1、2014 年江苏省南通市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分 ) 1.(3 分 )-4 的相反数 ( ) A. 4 B. -4 C. D. - 解析： -4 的相反数 4. 答案： A. 2.(3 分 )如图， 1=40 ，如果 CDBE ，那么 B 的度数为 ( ) A. 160 B. 140 C. 60 D. 50 解析： 如图， 1=40 ， 2=180 -40=140 ， CDBE ， B=2=140 . 答案： B. 3.(3 分 )已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是 ( ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 棱柱 解析： 俯视
2、图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱 . 答案： A. 4.(3 分 )若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A. x B. x - C. x D. x 解析： 由题意得， 2x-1 0，解得 x . 答案： C. 5.(3 分 )点 P(2， -5)关于 x 轴对称的点的坐标为 ( ) A. (-2， 5) B. (2， 5) C. (-2， -5) D. (2， -5) 解析： 点 P(2， -5)关于 x 轴对称， 对称点的坐标为： (2， 5). 答案： B. 6.(3 分 )化简 的结果是 ( ) A. x+1 B. x-1 C. -x
3、D. x 解析： = - = = =x， 答案： D. 7.(3 分 )已知一次函数 y=kx-1，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象经过 ( ) A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 解析： 一次函数 y=kx-1且 y随 x 的增大而增大， k 0，该直线与 y 轴交于 y 轴负半轴， 该直线经过第一、三、四象限 . 答案： C. 8.(3 分 )若关于 x 的一元一次不等式组 无解，则 a 的取值范围是 ( ) A. a1 B. a 1 C. a -1 D. a -1 解析： 解 得， ， 无解， a1 . 答案： A. 9
4、.(3 分 )如图， ABC 中， AB=AC=18， BC=12，正方形 DEFG 的顶点 E， F 在 ABC 内，顶点 D，G 分别在 AB， AC 上， AD=AG， DG=6，则点 F 到 BC 的距离为 ( ) A. 1 B. 2 C. 12 -6 D. 6 -6 解析： 过点 A 作 AMBC 于点 M，交 DG 于点 N，延长 GF交 BC于点 H， AB=AC ， AD=AG， AD ： AB=AG： AC， BAC=DAG ， ADGABC ， ADG=B ， DGBC ， 四边形 DEFG 是正方形， FGDG ， FHBC ， ANDG ， AB=AC=18 ， BC=
5、12， BM= BC=6， AM= =12 ， ， ， AN=6 ， MN=AM -AN=6 ， FH=MN -GF=6 -6. 答案： D. 10.(3分 )如图，一个半径为 r的圆形纸片在边长为 a( )的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片 “ 不能接触到的部分 ” 的面积是 ( ) A. B. C. D. r 2 解析： 如图，当圆形纸片运动到与 A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心 O1作两边的垂线，垂足分别为 D， E，连 AO1， 则 RtADO 1中， O 1AD=30 ， O1D=r， . .由 . 由题意， DO 1E=120 ，得 ， 圆形纸片不能接
6、触到的部分的面积为 = . 答案： C. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24分 ) 11.(3 分 )我国第一艘航母 “ 辽宁舰 ” 最大排水量为 67500 吨，这个数据用科学记数法可表示为 吨 . 解析： 将 67500 用科学记数法表示为： 6.7510 4. 答案： 6.7510 4. 12.(3 分 )因式分解 a3b-ab= . 解析： a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1). 答案： ab(a+1)(a-1). 13.(3 分 )如果关于 x 的方程 x2-6x+m=0 有两个相等的实数根，那么 m= . 解析： 关于 x 的方程 x2-6
7、x+m=0 有两个相等的实数根， =b 2-4ac=0， 即 (-6)2-41m=0 ，解得 m=9. 14.(3 分 )已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的公共点是 (-4， 0)， (2， 0)，则这条抛物线的对称轴是直线 . 解析： 抛物线与 x 轴的交点为 (-4， 0)， (2， 0)， 两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线 x= =-1，即 x=-1. 答案： x=-1. 15.(3 分 )如图，四边形 ABCD 中， ABDC ， B=90 ，连接 AC， DAC=BAC .若 BC=4cm，AD=5cm，则 AB= cm. 解析： 过点 D 作 DE
8、AB 于点 E， 在梯形 ABCD 中， ABCD ， 四边形 BCDE 是矩形， CD=BE ， DE=BC=4cm， DEA=90 ， AE= =3(cm)， ABCD ， DCA=BAC ， DAC=BAC ， DAC=DCA ， CD=AD=5cm ， BE=5cm ， AB=AE+BE=8cm . 答案： 8. 16.(3 分 )在如图所示 (A， B， C 三个区域 )的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在 区域的可能性最大 (填 A 或 B 或 C). 解析： 由题意得： SA SB SC， 故落在 A 区域的可能性大， 答案： A. 17.(3 分 )如图，点 A、 B、 C、 D
9、 在 O 上， O 点在 D 的内部，四边形 OABC为平行四边形，则 OAD+OCD= . 解析： 连接 DO 并延长， 四边形 OABC 为平行四边形， B=AOC ， AOC=2ADC ， B=2ADC ， 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， B+ADC=180 ， 3ADC=180 ， ADC=60 ， B=AOC=120 ， 1=OAD+ADO ， 2=OCD+CDO OAD+OCD= (1+2 )-(ADO+CDO )=AOC -ADC=120 -60=60 . 答案： 60 . 18.(3 分 )已知实数 m， n 满足 m-n2=1，则代数式 m2+2n2+4m-1的最小
10、值等于 . 解析： m -n2=1，即 n2=m-10 ， m1 ， 原式 =m2+2m-2+4m-1=m2+6m+9-12=(m+3)2-12， 则代数式 m2+2n2+4m-1 的最小值等于 (1+3)2-12=4. 答案： 4. 三、解答题 (本大题共 10 小题，共 96分 ) 19.(10 分 )计算： (1)(-2)2+( )0- -( )-1； (2)x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)x 2y. 解析： (1)先求出每一部分的值，再代入求出即可； (2)先算括号内的乘法，再合并同类项，最后算除法即可 . 答案： (1)原式 =4+1-2-2=1； (2)原式 =x2y(xy
11、-1)-x2y(1-xy)x 2y=x2y(2xy-2)x 2y=2xy-2. 20.(8 分 )如图，正比例函数 y=-2x 与反比例函数 y= 的图象相交于 A(m， 2)， B 两点 . (1)求反比例函数的表达式及点 B 的坐标； (2)结合图象直接写出当 -2x 时， x 的取值范围 . 解析： (1)先把 A(m， 2)代入 y=-2x 可计算出 m，得到 A 点坐标为 (-1， 2)，再把 A点坐标代入 y= 可计算出 k 的值，从而得到反比例函数解析式；利用点 A 与点 B 关于原点对称确定 B点坐标； (2)观察函数图象得到当 x -1 或 0 x 1 时，一次函数图象都在反
12、比例函数图象上方 . 答案： (1)把 A(m， 2)代入 y=-2x 得 -2m=2，解得 m=-1，所以 A 点坐标为 (-1， 2)， 把 A(-1， 2)代入 y= 得 k=-12= -2，所以反比例函数解析式为 y=- ， 点 A 与点 B 关于原点对称，所以 B 点坐标为 (1， -2)； (2)当 x -1 或 0 x 1 时，一次函数图象都在反比例函数图象上方， -2x . 21.(8 分 )如图，海中有一灯塔 P，它的周围 8 海里内有暗礁 .海伦以 18 海里 /时的速度由西向东航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60 方向上；航行 40 分钟到达 B 处，测得灯塔 P
13、 在北偏东 30 方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 解析： 易证 ABP 是等腰三角形，过 P 作 PDAB ，求得 PD 的长，与 6海里比较大小即可 . 答案： 过 P 作 PDAB .AB=18 =12 海里 . PAB=30 ， PBD=60 PAB=APBAB=BP=12 海里 . 在直角 PBD 中， PD=BP sinPBD=12 =6 海里 . 6 8 海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险 . 22.(8 分 )九年级 (1)班开展了为期一周的 “ 敬老爱亲 ” 社会活动，并根据学生做家务的时间来评价他们在活动中的表现，老师调查了全班 50 名学生在这
14、次活动中做家务的时间，并将统计的时间 (单位：小时 )分成 5 组： A.0.5x 1 B.1x 1.5 C.1.5x 2 D.2x 2.5 E.2.5x 3；并制成两幅不完整的统计图 (如图 )： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是 C ； (2)补全频数分布直方图； (3)该班的小明同学这一周做家务 2 小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计知识说明理由 . 解析： (1)可根据中位数的概念求值； (2)根据 (1)的计算结果补全统计图即可； (3)根据中位数的意义判断 . 答案：
15、(1)C 组的人数是： 5040%=20 (人 )， B 组的人数是： 50-3-20-9-1=17(人 )， 把这组数据按从小到大排列为，由于共有 50 个数，第 25、 26 位都落在 1.5x 2 范围内，则中位数落在 C 组； 故答案为： C； (2)根据 (1)得出的数据补图如下： (3)符合实际 . 设中位数为 m，根据题意， m 的取值范围是 1.5m 2， 小明帮父母做家务的时间大于中位数， 他帮父母做家务的时间比班级中一半以上的同学多 . 23.(8分 )盒中有 x个黑球和 y个白球，这些球除颜色外无其他差别 .若从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是 ；若往盒中再放进 1 个
16、黑球，这时取得黑球的概率变为 . (1)填空： x= ， y= ； (2)小王和小林利用 x 个黑球和 y 个白球进行摸球游戏 .约定：从盒中随机摸取一个，接着从剩下的球中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小王胜，若颜色不同则小林胜 .求两个人获胜的概率各是多少？ 解析： (1)根据题意得： ，解此方程即可求得答案； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球颜色相同、颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案： (1)根据题意得： ，解得： ； 故答案为： 2， 3； (2)画树状图得： 共有 20 种等可能的结果，两球颜色相同的有 8 种情况，颜色不同的有
17、 12 种情况， P (小王胜 )= = ， P(小林胜 )= = . 24.(8 分 )如图， AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 M在 O 上， MD恰好经过圆心 O，连接 MB. (1)若 CD=16， BE=4，求 O 的直径； (2)若 M=D ，求 D 的度数 . 解析： (1)先根据 CD=16， BE=4，得出 OE 的长，进而得出 OB 的长，进而得出结论； (2)由 M=D ， DOB=2D ，结合直角三角形可以求得结果； 答案： (1)ABCD ， CD=16， CE=DE=8 ， 设 OB=x，又 BE=4 ， x 2=(x-4)2+82，解得： x=10
18、， O 的直径是 20. (2)M= BOD ， M=D ， D= BOD ， ABCD ， D=30 . 25.(9 分 )如图 ，底面积为 30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的 “ 几何体 ” ，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度 h(cm)与注水时间 t(s)之间的关系如图 所示 . 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)圆柱形容器的高为 cm，匀速注水的水流速度为 cm3/s； (2)若 “ 几何体 ” 的下方圆柱的底面积为 15cm2，求 “ 几何体 ” 上方圆柱的高和底面积 . 解析： (1)根据图象，分三个部分：满过 “ 几何体 ” 下
19、方圆柱需 18s，满过 “ 几何体 ” 上方圆柱需 24s-18s=6s，注满 “ 几何体 ” 上面的空圆柱形容器需 42s-24s=18s，再设匀速注水的水流速度为 xcm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程； (2)根据圆柱的体积公式得 a (30-15)=18 5，解得 a=6，于是得到 “ 几何体 ” 上方圆柱的高为 5cm，设 “ 几何体 ” 上方圆柱的底面积为 Scm2，根据圆柱的体积公式得5 (30-S)=5 (24-18)，再解方程即可 . 答案： (1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为 14cm，两个实心圆柱组成的 “ 几何体 ” 的高度为 11cm，水从刚满过由两个实
20、心圆柱组成的 “ 几何体 ” 到注满用了 42s-24s=18s，这段高度为 14-11=3cm， 设匀速注水的水流速度为 xcm3/s，则 18 x=30 3，解得 x=5，即匀速注水的水流速度为 5cm3/s； 故答案为 14， 5； (2)“ 几何体 ” 下方圆柱的高为 a，则 a (30-15)=18 5，解得 a=6， 所以 “ 几何体 ” 上方圆柱的高为 11cm-6cm=5cm， 设 “ 几何体 ” 上方圆柱的底面积为 Scm2，根据题意得 5 (30-S)=5 (24-18)，解得 S=24， 即 “ 几何体 ” 上方圆柱的底面积为 24cm2. 26.(10 分 )如图，点
21、E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG，且菱形 AEFG 菱形 ABCD，连接 EC， GD. (1)求证： EB=GD； (2)若 DAB=60 ， AB=2， AG= ，求 GD 的长 . 解析： (1)利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等； (2)连接 BD 交 AC 于点 P，则 BPAC ，根据 DAB=60 得到 BP AB=1，然后求得 EP=2 ，最后利用勾股定理求得 EB 的长即可求得线段 GD 的长即可 . 答案： (1) 菱形 AEFG 菱形 ABCD， EAG=BAD ，
22、EAG+GAB=BAD+GAB ， EAB=GAD ， AE=AG ， AB=AD， AEBAGD ， EB=GD ； (2)连接 BD 交 AC 于点 P，则 BPAC ， DAB=60 ， PAB=30 ， BP= AB=1， AP= = ， AE=AG= ， EP=2 ， EB= = = ， GD= . 27.(13 分 )如图，矩形 ABCD 中， AB=3， AD=4， E为 AB 上一点， AE=1， M 为射线 AD 上一动点，AM=a(a 为大于 0 的常数 )，直线 EM 与直线 CD 交于点 F，过点 M作 MGEM ，交直线 BC 于 G. (1)若 M 为边 AD 中点
23、，求证： EFG 是等腰三角形； (2)若点 G 与点 C 重合，求线段 MG 的长； (3)请用含 a 的代数式表示 EFG 的面积 S，并指出 S 的最小整数值 . 解析： (1)利用 MAEMDF ，求出 EM=FM，再由 MGEM ，得出 EG=FG，所以 EFG 是等腰三角形； (2)利用勾股定理 EM2=AE2+AM2， EC2=BE2+BC2，得出 CM2=EC2-EM2，利用线段关系求出 CM.再MAECDM ，求出 a 的值，再求出 CM. (3) 当点 M 在 AD 上时， ： 当点 M在 AD 的延长线上时，作 MNBC ，交 BC 于点 N，先求出 EM，再利用 MAE
24、MDF 求出 FM，得到 EF 的值，再由 MNGMAE 得出 MG 的长度，然后用含 a 的代数式表示 EFG 的面积 S，指出 S 的最小整数值 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是矩形， A=MDF=90 ， M 为边 AD 中点， MA=MD ， 在 MAE 和 MDF 中， ， MAEMDF (ASA)， EM=FM ， 又 MGEM ， EG=FG ， EFG 是等腰三角形； (2)如图 1， AB=3 ， AD=4， AE=1， AM=a， BE=AB -AE=3-1=2， BC=AD=4， EM 2=AE2+AM2， EC2=BE2+BC2， EM 2=1+a2， EC2=
25、4+16=20， CM 2=EC2-EM2， CM 2=20-1-a2=19-a2， CM= . ABCD ， AEM=MFD ， 又 MCD+MFD=90 ， AME+AEM=90 ， AME=MCD ， MAE=CDM=90 ， MAECDM ， = ，即 = ，解得 a=1 或 3， 代入 CM= .得 CM=3 或 . (3) 当点 M 在 AD 上时，如图 2，作 MNBC ，交 BC于点 N， AB=3 ， AD=4， AE=1， AM=a， EM= = ， MD=AD-AM=4-a， A=MDF=90 ， AME=DMF ， MAEMDF = ， = ， FM= ， EF=EM+
26、FM= + = ， ADBC ， MGN=DMG ， AME+AEM=90 ， AME+DMG=90 ， AME=DMG ， MGN=AME ， MNG=MAE=90 ， MNGMAE = ， = ， MG= ， S= EF MG= = +6，即 S= +6， 当 a= 时， S 有最小整数值， S=1+6=7. 当点 M 在 AD 的延长线上时，如图 3，作 MNBC ，交 BC延长线于点 N， AB=3 ， AD=4， AE=1， AM=aEM= = ， MD=a-4， DCAB ， MAEMDF = ， = ， FM= ， EF=EM -FM= - = ， AME+EMN=90 ， NM
27、G+EMN=90 ， AME=NMG ， MNG=MAE=90 ， MNGMAE = ， = ， MG= ， S= EF MG= = +6，即 S= +6， 当 a 4 时， S 没有整数值 . 综上所述当 a= 时， S 有最小整数值， S=1+6=7. 28.(14 分 )如图，抛物线 y=-x2+2x+3与 x 轴相交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C，顶点为 D，抛物线的对称轴 DF 与 BC 相交于点 E，与 x 轴相交于点 F. (1)求线段 DE 的长； (2)设过 E 的直线与抛物线相交于 M(x1， y1)， N(x2， y2)，试判断当 |x1-x2|的值最小时，直线M
28、N 与 x 轴的位置关系，并说明理由； (3)设 P 为 x 轴上的一点， DAO+DPO= ，当 tan=4 时，求点 P的坐标 . 解析： (1)根据抛物线的解析式即可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，进而求得直线 BC 的解析式，把对称轴代入直线 BC 的解析式即可求得 . (2)设直线 MN 的解析式为 y=kx+b，依据 E(1， 2)的坐标即可表示出直线 MN 的解析式y=(2-b)x+b，根据直线 MN 的解析式和抛物线的解析式即可求得 x2-bx+b-3=0，所以 x1+x2=b，x1 x2=b-3；根据完全平方公式即可求得 |x1-x2|= = = ，所以当 b=2 时， |x1
29、-x2|最小值 =2 ，因为 b=2 时， y=(2-b)x+b=2，所以直线 MNx 轴 . (3)由 D(1， 4)，则 tanDOF=4 ，得出 DOF= ，然后根据三角形外角的性质即可求得DPO=ADO ，进而求得 ADPAOD ，得出 AD2=AOAP，从而求得 OP 的长，进而求得 P点坐标 . 答案： 由抛物线 y=-x2+2x+3 可知， C(0， 3)， 令 y=0，则 -x2+2x+3=0，解得： x=-1， x=3， A (-1， 0)， B(3， 0)； 顶点 x=1， y=4，即 D(1， 4)； DF=4 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，代入 B(3， 0)
30、， C(0， 3)得； ，解得 ， 解析式为； y=-x+3， 当 x=1 时， y=-1+3=2， E (1， 2)， EF=2 ， DE=DF -EF=4-2=2. (2)设直线 MN 的解析式为 y=kx+b， E (1， 2)， 2=k+b ， k=2 -b， 直线 MN 的解析式 y=(2-b)x+b， 点 M、 N 的坐标是 的解， 整理得： x2-bx+b-3=0， x 1+x2=b， x1x2=b-3； |x 1-x2|= = = =， 当 b=2 时， |x1-x2|最小值 =2 ， b=2 时， y=(2-b)x+b=2， 直线 MNx 轴 . (3)如图 2， D (1， 4)， tanDOF=4 ， 又 tan=4 ， DOF= ， DOF=DAO+ADO= ， DAO+DPO= ， DPO=ADO ， ADPAOD ， AD 2=AO AP， AF=2 ， DF=4， AD 2=AF2+DF2=20， OP=19 ， 同理，当点 P 在原点左侧， OP=17. P 1(19， 0)， P2(-17， 0).
