，解得： a= ， ( )由 ( )知： f(x)= + -lnx- ， f (x)= - - = (x 0)， 令 f (x)=0，解得 x=5，或 x=-1（ 舍 ） ， 当 x (0， 5)时， f (x) 0，当 x (5， + )时， f (x) 0， 故函数 f(x)的单调递增区间为 (5， + )；单调递减区间为 (0， 5)； 当 x=5 时，函数取极小值 -ln5. 20.(12 分 )如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面是
20、以 O 为中心的菱形， PO 底面 ABCD， AB=2， BAD=， M 为 BC 上一点，且 BM= . ( )证明： BC 平面 POM； ( )若 MPAP ，求四棱锥 P-ABMO 的体积 . 解析： ( )连接 OB，根据底面是以 O 为中心的菱形， PO 底面 ABCD， AB=2， BAD= ， M为 BC 上一点，且 BM= ，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得 OMBC 及 POBC ，进而由线面垂直的判定定理得到 BC 平面 POM； ( )设 PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出 PO的值，及四棱锥 P-ABMO的底面积 S，代入棱锥体积公式，可得答案 .
21、 答案 ： ( ) 底面是以 O 为中心的菱形， PO 底面 ABCD， 故 O 为底面 ABCD 的中心，连接 OB，则 AOOB ， AB=2 ， BAD= ， OB=AB sinBAO=2sin ( )=1， 又 BM= ， OBM= ， 在 OBM 中， OM2=OB2+BM2-2OB BM cosOBM= ， 即 OB2=OM2+BM2，即 OMBM ， OMBC ， 又 PO 底面 ABCD， BC 底面 ABCD， POBC ， 又 OMPO=O ， OM， PO平面 POM， BC 平面 POM. ( )由 ( )可得： OA=AB cosBAO=2cos ( )= ， 设 P
22、O=a，由 PO 底面 ABCD 可得： POA 为直角三角形，故 PA2=PO2+OA2=a2+3， 由 POM 也为直角三角形得： PM2=PO2+OM2=a2+ ，连接 AM， 在 ABM 中， AM2=AB2+BM2-2ABBMcosABM= = ， 由 MPAP 可知： APM 为直角三角形， 则 AM2=PA2+PM2，即 a2+3+a2+ = ，解得 a= ，即 PO= ， 此时四棱锥 P-ABMO 的底面积 S=SAOB +SBOM = AO OB+ BM OM= ， 四棱锥 P-ABMO 的体积 V= S PO= . 21.(12 分 )如图，设椭圆 + =1(a b 0)的
23、左右焦点分别为 F1， F2，点 D 在椭圆上，DF1F 1F2， =2 ， DF 1F2的面积为 . ( )求该椭圆的标准方程； ( )是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由 . 解析： ( )设 F1(-c， 0)， F2(c， 0)，依题意，可求得 c=1，易求得 |DF1|= = ， |DF2|=，从而可得 2a=2 ，于是可求得椭圆的标准方程； ( )设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交， P1(x1， y1)， P2(x2， y2)是两个交
24、点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知 x2=-x1， y1=y2， |P1P2|=2|x1|，由 F1P1F 2P2，得 x1=- 或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程 . 答案 ： ( )设 F1(-c， 0)， F2(c， 0)，其中 c2=a2-b2， 由 =2 ，得 |DF1|= = c， 从而 = |DF1|F1F2|= c2= ，故 c=1. 从而 |DF1|= ，由 DF1F 1F2，得 = + = ， 因此 |DF2|= ，所以 2a=|DF1|+|DF2|=2 ，故 a= ， b2=a2-c2=1， 因此，所求椭圆的标准方程为 +y2=1； ( )设圆心
25、在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交， P1(x1， y1)， P2(x2， y2)是两个交点， y1 0， y2 0， F1P1， F2P2是圆 C 的切线，且 F1P1F 2P2，由圆和椭圆的对称性，易知 x2=-x1，y1=y2， |P1P2|=2|x1|， 由 ( )知 F1(-1， 0)， F2(1， 0)，所以 =(x1+1， y1)， =(-x1-1， y1)，再由 F1P1F 2P2，得 - + =0， 由椭圆方程得 1- = ，即 3 +4x1=0，解得 x1=- 或 x1=0. 当 x1=0 时， P1， P2重合，此时题设要求的圆不存在； 当 x1=- 时，过 P1， P2，分别与 F1P1， F2P2垂直的直线的交点即为圆心 C，设 C(0， y0) 由 F1P1， F2P2是圆 C 的切线，知 CP1F 1P1，得 =-1，而 |y1|=|x1+1|= ， 故 y0= ， 故圆 C 的半径 |CP1|= = . 综上，存在满足题设条件的圆，其方程为 x2+ = .
