1、考研数学二-练习二及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1.设 y=y(x)是由 2y3-2y2+2xy-x2=1 确定的连续的可以求导的函数，求 y=y(x)的驻点，并判别它是否为极值点（分数：5.00）_2.设 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是： （分数：5.00）A.B.C.D.3.设 （分数：5.00）_4.设 g(x)在 x=0 处存在二阶导数，且 g(0)=1，g(0)=2，g“(0)=1，并设（分数：5.00）_5.讨论由参数式 x=t2+2t，y=t-ln(1+t)确定的曲线 y=y(x)的单调区间、极值
2、、凹凸区间、拐点及渐近线方程（分数：5.00）_6.设 f(x)在 x=x0的某邻域内有定义，在 x=x0的某去心邻域内可导下述论断正确的是 （分数：5.00）A.B.C.D.7.设函数 （分数：5.00）A.B.C.D.8.设 （分数：5.00）A.B.C.D.9.设当 0x1 时 f(x)=x(b2-x2)，且当-1x0 时 f(x)=af(x+1)，求常数 a、b 的值使 f(x)在 x=0 处可导，并求 f(0)（分数：5.00）_10.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且()求 f(0)，并证明 f(0)存在并求之()设 且当 x0 时 （分数：5.00）_11.设 f(x)在
3、 x=x0处存在三阶导数，且 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)=a0，则 （分数：5.00）A.f(x0)是 f(x)的极小值B.f(x0)是 f(x)的极大值C.在点(x 0，f(x 0)左侧邻近曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻近曲线 y=f(x)是凸的D.在点(x 0，f(x 0)左侧邻近曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻近曲线 y=f(x)是凹的12.设 y=y(x)是由方程 y3+xy+x2-2x+1=0 确定并且满足 y(1)=0 的连续函数，则 （分数：5.00）_13.设函数 y=f(x)连续，除 x=a 外 f“(x)均存在一阶导函数 y=f(x)的图形如图所示，则
4、y=f(x) （分数：5.00）A.B.C.D.14.设 f(x)=|x-x0|g(x)，g(x)在 x=x0的某邻域有定义，f(x)在 x=x0处可导的充要条件是 (B) （分数：5.00）A.B.C.D.15.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为 （分数：5.00）A.B.C.D.16.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x0处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x0处对应的增量与微分，若x0，则 （分数：5.00）A.0dyyB.0ydyC.ydy0D.dyy017.设函数 f(x)在区间(0，+)上可导，
5、且 （分数：5.00）_18.设 f(x)在 x=a 处可导，证明：()若 f(a)0，则|f(x)|在 x=a 处必可导；()若 f(a)=0，则|f(x)|在 x=a 处可导的充要条件是 f(a)=0（分数：5.00）_19.设 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，x=(y)是 y=f(x)的反函数，则 “(y)=_（分数：5.00）_20.设 （分数：5.00）_考研数学二-练习二答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1.设 y=y(x)是由 2y3-2y2+2xy-x2=1 确定的连续的可以求导的函数，求 y=y(x)的
6、驻点，并判别它是否为极值点（分数：5.00）_正确答案：(解 由隐函数求导法有*命 y=0，得 x-y=0，再与原方程 2y3-2y2+2xy-x2=1 联立解得x=1，y=1在 x=1，y=1 处，y的分母不为零，故 x=1 为 y=y(x)的驻点再求 y“得*以 x=1，y=1，y=0 代入上式，得*，所以 y(1)=1 为极小值)解析：评注 在二元函数中也有这一类问题，处理方法类似2.设 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是： （分数：5.00）A.B.C.D. 解析：*(A)正确将 f(x)+f(-x)看作(A)中的 f(x)，于是推知f(0)+f(-0)=f(0)+f(0)=
7、0，所以 f(0)=0(B)正确在(C)的条件下，已推得 f(0)=0，从而*所以(C)正确所以只有(D)不正确，选(D)也可直接举反例说明(D)不正确，反例：f(x)=|x|，*但 f(x)=|x|在 x=0 处不可导评注 (1)将(A)、(C)两条合并，可以写成下述结论：设 f(x)在 x=0 处连续且*则 f(0)=0，f(0)存在且等于 A在做选择题时可直接拿来用“条件 f(x)在 x=0 处连续”不能省，不然只能推出*(2)有人按照下述步骤来“证明”(D)也“正确”：将(D)中的 f(x)-f(-x)看成(C)中的 f(x)，由(C)推知f(x)-f(-x)x=0=A， (2.5)于
8、是f(x)|x=0+f(-x)|x=0=A， (2.6)从而 f(0)+f(-0)=A，*错在从式(2.5)推不出式(2.6)，和的导数存在推不出两项的导数分别存在(3)有人按照下述步骤来“证明”(D)“正确”：*由洛必达法则，有*所以*、三步都是错的，题中未设 f(x)-f(-x)在 x=0 的去心邻域可导，这步不能用洛必达法则在未设 f(x)与 f(-x)分别存在的条件下，这步不成立未设 f(x)在 x=0 处连续，这步不成立那么多步骤有问题，你可察觉到了?3.设 （分数：5.00）_正确答案：(解 应填*)解析：4.设 g(x)在 x=0 处存在二阶导数，且 g(0)=1，g(0)=2，
9、g“(0)=1，并设（分数：5.00）_正确答案：(解 当 x0 时，有*而*因为 g(x)在 x=0 处连续，所以*式(2.1)为*但题中未设在 x=0 的某邻域当 x0 时 g“(x)存在，故式(2.1)不能再用洛必达法则，此时应采用凑成导数的形式去求极限，现在实际上要去凑成 g“(0)的形式：*再计算*所以 f(x)在 x=0 处连续)解析：评注 对于*如果条件中仅设 f(x0)与 g(x0)存在，而未设在 x=x0的去心邻域内 f(x)与 g(x)存在，那么不能用洛必达法则，而应采用凑成导数的形式(如式(2.2)5.讨论由参数式 x=t2+2t，y=t-ln(1+t)确定的曲线 y=y
10、(x)的单调区间、极值、凹凸区间、拐点及渐近线方程（分数：5.00）_正确答案：(解 *由 y=t-In(1+t)知，t-1所以*因此由参数式的确可以确定 y 为 x 的函数，且有*当-1t0 时，-1x0，y(x)0，曲线严格单调下降；当 0t+，0x+，y(x)0，曲线严格单调上升，x=0 为 y=y(x)的极小值点，y(0)=0 为极小值再讨论曲线 y=y(x)的凹凸区间与拐点*当-1t1 时，-1x3，y“(x)0，曲线凹；当 1t+时，3x+，y“(x)0，曲线凸，点(3，1-ln2)为拐点再看渐近线*t=-1 时 x=-1，所以 x=-1 为铅直渐近线又 t+对应于 x+*所以无水
11、平渐近线，也无斜渐近线)解析：6.设 f(x)在 x=x0的某邻域内有定义，在 x=x0的某去心邻域内可导下述论断正确的是 （分数：5.00）A.B.C. D.解析：用反证法，设 f(x0)存在，则 f(x)在 x=x0处连续，那么在*条件下，由洛必达法则有*矛盾，所以 f(x0)不存在(A)的反例*(B)的反例*f(0)存在，但*不存在(D)的反例见(A)的反例评注 请读者务必理解并记住(A)、(B)、(D)的反例以及(C)的证明设 f(x)在 x=x0的某邻域内有定义的前提下，只有(C)是正确的同时也请注意，在增设 f(x)在 x=x0连续的条件下，则(A)也是正确的什么条件下得到什么结论
12、要记准确7.设函数 （分数：5.00）A.B.C. D.解析：当|x|1 时，有*命 n取极限，得*当|x|1 时，*命 n取极限，得*于是*再讨论 f(x)的不可导的点，易知 x=1 处不可导选(C)8.设 （分数：5.00）A.B.C.D. 解析：*所以*所以不选(A)，也不选(B)再看*所以选(D)9.设当 0x1 时 f(x)=x(b2-x2)，且当-1x0 时 f(x)=af(x+1)，求常数 a、b 的值使 f(x)在 x=0 处可导，并求 f(0)（分数：5.00）_正确答案：(解 设-1x0，则 0x+11，从而f(x)=af(x+1)=a(x+1)(b2-(x+1)2)得到
13、f(x)的分段表达式：*有 f(0 -)=a(b2-1)，f(0 +)=0，f(0)=0f(x)在 x=0 处连续*再考虑 f(x)在 x=0 处的左、右导数：*同理*由式(2.7)、(2.8)得*或 a=0，b=0*b2=1 时，f(0)=1；当 a=0，b=0 时，f(0)=0)解析：10.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且()求 f(0)，并证明 f(0)存在并求之()设 且当 x0 时 （分数：5.00）_正确答案：(由式(2.9)及极限与无穷小的关系，解得*从而有*所以 f(0)存在且等于*()*取 k=3，由 f(0)的定义式，有*按题设它应等于 1，所以*)解析：评注 如
14、果一开始，题中就增设 f(0)存在，那么本题()也可用佩亚诺余项泰勒公式处理，如下：将 f(x)展开至 n=1，f(x)=f(0)+f(0)x+o(x)，代入式(2.9)得*所以 f(0)=1，*比原解()要快11.设 f(x)在 x=x0处存在三阶导数，且 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)=a0，则 （分数：5.00）A.f(x0)是 f(x)的极小值B.f(x0)是 f(x)的极大值C.在点(x 0，f(x 0)左侧邻近曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻近曲线 y=f(x)是凸的D.在点(x 0，f(x 0)左侧邻近曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻近曲线 y=f(x)是凹的 解析
15、：由*及极限的保号性定理知，当 xx 0且 x 很接近于 x0时，f“(x)0，从而知图形 y=f(x)是凸的；当 xx 0且 x 很接近于 x0时，f“(x)0，图形是凹的选(D)评注 本题的前提条件也可改为：设 f(x)在 x=x0的某邻域内二阶导数存在，且设*则选项仍为(D)本题的前提条件如果改为：设 f(x)在 x=x0处连续，在 x=x0的某去心邻域内可导，且*则选项应是(A)12.设 y=y(x)是由方程 y3+xy+x2-2x+1=0 确定并且满足 y(1)=0 的连续函数，则 （分数：5.00）_正确答案：(解 应填-3*由隐函数求导，有*得*有*对式(2.10)再用洛必达法则
16、：*将式(2.11)对 x 再求导，有*x1 时已知 y(x)0，y(x)0经计算 y“(x)-2于是*)解析：评注 求隐函数的导数时，常常是给出 x=x0，要求 y(x0)=? 此时，一般应从 F(x，y)=0 中计算出当 x=x0时 y=? 代入已计算出的 y(x)便得 y(x0)在求 y“(x)时，都应将 y(x)中的 y 看成 x 的函数求之，如式(2.12)那样13.设函数 y=f(x)连续，除 x=a 外 f“(x)均存在一阶导函数 y=f(x)的图形如图所示，则 y=f(x) （分数：5.00）A.B.C.D. 解析：如图，f(x 1)=0，当 x 从小于 x1经过 x1至大于
17、x1，f(x)由负变正，故 x=x1为极小值点经类似地讨论，x=x 3为极大值点f(x)在 x=a 处连续，左侧邻域 f(x)0，右侧邻域f(x)0，故 x=a 为 f(x)的极小值点又 f“(x2)=0，左侧邻域 f“(x)0，右侧邻域 f“(x)0，故点(x 2，f(x 2)为图形 y=f(x)的拐点f(x)在 x=a 处连续，左侧邻域 f“(x)0，图形 y=f(x)凸，右侧邻域 f“(x)0，图形 y=f(x)凹，故点(a，f(a)为该图形的拐点*选(D)14.设 f(x)=|x-x0|g(x)，g(x)在 x=x0的某邻域有定义，f(x)在 x=x0处可导的充要条件是 (B) （分数
18、：5.00）A. B.C.D.解析：*所以 f(x)在 x=x0处可导的充要条件为*选(A)评注 如果假设 g(x)在 x=x0处连续，则*再连同(A)，推得：“设 f(x)=|x-x0|g(x)，并且 g(x)在 x=x0处连续，则 f(x)在 x=x0处可导的充要条件是 g(x0)=0”15.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为 （分数：5.00）A.B. C.D.解析：方法 1 考虑必要性设 f(0)存在，分别将(A)(D)凑成 f(0)的定义式(A)*在前一式中命 1-cosh=x，从而有，当 h0 时 x0 +，有*所以(A)存在(B)*在前一式中命 1-eh
19、=x，从*所以(B)存在(C)*前一式中命 h-sinh=x，从而当 hO 时 x0，有*=f(0)0=0所以(C)存在*所以(D)存在所以(A)(D)为 f(0)存在的必要条件反之，只有(B)是 f(0)存在的充分条件事实上，设(B)成立，记其极限为 B，则*所以 f(0)存在至于(A)，由以上讨论可见，由(A)存在，只能推知 f+(0)存在，(A)不充分至于(C)，设(C)成立，记其极限为 C，于是*而*所以由*存在，不知道*是否存在(C)不充分至于(D)，由*存在，推不出由它拆开的两个极限*分别存在，所以(D)不充分方法 2 举例说明(A)、(C)、(D)不充分(A)的例子设 f(x)=
20、|x|，有 f(0)=0，则*(存在)，但 f(x)=|x|在 x=0 处不可导所以(A)不充分(C)的例子设*有 f(0)=0，则*但*在 x=0 处不可导(D)的例子设*有 f(0)=0，*但 f(x)在 x=0 处不可导以上说明(A)、(C)、(D)都不充分，当然谈不上充要了16.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x0处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x0处对应的增量与微分，若x0，则 （分数：5.00）A.0dyy B.0ydyC.ydy0D.dyy0解析：方法 1 dy=f(x0)x0再由定理 2.1.4，*所以ydy0
21、选(A)方法 2 排斥法，f(x)=x 2，x0，有 f(x)0，f“(x)0dy=2xx，y=(x+x) 2-x2=2xx+(x)22xx=dy0，所以(B)、(C)、(D)均不对，选(A)方法 3 用两次拉格朗日中值公式，有y-dy=f(x 0+x)-f(x 0)-f(x0)x=f()x-f(x 0)x=(f()-f(x 0)x=f“( 1)(-x 0)x，其中 x0x 0+x，x 0 1，x0，从而推知ydy0选(A)17.设函数 f(x)在区间(0，+)上可导，且 （分数：5.00）_正确答案：(解 *又 F(1)=0，所以 F(x)在区间(0，+)上严格单调增加*所以当 0x1 时，
22、F“(x)0，曲线 y=F(x)为凸；当 1x+时，F“(x)0，曲线 y=F(x)为凹，F(1)=0，所以点(1，0)是曲线 y=F(x)的拐点)解析：评注 为了弄清楚*的符号，将等式右边的第二、第三两项合并改写为*然后将 F(x)的表达式写成一个积分*这样可以方便地看出 F(x)的符号这种处理方法是解决本题的关键，请读者注意学习18.设 f(x)在 x=a 处可导，证明：()若 f(a)0，则|f(x)|在 x=a 处必可导；()若 f(a)=0，则|f(x)|在 x=a 处可导的充要条件是 f(a)=0（分数：5.00）_正确答案：(证明 (1)f(a)0，设 f(a)0，由保号性，存在
23、 x=a 的某邻域 U，当 xU 时 f(x)0从而|f(x)|=f(32)，xU，*因此 |f(x)| x=a=f(a)若 f(x)0，则可得|f(x)|x=a=-f(a)总之，当 f(a)存在且 f(a)0 时，|f(x)| x=a必存在()若 f(a)=0，则*当满足上述充要条件时，|f(x)| x=a=0)解析：评注 做选择题时，可以用现成结论例如，下述选择题：设 f(x)在 x=a 处可导，则|f(x)|在 x=a 处不可导的充要条件是(A)f(a)0，f(a)0 (B)f(a)0，f(a)=0(C)f(a)=0，f(a)0 (D)f(a)=0，f(a)=0 (C)19.设 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，x=(y)是 y=f(x)的反函数，则 “(y)=_（分数：5.00）_正确答案：(解 应填*由*有*)解析：评注 反函数的二阶导数 “(y)怎么计算应弄清楚20.设 （分数：5.00）_正确答案：(解 应填 n! (2n-1)，n1*f(x)=(x-1)-1-(2x-1)-1，f(x)=(-1)(x-1)-2-(-1)21(2x-1)-2，f(n)(x)=(-1)nn!(x-1)-n-1-(-1)nn!2n(2x-1)-n-1=(-1)nn!(x-1)-n-1-2n(2x-1)-n-1，f(n)(0)=n!(2n-1) (n1)解析：
