1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 20 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ()， 2 ()为一阶非齐次线性微分方程 yP()yQ()的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 () 2 ()B.C 1 () 2 ()C.C 1 () 2 () 2 ()D. 1 () 2 ()C 2 ()3.设 yy()为微分方程 2yd( 2 1)dy0 满足初始条件 y(0)1 的解，则 （分数：2.00）A.ln3B.ln3C
2、.D.ln34.微分方程 yy6y(1)e -2 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ab)e -2B.a 2 e -2C.(a 2 b)e -2D. 2 (ab)e -2二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设连续函数 f()满足 f() （分数：2.00）填空项 1:_6.微分方程(23)y4y的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.yy1y 2 满足初始条件 y(0)1，y(0)0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 y4y48 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 yy()过原点，在原点处的切线平行于直线 y21，又 yy()满足
3、微分方程 y6y9ye 3 ，则 y() 1（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 2y3y 2 满足初始条件 y(2)1，y(2)1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.求微分方程 yy2y0 的通解（分数：2.00）_13.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 e 2 ，y 2 2e - 3e 2 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_14.求微分方程 y2y3y(21)e 的通解（分数：2.00）_15.求 y2ye 2 0 满足初始条件 y(0)
4、1，y(0)1 的特解（分数：2.00）_16.求微分方程 y4y4ye a 的通解（分数：2.00）_17.求微分方程 yy 2 3cos 的通解（分数：2.00）_18.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t0 v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_19.设 f()在0，)上连续，且 f(0)0，设 f()在0，上的平均值等于 f(0)与 f()的几何平均数，求 f()（分数：2.00）_20.设曲线 L 位于 Oy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MAOA，且 L 经过点
5、( （分数：2.00）_21.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 轴平行（分数：2.00）_22.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_23.设 f()在0，1上连续且满足 f(0)1，f()f()a(1)yf()，0，1，y0 围成的平面区域绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f()（分数：2.00）_24.设 f()在(1，)内连续且 f() （分
6、数：2.00）_25.设 f()是连续函数 (1)求初值问题 的解，其中 a0； (2)若f()k，证明：当0 时，有f() （分数：2.00）_26.设有微分方程 y2y()，其中 () （分数：2.00）_27.利用变换 zarctant 将方程 cos 4 cos 2 (2sin2) （分数：2.00）_28.设 f()为偶函数，且满足 f()2f()3 0 f(t)dt32，求 f()（分数：2.00）_29.设二阶常系数线性微分方程 yaybyce 有特解 ye 2 (1)e ，确定常数a，b，c，并求该方程的通解（分数：2.00）_30.设 u 且二阶连续可导，又 2 且 （分数：
7、2.00）_31.设函数 f()在0，)内可导，f(0)1，且 f()f() （分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）模拟试卷 20 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 ()， 2 ()为一阶非齐次线性微分方程 yP()yQ()的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 () 2 ()B.C 1 () 2 ()C.C 1 () 2 () 2 () D. 1 () 2 ()C 2 ()解析：解析：因为 1 ()
8、， 2 ()为方程 yP()yQ()的两个线性无关解，所以 1 () 2 ()为方程 yP()y0 的一个解，于是方程 yP()yQ()的通解为 C 1 () 2 () 2 ()，选 C3.设 yy()为微分方程 2yd( 2 1)dy0 满足初始条件 y(0)1 的解，则 （分数：2.00）A.ln3B.ln3C.D.ln3 解析：解析：由 2yd( 2 1)dy0 得 0，积分得 ln( 2 1)lnylnC，从而 y ， 由 y(0)1 得 C1，于是 y ， 故 4.微分方程 yy6y(1)e -2 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ab)e -2B.a 2 e -2C.(a
9、2 b)e -2 D. 2 (ab)e -2解析：解析：因为原方程的特征方程的特征值为 1 2， 2 3，而2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 (ab)e 2 ，选 C二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设连续函数 f()满足 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2 e ）解析：6.微分方程(23)y4y的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y ）解析：解析：令 yp，则 ，两边积分得 lnpln(23) 2 lnC 1 ，或 yC 1 (23) 3 ， 于是 y 7.yy1y 2 满足初始条件 y(0)1，y
10、(0)0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lny*）解析：解析：令 yp，则 yp 1p 2 ，即 ，解得 ln(1p 2 )lny 2 lnC 1 ， 则1p 2 C 1 Y 2 ，由 y(0)1，y(0)0 得 y ， lny C 2 ，由 y(0)1 得 C 2 0，所以特解为 lny 8.微分方程 y4y48 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yC 1 cos2C 2 sin22）解析：解析：微分方程两个特征值为 1 2i， 2 2i， 则微分方程的通解为 yC 1 cos2C 2 sin229.设 yy()过原点，在
11、原点处的切线平行于直线 y21，又 yy()满足微分方程 y6y9ye 3 ，则 y() 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y()2e 3 ）解析：解析：由题意得 y(0)0，y(0)2， y6y9ye 3 的特征方程为 2 690，特征值为 1 2 3， 令 y6y9ye 3 的特解为 y 0 ()a 2 e 3 代入得以 a ， 故通解为 y(C 1 C 2 )e 3 2 e 3 由 y(0)0，y(0)2 得 C 1 0，C 2 2，则 y()2e 3 10.微分方程 2y3y 2 满足初始条件 y(2)1，y(2)1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_
12、 （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.求微分方程 yy2y0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 0，特征值为 1,2 ， 则原方程的通解为 y )解析：13.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 e 2 ，y 2 2e - 3e 2 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y 1 e 2 ，y 2 2e 3e 2 为特解，所以 e 2 ，e 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1 1， 2 2，特征方程
13、为(1)(2)0 即 2 20，所求的微分方程为 yy2y0)解析：14.求微分方程 y2y3y(21)e 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 230，特征值为 1 1， 2 3， 则 y2y3y0 的通解为 yC 1 e C 2 e 3 令原方程的特解为 y 0 (ab)e ，代入原方程得 ， 所以原方程的通解为 yC 1 e C 2 e 3 )解析：15.求 y2ye 2 0 满足初始条件 y(0)1，y(0)1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 y2ye 2 特征方程为 2 20，特征值为 1 0， 2 2， y2y0 的通解为 yC
14、 1 C 2 e 2 设方程 y2ye 2 的特解为 y 0 Ae 2 代入原方程得 A ， 原方程的通解为 yC 1 C 2 e 2 e 2 由 y(0)1，y(0)1 得 解得 故所求的特解为 y )解析：16.求微分方程 y4y4ye a 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 440，特征值为 1 2 2，原方程对应的齐次线性微分方 程的通解为 y(C 1 C 2 )e 2 (1)当 a2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y 0 ()Ae a ，代入原方程 得 A ，则原方程的通解为 y(C 1 C 2 )e 2 ； (2)当 a2 时，因为 a
15、2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y 0 ()A 2 e 2 ， 代入原方程得 A ，则原方程的通解为 y(C 1 C 2 )e 2 )解析：17.求微分方程 yy 2 3cos 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 10，特征值为 1 i， 2 i， 方程 yy0 的通解为 yC 1 cosC 2 sin 对方程 yy 3 3，特解为 y 1 2 1； 对方程 yycos，特解为 sin，原方程的特解为 2 1 sin， 则原方程的通解为yC 1 cosC 2 sin 2 1 )解析：18.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t0 v 0 已知阻力与速
16、度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 Fma ， 则有 ，解此微分方程得 v(t)v 0 e t 由 v 0 e t 得 tln3，从开始到 tln3 的时间内质点所经过的路程为 )解析：19.设 f()在0，)上连续，且 f(0)0，设 f()在0，上的平均值等于 f(0)与 f()的几何平均数，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意得 ，令 a ， 则有 0 f(t)dt 两边求导得 )解析：20.设曲线 L 位于 Oy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M
17、处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MAOA，且 L 经过点( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 M 的坐标为(，y)，则切线 MA：Yyy(X) 令 X0，则Yyy，故 A 点的坐标为(0，yy) 由MAOA，得yy 即2yy y 2 ，或者 ， 则 y 2 (C)， 因为曲线经过点( )，所以 C3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 y )解析：21.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 轴平行（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求曲线为
18、 yy()，该曲线在点 P(，y)的法线方程为 Yy (X)(y0) 令 Y0，得 Xyy，该点到 轴法线段 PQ 的长度为 由题意得 ，即 yy1y 2 令 yp，则 y ，则有 1p 2 ，或者 ，两边积分得 y ，由 y(1)1，y(1)0 得 C 1 1，所以 y ，变量分离得 dy，两边积分得 ln(y )C 2 ，由 y(1)1 得 C 2 ， 两式相加得 y )解析：22.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有
19、 2kr 2 ，V(t) r 3 ，则 于是有 rktC 0 ， 由 r(0)r 0 ，r(3) ，得 C 0 r 0 ，k ，于是 r )解析：23.设 f()在0，1上连续且满足 f(0)1，f()f()a(1)yf()，0，1，y0 围成的平面区域绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f()f()a(1)得 f()a(1)e 1d dCe d Ce av， 由 f(0)1 得 C1，故 f()e a V(a) 由 V(a) 0 得a3，因为 V(a) )解析：24.设 f()在(1，)内连续且 f() （分数：2.00）_正确答案：(
20、正确答案：由 f() tf(t)dt1 得(1)f() 0 tf(t)dt1， 两边求导得 f()(1)f()f()1， 由 f(0)1 得 C3，故 f() )解析：25.设 f()是连续函数 (1)求初值问题 的解，其中 a0； (2)若f()k，证明：当0 时，有f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) yayf()的通解为 y 0 f(t)e at dtCe a ， 由 y(0)0得 C0，所以 ye a 0 f(t)e at dt (2)当 0 时， 因为 e a 1，所以y )解析：26.设有微分方程 y2y()，其中 () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
21、：当 1 时，y2y2 的通解为 yC 1 e 2 1，由 y(0)0 得 C 1 1，ye 2 1； 当 1 时，y2y0 的通解为 yC 2 e 2 ，根据给定的条件， y(10)C 2 e 2 y(10)e 2 1，解得 C 2 1e -2 ，y(1e -2 )e 2 ， 补充定义 y(1)e 2 1，则得在(，)内连续且满足微分方程的函数 )解析：27.利用变换 zarctant 将方程 cos 4 cos 2 (2sin2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入整理得 yt 0 的特征方程为 2 210，特征值为 1 2 1， 则 )解析：28.设 f()为偶函数，且满足
22、 f()2f()3 0 f(t)dt32，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 f(t)dt 0 (t)d(t) 0 f(u)du 0 f(u)du， 则有 f()2f()3 0 f(u)du32，因为 f()为偶函数，所以 f()是奇函数， 于是 f(0)0，代入上式得 f(0)1 将 f()2f()3 0 f(u)du32 两边对 求导数得 f()2f()3f()3， 其通解为 f()C 1 e C 2 e 3 1，将初始条件代入得 f()1)解析：29.设二阶常系数线性微分方程 yaybyce 有特解 ye 2 (1)e ，确定常数a，b，c，并求该方程的通解（分数：
23、2.00）_正确答案：(正确答案：将 ye 2 (1)e 代入原方程得 (42ab)e 2 (32ab)e (1ab)e ce ， 则有 )解析：30.设 u 且二阶连续可导，又 2 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 2 得 f(1)0，f(1)2，令 r，则 得 f(r) f(r)0 或 rf(r)f(r)0， 解得 rf(r)C 1 ，由 f(1)2 得 C 1 2，于是 f(r) )解析：31.设函数 f()在0，)内可导，f(0)1，且 f()f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(1)f()(1)f() 0 f(t)dt0，两边求导数，得 (1)f()(2)f() 再由 f(0)1，f(o)f(0)0，得 f(0)1，所以C1，于是 f() (2)当 0 时，因为 f()0 且 f(0)1，所以 f()f(0)1 令 g()f()e ，g(0)0，g()f()e e 0， 由 )解析：
