1、考研数学二（常微分方程）-试卷 1 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2 =1 的特解为( )（分数：2.00）A.xy 2 =4。B.xy=4。C.x 2 y=4。D.一 xy=4。3.设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x 一 2y)dx=0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 y(x)=( )（分数：2.00）A.B.C.D.
2、4.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=Cy 1 (x)。B.y=Cy 2 (x)。C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)。D.y=cy 1 (x)一 y 2 (x)。5.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1 +y 2 是该方程的解，y 1 一 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则( )（分数：2.00）A.B.C.D.6.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“
3、+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 。B.C 1 y 1 +C 1 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3 。C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3 。D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 C 2 )y 3 。7.已知，y 1 =x，y 2 =x 2 ，y 3 =e x 为方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的二个特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=C 1 x+C 2 x 2 +e x 。B.y=
4、C 1 x 2 +C 2 e x +x。C.y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 一 e x )+x。D.y=C 1 (9C 一 x 2 )+C 2 (x 2 一 e x )。8.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 2 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0。B.y“+y“一 y“一 y=0。C.y“一 6y“+11y“一 6y=0。D.y“一 2y“一 y“+2y=0。9.在下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为
5、通解的是( )（分数：2.00）A.y“+y“一 4y“一 4y=0。B.y“+y“+4y“+4y=0。C.y“一 y“一 4y“+4y=0。D.y“一 y“+4y“一 4y=0。10.函数 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分方程是( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 2y=3xe x 。B.y“一 y“一 2y=3e x 。C.y“+y“一 2y=3xe x 。D.y“+y“一 2y=3e x 。11.若 y=xe x +x 是微分方程 y“一 2y“+ay=bx+c 的解，则( )（分数：2.00）A.a=1，6=1，c=1。B.a=1，b=1，c=
6、一 2。C.a=一 3，b=一 3，c=0。D.a=一 3，b=1，c=1。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 y“=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 xy“+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 3e x tanydx+(1 一 e x )sec 2 ydy=0 的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_18
7、.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程 xy“+2y=sinx 满足条件 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 y“+y=e -x xcosx 满足条件 y(0)=0 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.求微分方程(x 2 一 1)dy+(2xycosx)dx=0 满足 y(0)=1 的解。（分数：2.00）_24.求微分方程 y“一 3y“+2y=2xe x
8、 的通解。（分数：2.00）_25.求微分方程 y“一 a(y“) 2 =0(a0)满足初始条件 y=0=0,y=一 1 的特解。（分数：2.00）_已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x 。（分数：4.00）(1).求 f(x)的表达式；（分数：2.00）_(2).求曲线 y=f(x 2 ) 0 x 一 t 2 )dt 的拐点。（分数：2.00）_26.求微分方程 y“(x+y “2 )=y“满足初始条件 y(1)=y“(1)=l 的特解。（分数：2.00）_设函数 f(x)在0，+)上可导,f(0)=1，且满足等式 （分数：
9、4.00）(1).求导数 f“(x)；（分数：2.00）_(2).证明：当 x0 时，成立不等式 e -x f(x)1。（分数：2.00）_27.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0 t f(s)sinsds，求 f(t)。（分数：2.00）_28.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1 一 x 2 )y“一 xy“+y=0，并求其满足 y x=0 =1，y“ x=0 =2 的特解。（分数：2.00）_29.利用代换 （分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）-试卷 1 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.
10、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2 =1 的特解为( )（分数：2.00）A.xy 2 =4。B.xy=4。C.x 2 y=4。 D.一 xy=4。解析：解析：原微分方程分离变量得 3.设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x 一 2y)dx=0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 y(x)=( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：原方程可化为 ，其通解为 曲线 y=x+Cx 2 与直线 x=1 及 x 轴所围
11、区域绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 4.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=Cy 1 (x)。B.y=Cy 2 (x)。C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)。D.y=cy 1 (x)一 y 2 (x)。 解析：解析：由于 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则 y 1 (x)一 y 2 (x)为该方程的一个非零解，则 y=Cy 1 (x)一 y 2 (x)为该方程的解。5.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y“+p(x
12、)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1 +y 2 是该方程的解，y 1 一 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由已知条件可得 由 y 1 +y 2 仍是该方程的解，得(y 1 “+y 2 “)+p(x)(y 1 +y 2 )=(+)q(x)，则 +=1；由 y 1 一 y 2 是所对应齐次方程的解，得(y 1 “一 y 2 “)+(x)(y 1 一 y 2 )=( 一 )q(x)，那么 一 =0。综上所述 6.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C
13、 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 。B.C 1 y 1 +C 1 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3 。C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3 。D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 C 2 )y 3 。 解析：解析：因为 y 1 ，y 2 ，y 3 是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y 1 一 y 3 )，(y 2 一 y 3 )都是齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=0 的解，且(y 2
14、 一 y 3 )与(y 2 一 y 3 )线性无关，因此该齐次线性方程的通解为 y=C 1 (y 1 一 y 3 )+C 2 (y 2 一 y 3 )。比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故本题的答案为 D。7.已知，y 1 =x，y 2 =x 2 ，y 3 =e x 为方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的二个特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=C 1 x+C 2 x 2 +e x 。B.y=C 1 x 2 +C 2 e x +x。C.y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 一 e x )+x。 D.y=C 1 (9C 一 x 2 )+C 2
15、(x 2 一 e x )。解析：解析：方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x 一 x 2 )和(xe x )为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 一 e x )+x，故选 C。8.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 2 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0。B.y“+y“一 y“一 y=0。 C.y“一 6y“+11y“一 6y=0。D.y“一 2y“一 y“+2y=0。解析：解析：由 y 1 =e，y
16、2 =2xe -x ，y 3 =3e x 是所求方程的三个特解知，=一 1，一 1，1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为( 一 1)(+1) 2 =0，即 3 + 2 一 一 1=0，对应的微分方程为 y“+y“一 y“一 y=0，故选 B。9.在下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是( )（分数：2.00）A.y“+y“一 4y“一 4y=0。B.y“+y“+4y“+4y=0。C.y“一 y“一 4y“+4y=0。D.y“一 y“+4y“一 4y=0。 解析：解析：已知
17、题设的微分方程的通解中含有 e x 、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程的 特征根为 =1，=2i，所以特征方程为( 一 1)( 一 2i)(+2i)=0， 即 3 一 2 +4一 4=0。 因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分方程为 y“一 y“+4y“一 4y=0。10.函数 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分方程是( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 2y=3xe x 。B.y“一 y“一 2y=3e x 。C.y“+y“一 2y=3xe x 。D.y“+y“一 2y=3e x 。 解析：解析：根据所给解的形式，
18、可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 1 =1， 2 =一2。因此对应的齐次微分方程的特征方程为 2 + 一 2=0故对应的齐次微分方程为 y“+y“一 2y=0。又因为 y * =xe x 为原微分方程的一个特解，而 =1 为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为 f(x)=Ce x (C 为常数)。比较四个选项，应选 D。11.若 y=xe x +x 是微分方程 y“一 2y“+ay=bx+c 的解，则( )（分数：2.00）A.a=1，6=1，c=1。B.a=1，b=1，c=一 2。 C.a=一 3，b=一 3，c=0。D.a=一 3，b=1，c=1。解析：解析
19、：由于 y=xe x +x 是方程 y“一 2y“+ay=bx+c 的解，则 xe x 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 1 = 2 =1，则 a=1。x 为非齐次方程的解，将 y=x 代入方程 y“一 2y“+y=bx+c，得b=1，c=一 2，故选 B。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=Cxe -x (x0)）解析：解析：原方程等价为 13.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x.e Cx+1）解析：解析：令 y=xu，代入原方程，则有 zu“+u=ulnu，即
20、14.微分方程 y“=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将已知微分方程变形整理得15.微分方程 xy“+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原方程可化为(xy)“=0，积分得 xy=C，代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2，即16.微分方程 3e x tanydx+(1 一 e x )sec 2 ydy=0 的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：tany=C(e x 一 1) 3）解析：解
21、析：两边同乘以 ，方程分离变量为17.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xe 1-x）解析：解析：此方程为一阶齐次微分方程，令 y=ux，则有 所以原方程可化为 18.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x+C)cosx）解析：解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知19.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.微分方程 xy“+2y=sinx 满足条件 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将已知方
22、程变形整理得， 根据通解公式得21.微分方程 y“+y=e -x xcosx 满足条件 y(0)=0 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e -x sinx）解析：解析：原方程的通解为 y=e -1dx (e -x/supcosx.e1dxdx+C) =e-x(cosxdx+C)=e-x(sinx+C)。由 y(0)=0 得 C=0，故所求解为 y=e-xsinx。三、解答题(总题数：10，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.求微分方程(x 2 一 1)dy+(2xycosx)dx=0 满足 y(0)=1 的
23、解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：整理微分方程(x 2 一 1)dy+(2xycosx)sx=0，得 先解对应的齐次方程 ， 解得 lny=一 lnx 2 一 1+C，即有 将上式代入原微分方程得到 故 C(x)=sinx+c，则原微分方程的解为 又因为 y(0)=1，代入上式得到 c=一 1，则原微分方程的解为 )解析：24.求微分方程 y“一 3y“+2y=2xe x 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次方程 y“一 3y“+2y=0 的特征方程为 2 3+2=0，由此得 1 =2， 2 =1。即对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e 2x +C 2 e x 。
24、设非齐次方程的特解为 y * =(ax+b)xe x ，则有 (y * )“=ax 2 +(2a+b)x+be x 。(y * )“=ax 2 +(4a+b)x+2a+2be x ，代入原方程得 a=一 1，b=一 2，因此所求解为 y=C 1 e 2x +C 2 e x 一 x(x+2)e x 。)解析：25.求微分方程 y“一 a(y“) 2 =0(a0)满足初始条件 y=0=0,y=一 1 的特解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y“=p，则 将之代入原方程，得 分离变量并积分 ，由此得 ,由 x=0，y=0，y“=p=一 1，得 C 1 =1，即 )解析：已知函数 f(x
25、)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x 。（分数：4.00）(1).求 f(x)的表达式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次微分方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 的特征方程为 2 + 一 2=0，特征根为 1 =1， 2 =一 2，因此该齐次微分方程的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e -2x 。再由 f“(x)+f(x)=2e 得 2C 1 e x 一 3C 2 e -2x =2e x ， 因此可知 C 1 =1，C 2 =0。所以 f(x)的表达式为 f(x)=e x 。)解析：(2).求曲线 y=f(
26、x 2 ) 0 x 一 t 2 )dt 的拐点。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线方程为 则 令 y“=0 得 z=0。下面证明 z=0 是 y“=0 唯一的解，当 x0 时， )解析：26.求微分方程 y“(x+y “2 )=y“满足初始条件 y(1)=y“(1)=l 的特解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因本题不含 y，所以可设 y“=p，于是 y“=p“，因此原方程变为 p“(x+p 2 )=p，从而有 ，解之得 x=p(p+C)。将 p(1)=1 代入 x=P(P+c)得 C=0 于是 x=p 2 ，所以 ，从而 结合 y(1)=1 得 故 )解析：设函数 f(
27、x)在0，+)上可导,f(0)=1，且满足等式 （分数：4.00）(1).求导数 f“(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 (x+1)f“(x)+(x+1)f(x)一 0 x f(t)dt=0。 上式两边对 x 求导，得 (x+1)f“(x)=一(x+2)f“(x)， 两边积分，得 lnf“(x)=一 x 一 ln(x+1)+C 1 ， 所以 在题设等式中令 x=0，得 f“(0)+f(0)=0。又已知 f(0)=1，于是 f“(0)=一 1，代入 f“(x)的表达式，得 C=一1，故有 )解析：(2).证明：当 x0 时，成立不等式 e -x f(x)1。（分数：2.0
28、0）_正确答案：(正确答案：由(I)中结果知，当 x0 时 f“(x)0，即 f(x)单调减少，又 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1。 设 (x)=f(x)一 e -x ，则 )解析：27.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0 t f(s)sinsds，求 f(t)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(t)连续，因此 0 t f(s)sinsds 可导，从而 f(t)可导，于是 )解析：28.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1 一 x 2 )y“一 xy“+y=0，并求其满足 y x=0 =1，y“ x=0 =2 的特解。（分数：2.00）_正
29、确答案：(正确答案： )解析：29.利用代换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 y“=u“secx+usecxtanx，y“=u“secx+2u“secxtanx+u(secxtan 2 x+Sec 3 x)，代入原方程 y“cosx 一 2y“sinx+3ycosx=e x ，得 u“+4u=e x 。 (*) 先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为 2 +4=0，则特征方程的根为 A=2i。所以通解为 u(x)=C 1 cosx2x+C 2 sin2x(C 1 ，C 2 为任意常数)。再求非齐次方程的特解()设其特解为 u * (x)=Ae * ，代入(*)式，得 (Ae x )“+4Ae x =Ae x +4Ae x =5Ae x =e x ，解得 故(*)的通解为 所以，原微分方程的通解为 )解析：
