1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 14及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0满足初始条件 Y(0)=1的解，则 （分数：2.00）A.一 ln3B.ln3C.D.3.微分方程 y“一 y一 6y=(x+1)e -2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e -2xB.ax 2 e -2xC.(ax 2 +bx)e -2xD.x 2 (ax+b)e -2x4.微分方程
2、 y“一 4y=x+2的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)5.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.微分方程 xy一 yln(xy)一 1=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.微分方程 y 2 dx+(x 2 一 xy)dy=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设连续函数 f(x)满足 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程(2x+3)y“=4y的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.yy“=1+y 2 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1
3、:_11.微分方程 y“+4y=4x一 8的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“一 6y+9y=e 3x ，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.求微分方程 （分数：2.00）_15.求微分方程 （分数：2.00）_16.求微分方程 x 2 y+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1的特解（分数：2.00）_17.求微分方程 （分数：2.00）_18.
4、求微分方程 （分数：2.00）_19.设 y=ex为微分方程 xy+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0的特解（分数：2.00）_20.(1)设 其中 f(x)二阶可导，求 f(x) (2)设 f(x)在(一 1，+)内连续，且 （分数：2.00）_21.求微分方程 xy“+3y=0 的通解（分数：2.00）_22.设 f(x)二阶可导，且 （分数：2.00）_23.求微分方程 y“+2x(y) 2 =0满足初始条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解（分数：2.00）_24.求微分方程 yy“=y 2 满足初始条件 y(0)=y(0)=1 的特解（分数：2.00）
5、_考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 14答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0满足初始条件 Y(0)=1的解，则 （分数：2.00）A.一 ln3B.ln3C.D. 解析：解析：由 2xydx+(x 2 一 1)dy=0得 积分得 ln(x 2 一 1)+lny=lnC，从而 由 y(0)=1得 C=一 1，于是 故 3.微分方程 y“一 y一 6y=(x+1)e -2x 的特
6、解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e -2xB.ax 2 e -2xC.(ax 2 +bx)e -2x D.x 2 (ax+b)e -2x解析：解析：因为原方程的特征方程的特征值为 1 =一 2， 2 =3，而一 2为其中一个特征值，所以 原方程的特解形式为 x(ax+b)e -2x ，选(C)4.微分方程 y“一 4y=x+2的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：微分方程 y“一 4y=0的特征方程为 2 一 4=0，特征值为一 2，2，则方程 y“一 4y=0的通解为 C 1 e -2x +C 2 e 2x ，显然方程 y“一 4y=x+2有特解 二
7、、填空题(总题数：8，分数：16.00)5.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由*得*则*）解析：6.微分方程 xy一 yln(xy)一 1=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 xy=u，y+xy= 代入原方程得 分离变量得 ）解析：7.微分方程 y 2 dx+(x 2 一 xy)dy=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 则 代入原方程得 两边积分得u一 lnulnxlnC=0，解得 ）解析：8.设连续函数 f(x)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 则
8、可化为 两边求导数得f(x)一 2f(x)=e x ，解得 ）解析：9.微分方程(2x+3)y“=4y的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 y=p，则 两边积分得 lnp=ln(2x+3) 2 +lnC 1 ，或 y=C 1 (2x+3) 2 ， 于是 y= ）解析：10.yy“=1+y 2 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 y=p，则 即 解得 ln(1+p 2 )=lny 2 +lnC 1 ， 则 1+p 2 =C 1 y 2 ，由 y(0)=1，y(0)=0 得 由 y(0)=
9、1得 C 2 =0，所以特解为 ）解析：11.微分方程 y“+4y=4x一 8的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：微分方程两个特征值为 1 =一 2i， 2 =2i， 则微分方程的通解为 y=C 1 COS2x+C 2 sin2x+x一 2）解析：12.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“一 6y+9y=e 3x ，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题意得 y(0)=0，y(0)=2， y“一 6y+9y=e 3x 的特征方程为 2 一 6+9=0，特征值为
10、1 = 2 =3， 令 y“一 6y+9y=e 3x 的特解为 y 0 (x)=ax 2 e 3x ，代入得 故通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 3x + x 2 e 3x 由 y(0)=0，y(0)=2 得 C 1 =0，C 2 =2，则 y(x)=2xe 3x + ）解析：三、解答题(总题数：12，分数：24.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 令 u=siny，则 令 u -1 =z，则 解得 则 )解析：15.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方
11、法一 由 得 令 得 解得 u 2 =lnx 2 +C，由 y(e)=2e，得 C=2， 所求的通解为 y 2 =x 2 lnx 2 +2x 2 方法二 解得 )解析：16.求微分方程 x 2 y+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 x 2 y+xy=y 2 两边积分得 即 因为 y(1)=1，所以 C=一1，再把 代入 得原方程的特解为 )解析：17.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x+y=u，则 于是有 变量分离得 )解析：19.设 y=e
12、x为微分方程 xy+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 y=e x 代入微分方程 xy+P(x)y=x，得 P(x)=xe -x 一 x，原方程化为 y(e -x 一 1)y=1，则 将 y(ln2)=0代入 y=Ce x+e-x +e x +中得 故特解为 )解析：20.(1)设 其中 f(x)二阶可导，求 f(x) (2)设 f(x)在(一 1，+)内连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 两边对 x求导，得 两边再对 x求导得 f(x)+f(x)=e x ，其通解为 f(x) (2)由 得
13、 两边求导得 f(x)+(x+1)f(x)一 xf(x)=1，整理得 解得 由 f(0)=1得 C=3，故 )解析：21.求微分方程 xy“+3y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x)二阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边求导得 )解析：23.求微分方程 y“+2x(y) 2 =0满足初始条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=p，则 代入方程得 解得 由 y(0)=1 得 C 1 =1，于是 )解析：24.求微分方程 yy“=y 2 满足初始条件 y(0)=y(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=p，则 代入原方程得 当 p=0时，y=1 为原方程的解； 当 p0时，由 解得 由 y(0)=y(0)=1 得 C 1 =1，于是 解得 )解析：
