1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 18及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ()， 2 ()， 3 ()为二阶非齐次线性方程 ya 1 ()ya 2 ()yf()的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 () 2 ()C 2 3 ()B.C 1 1 () 2 ()C 2 3 ()C.C 1 1 () 2 ()C 2 1 () 3 ()D.C 1 1 ()C 2 2 ()C 3 3 ()，其中 C 1 C 2 C 3
2、13.微分方程 yye 1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数)( )（分数：2.00）A.ae bB.ae bC.ae bD.ae b4.在下列微分方程中以 yC 1 e C 2 cos2C 3 sin2(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是( )（分数：2.00）A.yy4y4y0B.yy4y4y0C.yy4y4y0D.yy4y4y0二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.微分方程 ye -y （分数：2.00）填空项 1:_6.微分方程 yy2(y) 2 0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.微分方程 y （分数：2.00）填空项 1:_8.以
3、yC 1 e e (C 2 cosC 3 sin)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 y()为微分方程 y4y4y0 满足初始条件 y(0)1，y(0)2 的特解，则 0 1 y()d 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设函数 (u)可导且 (0)1，二元函数 z(y)e y 满足 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 A从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y轴正向行驶，B 从( 0 ，0)出发( 0 0)，以始终指向点 A的
4、固定速度 v 1 朝 A追去，求 B的轨迹方程（分数：2.00）_13.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (ms)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k (kg.s 2 m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kg.s 2 m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_14.设函数 yy()满足y （分数：2.00）_15.设 f()在(，)上有定义，且对任意实数 a，b，都有等式 f(ab)e a f(b)e b f(a)成立，又 f(0)1，求
5、f()（分数：2.00）_16.设当 u0 时 f(u)一阶连续可导，且 f(1)0，又二元函数 zf(e e y )满足 （分数：2.00）_17.求微分方程 y （分数：2.00）_18.微分方程 （分数：2.00）_19.求微分方程 （分数：2.00）_20.求微分方程 y(1)ye 2 (0)的满足 （分数：2.00）_21.求微分方程 yycos(ln)e sin 的通解（分数：2.00）_22.求微分方程 （分数：2.00）_23.求微分方程(1 2 )yy0 的满足初始条件 y(0)0，y(0)1 的特解（分数：2.00）_24.已知微分方程 yyf()，其中 f() （分数：2
6、.00）_25.解方程(3 2 2)y6y，已知其解与 e 1(0)为等价无穷小（分数：2.00）_26.求微分方程 yy(y) 2 0 的满足初始条件 y(0)1，y(0) （分数：2.00）_27.设函数 yy()满足微分方程 y3y2y2e ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y 2 1 在该点的切线重合，求函数 yy()（分数：2.00）_28.求微分方程 yy4cose 的通解（分数：2.00）_29.设连续函数 f()满足： 0 1 f()f(t)dt 与 无关，求 f()（分数：2.00）_30.设 f()二阶可导，且 0 f(t)dt 0 tf(t)dt，求 f()（分数：
7、2.00）_31.设 uf(ln )满足 （分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）模拟试卷 18答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 ()， 2 ()， 3 ()为二阶非齐次线性方程 ya 1 ()ya 2 ()yf()的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 1 () 2 ()C 2 3 ()B.C 1 1 () 2 ()C 2 3 ()C.C 1 1 () 2 ()C 2 1 () 3 ()D.C 1 1 (
8、)C 2 2 ()C 3 3 ()，其中 C 1 C 2 C 3 1 解析：解析：因为 1 ()， 2 ()， 3 ()为方程 ya 1 ()ya 2 ()yf()的三个线性无关解， 所以 1 () 3 ()， 2 () 3 ()为方程 ya 1 ()ya 2 ()y0 的两个线性无关解， 于是方程 ya 1 ()ya 2 ()yf()的通解为 C 1 1 () 3 ()C 2 2 () 3 () 3 () 即 C 1 1 ()C 2 2 ()C 3 3 ()， 其中 C 3 1C 1 C 2 或 C 1 C 2 C 3 1，选 D3.微分方程 yye 1 的一个特解应具有形式(式中 a，b
9、为常数)( )（分数：2.00）A.ae bB.ae b C.ae bD.ae b解析：解析：yy0 的特征方程为 2 10，特征值为 1 1， 2 1， yye 的特解形式为 y 1 ae ，yy1 的特解形式为 y 2 b， 故方程 yye 1 的特解形式为yae b，应选 B4.在下列微分方程中以 yC 1 e C 2 cos2C 3 sin2(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是( )（分数：2.00）A.yy4y4y0B.yy4y4y0C.yy4y4y0D.yy4y4y0 解析：解析：因为通解为 yC 1 e C 2 cos2C 3 sin2， 所以特征值为 1 1，
10、2,2 2i， 特征方程为(1)(2i)(2i)0，整理得 3 2 440， 对应为微分方程为 yy4y4y0，应选 D二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.微分方程 ye -y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e y ）解析：6.微分方程 yy2(y) 2 0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yC 或者 ）解析：7.微分方程 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：arcsin*lnC）解析：8.以 yC 1 e e (C 2 cosC 3 sin)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00
11、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y3y4y2y0）解析：解析：特征值为 1 1， 2,3 1i，特征方程为(1)(1i)(1i)0， 3 3 2 420，所求方程为 y3y4y2y09.设 y()为微分方程 y4y4y0 满足初始条件 y(0)1，y(0)2 的特解，则 0 1 y()d 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：y4y4y0 的通解为 y(C 1 C 2 )e 2 ， 由初始条件 y(0)1，y(0)2得 C 1 1，C 2 0，则 ye 2 ， 于是 10.设函数 (u)可导且 (0)1，二元函数 z(y)e y 满足 （分数：2.0
12、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 A从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y轴正向行驶，B 从( 0 ，0)出发( 0 0)，以始终指向点 A的固定速度 v 1 朝 A追去，求 B的轨迹方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t时刻 B点的位置为 M(，y)，则 ，即 yv 0 t两边对 求导，得 代入(*)得 令 yp 由 两边积分，得 p ，由 y( 0 )0，得 c 0 0 k ， 从而 p 当 k1 时，y 由 y( 0 )0，得
13、 c 1 ，则 B的轨迹方程为 当 k1 时，B 的轨迹方程为 y )解析：13.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (ms)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k (kg.s 2 m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kg.s 2 m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：水平方向的空气阻力 R k v 2 ，垂直方向的空气阻力 R y k y v 2 ，摩擦力为 W(mgR y )， 由牛顿第二定律，有 g0 记 A ，
14、Bg，显然 A0，故有 分离变量得 ，两边积分得 tC， 又当 t0 时，C ， 所以当 v0时， )解析：14.设函数 yy()满足y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由y o()得 yy()可导且 由 y(0)0 得 C ，故y )解析：15.设 f()在(，)上有定义，且对任意实数 a，b，都有等式 f(ab)e a f(b)e b f(a)成立，又 f(0)1，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 a0，b0 得 f(0)0 )解析：16.设当 u0 时 f(u)一阶连续可导，且 f(1)0，又二元函数 zf(e e y )满足 （分数：2.00）_正确答案
15、：(正确答案： e f(e e y )， e y f(e e y )， 由 1 得 f(e e y ) ， 即 f(u) )解析：17.求微分方程 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 2 y 2 得 原方程化为 整理得 udu ，积分得 )解析：18.微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： y(lnyln)化为 ， 令 u ，原方程化为 u ulnu，变量分离得 )解析：19.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：通解为 y )解析：20.求微分方程 y(1)ye 2 (0)的满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 由 y()
16、1 得 C1， 故特解为 y )解析：21.求微分方程 yycos(ln)e sin 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：通解为 y(ln)e sin .e cosd dCe cosd (lndC)e sin (lnC)e sin )解析：22.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 )解析：23.求微分方程(1 2 )yy0 的满足初始条件 y(0)0，y(0)1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1 2 )yy0 的 y 0，解得 y ， 由 y(0)1 得 C 1 1，从而 y )解析：24.已知微分方程 yyf()，其中 f()
17、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 01 时，yy2 的通解为 yC 1 e 2； 当 1 时，yy0 的通解为 yC 2 e ， 即 y 由 y(0)0 得 C 1 2，再由 C 1 e 1 2C 2 e 1 得 C 2 2e2， 故所求的特解为 )解析：25.解方程(3 2 2)y6y，已知其解与 e 1(0)为等价无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(3 2 2)y6y得 0，或 0， 从而 yC 1 (3 2 2)，解得 yC 1 3 2C 1 C 2 ， 因为 C 1 3 2C 1 C 2 e 1，所以 C 1 ，C 2 0， 故所求的解为 y )解析：26.
18、求微分方程 yy(y) 2 0 的满足初始条件 y(0)1，y(0) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 yy(y) 2 0 得(yy)0，从而 yyC 1 ， 进一步得( y 2 )C 1 于是 y 2 C 1 C 2 ， 由 y(0)1，y(0) )解析：27.设函数 yy()满足微分方程 y3y2y2e ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y 2 1 在该点的切线重合，求函数 yy()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 320，特征值为 1 1， 2 2， y3y2y0 的通解为 yC 1 e C 2 e 2 令特解 y 0 ae ，代入得 a2， 原
19、方程的通解为 yC 1 e C 2 e 2 2e 曲线 y 2 1 在(0，1)处的斜率为 y 0 1， 由题意得 y(0)1，y(0)1， 从而 )解析：28.求微分方程 yy4cose 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 10，特征值为 1 1， 2 1， yy0 的通解为 yC 1 e C 2 e ， 令 yy4cos 的特解为 y 1 acosbsin，代入得a2，b0； 令 yye 的特解为 y 3 ce 代入得 c ， 特解为 y 0 2cos e ， 原方程通解为 yC 1 e C 2 e 2cos )解析：29.设连续函数 f()满足： 0 1 f()f(t)dt 与 无关，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 f()f(t)dtf() 0 1 f(t)d(t)f() 0 f(u)du， 因为 0 1 f()f(t)dt 与 无关，所以 )解析：30.设 f()二阶可导，且 0 f(t)dt 0 tf(t)dt，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 tf(t)dt )解析：31.设 uf(ln )满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 r，uf(lnr)， 由对称性得 原方程化为 f(lnr)r 5 ，从而 f(t)e 5t ， f(t) e 5t C 1 ，故 f(t) )解析：
