1、考研数学三（微积分）模拟试卷 212 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 x=f(x，y)= （分数：2.00）A.可微B.偏导数存在，但不可微C.连续，但偏导数不存在D.偏导数存在，但不连续3.设 z=f(x，y)= （分数：2.00）A.偏导数存在且连续B.偏导数不存在，但连续C.偏导数存在，可微D.偏导数存在，但不可微4.设 f(x，y)=x 一 y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处连续且 (0，0)=0，则 f(x，y)在点(0，
2、0)处（分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.不连续，但偏导数存在C.可微D.不可微5.已知(axy 3 一 y 2 cosx)dx+(1+bysinx+3x 2 y 2 )dy 为某二元函数 f(x，y)的全微分，则常数（分数：2.00）A.a=一 2，b=2B.a=2，b=一 2C.a=一 3，b=3D.a=3，b=一 3二、填空题(总题数：2，分数：4.00)6.已知函数 z=f(x，y)在(1，1)处可微，且 f(1，1)=1， =3设 (x)=fx，f(x，x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)= D=(x，y)一x+，一y+，则 （分数：2.00）填空项
3、1:_三、解答题(总题数：17，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_计算下列函数指定的偏导数：（分数：6.00）(1).设 u=f(2xy)+g(x，xy)，其中 f 具有二阶连续导数，g 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_(2).设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定，其中 可微，P 连续，且 (u)1，求 P(x) （分数：2.00）_(3).设 z 3 一 2xz+y=0 确定 z=z(x，y)，求 z 的三个二阶偏导数（分数：2.00）_9.已知函数 z=u(x，y)e ax+by ，其中 u(x，y)具有二阶连
4、续偏导数，且 （分数：2.00）_10.设函数 f(x)二阶可导，g(y)可导，且 F(x，y)=fx+g(y)，求证： （分数：2.00）_11.设函数 f(x，y)= ，且 g 有二阶导数，求证： （分数：2.00）_已知函数 f(x，y，z)=x 3 y 2 z 及方程 x+y+z 一 3+e -3 =e -(x+y+z) (*)（分数：4.00）(1).如果 x=x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足 x(1，1)=1，又 u=f(x(y，z)，y，z)，求 （分数：2.00）_(2).如果 z=z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足 z(1，1)=1，又 w=f(x，y，z(
5、x，y)，求 （分数：2.00）_12.设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u 5 5xy+5u=1 确定求 （分数：2.00）_13.设 u=f(x，y，z)，(x 2 ，e y ，z)=0，y=sinx 确定了函数 u=u(x)，其中 f， 都有一阶连续偏导数，且 （分数：2.00）_14.设 y=f(x，t)，且方程 F(x，y，z)=0 确定了函数 t=t(x，y)，求 （分数：2.00）_15.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y=1 处取得极值 g(1)=2求复合函数 z=f(xg(y)，x+y)
6、的二阶混合偏导数 （分数：2.00）_16.设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且 f y (a，b)0，证明由方程 f(x，y)=0 在x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是： f(a，b)=0，f x (a，b)=0， 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 r(a，b)= （分数：2.00）_17.求使得不等式 （分数：2.00）_18.试求多项式 p(x)=x 2 +ax+b，使积分 -1 1 p 2 (x)dx 取最小值（分数：2.00）_某工厂生产甲、乙两
7、种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时的总收益函数为 R(x，y)=42x+27y 一 4x 2 2xyy 2 ，总成本函数为 C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元，1 万元（分数：4.00）(1).在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少?（分数：2.00）_(2).当限制排污费用支出总额为 8 万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?（分数：2.00）_19.生产某种产品需要投甲、乙两种原料，x 1 和 x 2 (单位：吨)分
8、别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为 Q=2x x (单位：吨)，其中常数 0，0 且 +=1如果两种原料的价格分别为 p 1 与 p 2 (单位：万元吨)试问，当投入两种原料的总费用为 P(单位：万元)时，两种原料各投入多少可使该产品的产出量最大?（分数：2.00）_20.已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形（分数：2.00）_21.证明不等式： （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 212 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选
9、项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 x=f(x，y)= （分数：2.00）A.可微B.偏导数存在，但不可微C.连续，但偏导数不存在 D.偏导数存在，但不连续解析：解析：设z=f(x，y)一 f(0，0)，则可知z= z=0这表明 f(x，y)= 在点(0，0)处连续 因 f(x，0)=0 f(x，0) x=0 =0，同理 f y (0，0)=0 令 =z 一 f x (0，0)x 一f y (0，0)y= ，当(x，y)沿 y=x 趋于点(00)时 3.设 z=f(x，y)= （分数：2.00）A.偏导数存在且连续B.偏导数不存在，但连续C.偏导数存在，可微 D.偏导数存在，但不
10、可微解析：解析：由偏导数定义可知 这说明 f x (0，0)存在且为 0，同理 f y (0，0)存在且为 0 4.设 f(x，y)=x 一 y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处连续且 (0，0)=0，则 f(x，y)在点(0，0)处（分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.不连续，但偏导数存在C.可微 D.不可微解析：解析：直接按可微性定义f(x，y)在(x 0 ，y 0 )可微，即 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )满足 f(x 0 +x，y 0 +y)一 f(x 0 ，y 0 )=Ax+By+()(= 0)，其中 A，B 是与x，y 无关的常数易知 A= 特别是，若有 f
11、(x 0 +x，y 0 +y)一 f(x 0 ，y 0 )=()， 则 f(x，y)在(x 0 ，y)可微(且 =0) 这里，由于 5.已知(axy 3 一 y 2 cosx)dx+(1+bysinx+3x 2 y 2 )dy 为某二元函数 f(x，y)的全微分，则常数（分数：2.00）A.a=一 2，b=2B.a=2，b=一 2 C.a=一 3，b=3D.a=3，b=一 3解析：解析：依题设由 df(x，y)=f x (x，y)dx+f y (x，y)dy =(axy 3 一 y 2 cosx)dx+(1+bysinx+3x 2 y 2 )dy， 可知 f x (x，y)=axy 3 一 y
12、 2 cosx，f y (x，y)=1+bysinx+3x 2 y 2 ， 所以 f“ xy (x，y)=3axy 2 2ycosx，f“ yx (x，y)=bycosx+6xy 2 由 f“ xy (x，y)和 f“ yx (x，y)的表达式可知它们都是连续函数，根据当混合偏导数连续时与求导次序无关的定理即得 f“ xy (x，y)f“ yx (x，y)从而 a=2，b=一 2故应选 B二、填空题(总题数：2，分数：4.00)6.已知函数 z=f(x，y)在(1，1)处可微，且 f(1，1)=1， =3设 (x)=fx，f(x，x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
13、：51）解析：解析： 又 =f 1 +f 2 (f 1 +f 2 )， (1)=f(1，1)=1， 所以 7.设 f(x)= D=(x，y)一x+，一y+，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 故在区域 D 1 =(x，y)0y1，一 yx1 一 y(如图 42)上 f(y)=y，f(x+y)=x+y，在 D 1 的外部 f(y)=0，f(x+y)=0于是 三、解答题(总题数：17，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：计算下列函数指定的偏导数：（分数：6.00）(1).设 u=f(2xy)+g(x，xy)，其中
14、 f 具有二阶连续导数，g 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2f+g 1 +yg 2 ， )解析：(2).设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+ y x P(t)dt 确定，其中 可微，P 连续，且 (u)1，求 P(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 u=(u)+ y x P(t)dt 两边分别对 x，y 求偏导数可得 )解析：(3).设 z 3 一 2xz+y=0 确定 z=z(x，y)，求 z 的三个二阶偏导数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在方程两边分别对戈求偏导数得 (3z 2 2x) 一 2z=0， (*) 即 将(
15、*)式再对 x 求偏导数，得 )解析：9.已知函数 z=u(x，y)e ax+by ，其中 u(x，y)具有二阶连续偏导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.设函数 f(x)二阶可导，g(y)可导，且 F(x，y)=fx+g(y)，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.设函数 f(x，y)= ，且 g 有二阶导数，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：已知函数 f(x，y，z)=x 3 y 2 z 及方程 x+y+z 一 3+e -3 =e -(x+y+z) (*)（分数：4.00）(1).如果 x=x(y，z)是由
16、方程(*)确定的隐函数满足 x(1，1)=1，又 u=f(x(y，z)，y，z)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意， 为 fx(y，z)，y，z对 y 的偏导数，故有 =2x 3 yz 因为题设方程(*)确定 x 为 y，z 的隐函数，所以在(*)两边对 y 求导数时应将 z 看成常量，从而有 )解析：解析：f 是 x，y，z 的函数，而 x 和 z 又分别是 y，z 和 x，y 的函数，所以在()中把 x 看成中间变量，在()中把 z 看成中间变量(2).如果 z=z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足 z(1，1)=1，又 w=f(x，y，z(x，y)，求 （分数：
17、2.00）_正确答案：(正确答案：同()一样，求得 在题设方程(*)中将 x 看成常量，对 y 求导，可得 =一 1，故有 )解析：12.设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u 5 5xy+5u=1 确定求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程 u 5 一 5xy+5u=1 两端对 x 求导数，得 5u 4 u x 一 5y+5u x =0，解得 u x = ，故 z x =f 1 +f 3 u x =f 1 + f 3 在上式对 x 求导数时，应注意其中的 f 1 ，f 3 仍是 x，y，u 的函数，而 u 又是 x，y 的函数，于是 )解
18、析：解析：z 是 x，y，u 的函数，而 u 是由方程 u 5 一 5xy+5u=1 所确定的 x，y 的隐函数，所以本题是隐函数的复合函数求偏导数的问题13.设 u=f(x，y，z)，(x 2 ，e y ，z)=0，y=sinx 确定了函数 u=u(x)，其中 f， 都有一阶连续偏导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复合函数求导法知 其中上式中的 表示由方程 (x 2 ，e sinx ，z)=0 所确定的函数 z=z(x)的导数 由 (x 2 ，e sinx ，z)=0 两端对 x 求导得 1 2x+ 2 e sinx cosx+ 3 (2x 1 + 2 e sinx co
19、sx) 将 dz 代入式即得 (2x 1 + 2 e y cosx) )解析：解析：将 y=sinx 代入 (x 2 ，e y ，z)=0 得 (x 2 ，e sinx ，z)=0，该式可确定 z 是 x 的函数，即 z=z(x)，因此，u 是 x 的一元函数，然后按复合函数求导法求解14.设 y=f(x，t)，且方程 F(x，y，z)=0 确定了函数 t=t(x，y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y=f(x，t(x，y)两端对 x 求导得 而 t=t(x，y)由 F(x，y，t)=0 所确定，则 )解析：解析：由本题要求的15.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函
20、数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y=1 处取得极值 g(1)=2求复合函数 z=f(xg(y)，x+y)的二阶混合偏导数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：计算可得 =g(y)f 1 (xg(y)，x+y)+f 2 (xg(y)，x+y)， =g(y)f 1 (xg(y)，x+y)+g(y)f“ 11 (xg(y)，x+y)xg(y)+ f“ 12 (xg(y)，x+y)+f“ 21 (xg(y)，x+y)xg(y)+f“ 22 (xg(y)，x+y) 将 x=1 与 y=1 代入并利用 g(1)=2，g(1)=0 即得 )解析：16.设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二
21、阶连续偏导数，且 f y (a，b)0，证明由方程 f(x，y)=0 在x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是： f(a，b)=0，f x (a，b)=0， 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 r(a，b)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=(x)在 x=a 处取得极值的必要条件是 (a)=0按隐函数求导法，(x)满足 f x (x，(x)+f y (x，(x)(x)=0 (*) 因 b=(a)，则有 f(a，b)=0，(a)= =0， 于是 f x (a，b)=0 将(
22、*)式两边对 x 求导得 f“ xx (x，(x)+f“ xy (x，(x)(x)+ f y (x，(x)(x)+f y (x，(x)“(x)=0， 上式中令 x=a，(a)=b，(a)=0，得 因此当 0 时，“(a)0，故 b=(a)是极大值； 当 )解析：17.求使得不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在区域 D=(x，y)x0，y0内 ln(x 2 +y 2 )A(x 2 +y 2 ) A， 因此使上式成立的常数 A 的最小值就是函数 f(x，y)= 在区域 D 上的最大值令 r=x 2 +y 2 则 A 的最小值就是函数 F(r)= 在区间(0，+)内的最大值计算可得
23、这表明 F(r)在(0，+)内的最大值是 F(e)= 在区域 D=(x，y)x0，y0内 ln(x 2 +y 2 ) Bxyln(x 2 +y 2 )， 因此使上式成立的常数 B 的最大值就是函数 g(x，y)=xyln(x 2 +y 2 )在区域 D 上的最小值计算可得 由此可知 g(x，y)在 D 中有唯一驻点 因为在区域 D 的边界(x，y)x=0，y0与(x，y)x0，y=0上函数 g(x，y)=0，而且当 x 2 +y 2 1 时 g(x，y)0，从而 就是 g(x，y)在 D 内的最小值即 B 的最大值是一 )解析：18.试求多项式 p(x)=x 2 +ax+b，使积分 -1 1
24、p 2 (x)dx 取最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题是要确定 a，b 的值，使积分 -1 1 p 2 (x)dx 取最小值，因此可把定积分看成 a，b 的二元函数求极值 记 f(a，b)= -1 1 p 2 (x)dx= -1 1 (x 2 +ax+b 2 )dx 所以点(0，一 )是极小值点，由于驻点唯一，该点也就是最小值点，故 p(x)=x 2 一 )解析：某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时的总收益函数为 R(x，y)=42x+27y 一 4x 2 2xyy 2 ，总成本函数为 C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)除
25、此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元，1 万元（分数：4.00）(1).在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设知该厂生产这两种产品的总利润函数 L(x，y)=R(x，y)一 C(x，y)一 2x一 y =42x+27y 一 4x 2 2xyy 2 368x 一 12y 一 2xy =32x+14y 一 4x 2 2xyy 2 36 求L(x，y)的驻点：令 )解析：(2).当限制排污费用支出总额为 8 万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?（
26、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当限制排污费用支出总额为 8 万元的条件时应求总利润函数 L(x，y)在约束条件2x+y=8 即 2x+y 一 8=0 下的条件最大值可用拉格朗日乘数法，为此引入拉格朗日函数 F(x，y，)=L(x，y)+(2x+y 一 8)， 为求 F(x，y，)的驻点，令 )解析：19.生产某种产品需要投甲、乙两种原料，x 1 和 x 2 (单位：吨)分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为 Q=2x x (单位：吨)，其中常数 0，0 且 +=1如果两种原料的价格分别为 p 1 与 p 2 (单位：万元吨)试问，当投入两种原料的总费用为 P(单位：万元)时，两种
27、原料各投入多少可使该产品的产出量最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知应求函数 Q=2x 1 x 2 在条件 p 1 x 1 +p 2 x 2 =P 之下的最大值点用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数 F(x 1 ，x 2 ，)=2x 1 x 2 +(p 1 x 1 +p 2 x 2 一P)， 为求 F(x 1 ，x 2 ，)的驻点，解方程组 因驻点唯一，且实际问题必有最大产出量，故计算结果表明，在两种原料投入的总费用为 P(万元)时，这两种原料的投入量分别为 x 1 = )解析：20.已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形（分数：
28、2.00）_正确答案：(正确答案：设三角形的三边长为 a，b，c，并设以 AC 边为旋转轴(见图 46)，AC 上的高为h，则旋转所成立体的体积为 V= h 2 b 又设三角形的面积为 S，于是有 问题化成求V(a，b，c)在条件 a+b+c 一 2p=0 下的最大值点，等价于求 V 0 (a，b，c)=ln (pa)(p 一 b)(pc)=ln(pa)+ln(p 一 b)+ln(pc)一 lnb 在条件 a+b+c 一 2p=0 下的最大值点用拉格朗日乘子法令F(a，b，c，)=V 0 (a，b，c)+(a+b+c 一 2p)，求解方程组 比较，得 a=c，再由得 b=2(p 一 a) 比较
29、，得 b(p 一 b)=(pa)p 由，解出 b= 由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解因而也是条件最大值点所以当三角形的边长分别为 )解析：21.证明不等式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由以上分析知 其中 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 1，x0，y0，D 2 =(x，y)x 2 +y 2 2，x0，y0 )解析：解析：由定积分与积分变量所选用的字母无关可知 =dxdy此二重积分的积分区域 D 为正方形，即 D=(x，y)0x1，0y1现将该积分区域 D 作放缩，取 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 1，x0，y0，D 2 =(x，y)x 2 +y 2 2，x0，y0，显然 D 1 0，根据二重积分性质，有
