1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 21 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2 =1 的特解为( )（分数：2.00）A.xy 2 =4。B.xy=4。C.x 2 y=4。D.一 xy=4。3.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y +p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1 + 2 是该方程的解，y 1 一 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则( ) （分数：2.00）
2、A.B.C.D.4.具有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（分数：2.00）A.y 一 y 一 y +y=0。B.y +y 一 y 一 y=0。C.y 一 6y +11y 一 6y=0。D.y 一 2y 一 y +2y=0。5.若 y=xe x +x 是微分方程 y 一 2y +ay=bx+C 的解，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1，c=1。B.a=1，b=1，c=一 2。C.a=一 3，b=一 3，c=0。D.a=一 3，b=1，c=1。6.微分方程 y 一 2 y=e x +e x (0)的特解形式为( )
3、（分数：2.00）A.a(e x +e x )。B.ax(e x +e x )。C.x(ax x +be x )。D.x 2 (ae x +be x )。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.微分方程 y =1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 xy +2y=sinx 满足条件 y x= = （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程(y+x 2 e x )dx 一 xdy=0 的通解是 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 ydx+(x 一 3y 2 )dy=0，x
4、0 满足条件 y x=1 =1 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 xy +3y =0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 y 一 4y=e 2x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 y 一 3y +2y=2e x 满足 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.求微分方程(x 2 一 1)dy+(2xy 一 cosx)dx=0 满足 y(0)=1 的解。（分数：2.00）_17.求微分方程 y (x+y 2 )=y 满足初
5、始条件 y(1)=y (1)=1 的特解。（分数：2.00）_设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1，且满足等式 f (x)+f(x)一 （分数：4.00）(1).求导数 f (x)；（分数：2.00）_(2).证明：当 x0 时，成立不等式 e x f(x)1。（分数：2.00）_18.利用代换 y= （分数：2.00）_19.设 y=y(x)是区间(一 ，)内过 （分数：2.00）_设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点( （分数：4.00）(1).(I)试求曲线 L 的方程；（分数：2.00）
6、_(2).()求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形面积最小。（分数：2.00）_20.设 y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_21.假设： 函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)e x 一 1； 平行于 y 轴的动直线MN 与曲线 y=f(x)和 y=e x 一 1 分别相交于点 P 1 和 P 2 ； 曲线 y=f(x)，直线 MN 与 x 轴所围成的封闭图形的面积 S 恒等于线段 P 1 P 2 的长度。 求函数 y=f(x)的表达式。（分数：2.00）_22.设 f(x)是区间0
7、，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1。对任意的 t0，+)，直线x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f(x)的表达式。（分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）模拟试卷 21 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2 =1 的特解为( )（分数：2.00）A.xy 2
8、=4。B.xy=4。C.x 2 y=4。 D.一 xy=4。解析：解析：原微分方程分离变量得 3.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y +p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1 + 2 是该方程的解，y 1 一 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由已知条件可得 由 y 1 +y 2 仍是该方程的解，得(y 1 +xy 2 )+p(x)(y 1 +y 2 )=(+)q(x)， 则 +=1； 由 y 1 一 y 2 是所对应齐次方程的解，得(y 1 一 y 2 )+p(x)(y 1 一 y 2 )=( 一 )
9、q(x)， 那么 一 =0。 综上所述 = 4.具有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（分数：2.00）A.y 一 y 一 y +y=0。B.y +y 一 y 一 y=0。 C.y 一 6y +11y 一 6y=0。D.y 一 2y 一 y +2y=0。解析：解析：由 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 是所求方程的三个特解知，=一 1，一 1，1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为( 一 1)(+1) 2 =0，即 3 + 2 一 1=0，对应的微分方程为 y +y
10、 一 y 一 y=0，故选 B。5.若 y=xe x +x 是微分方程 y 一 2y +ay=bx+C 的解，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1，c=1。B.a=1，b=1，c=一 2。 C.a=一 3，b=一 3，c=0。D.a=一 3，b=1，c=1。解析：解析：由于 y=xe x +x 是方程 y 一 2y +ay=bx+c 的解，则 xe x 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 1 = 2 =1，则 a=1。x 为非齐次方程的解，将 y=x 代入方程 y 一 2y +y=bx+c，得 b=1，c=一 2，故选 B。6.微分方程 y 一 2 y=e x +e x (0)的
11、特解形式为( )（分数：2.00）A.a(e x +e x )。B.ax(e x +e x )。C.x(ax x +be x )。 D.x 2 (ae x +be x )。解析：解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 一 2 =0，其特征根为 r 1，2 =，所以 y 一 2 y=e x 的特解为 y 1 * =axe x ，y 一 2 y=e 2 x 的特解为 y 2 * =bxe x ，根据叠加原理可知原方程的特解形式为 y * =y 1 * +y 2 * =x(ae x be x )，因此选 C。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.微分方程 y =1+x+y 2 +xy
12、 2 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=tan ）解析：解析：将已知微分方程变形整理得， =(1+x)(1+y 2 )， 则 =(1+x)dx， 两边积分可得， arctany= (1+x) 2 +C， 因此 y=tan 8.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xe 1x ）解析：解析：此方程为一阶齐次微分方程，令 y=x，则有 ，所以原方程可化为 + 9.微分方程 xy +2y=sinx 满足条件 y x= = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*(sinx-xcosx)）解析：解析：将已知方程变
13、形整理得， ， 根据通解公式得， y= = (sinxxcosx+C)，由 y x= = ，得 C=0，因此 y= 10.微分方程(y+x 2 e x )dx 一 xdy=0 的通解是 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x(一 e x +C)）解析：解析：微分方程 (y+x 2 e x )dxxdy=0， 可变形为 =xe x 。 所以其通解为 y= 11.微分方程 ydx+(x 一 3y 2 )dy=0，x0 满足条件 y x=1 =1 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=y 2）解析：解析：对原微分方程变形可得 =3y。
14、 此方程为一阶线性微分方程，所以 x= 12.微分方程 xy +3y =0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 + ）解析：解析：令 p=y ，则原方程化为 p + p=0，其通解为 p=Cx 3 。 因此， y=Cx 3 dx=C 1 一 13.微分方程 y 一 4y=e 2x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 2x +(C 2 + ）解析：解析：对应齐次微分方程的特征方程为 2 一 4=0，解得 1 =2， 2 =一 2。 故 y 一 4y=0的通解为 y 1 =C 1 e 2x +C 2 e
15、 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。 由于非齐次项为 f(x)=e 2x ，=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y * =Axe 2x ， 代入原方程可求出 A= 。 故所求通解为 y=C 1 e 2x +(C 2 + 14.微分方程 y 一 3y +2y=2e x 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=一 3e x +3e 2x 一 2xe x）解析：解析：y 一 3y +2y=2e x 对应的齐次方程的特征方程是 2 一 3+2=0，它的两个特征根分别是 1 =1， 2 =2。因此对应齐次方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x
16、。 又因为 x=1 是特征方程的单根，所以，设非齐次方程的特解为 y * =Axe x ，则 (y * ) =Ae x +Axe x ， (y * ) =2Ae x +Axe x ， 将以上三式代入方程得 A=一 2。 因此，此非齐次线性微分方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x 一 2xe x 。 由所给题设条件可得 y(0)=0，y (0)=1，代入上式解得 y=一 3e x +3e 2x 一 2xe x 。三、解答题(总题数：10，分数：22.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.求微分方程(x 2 一 1)dy+(2xy 一 cosx)d
17、x=0 满足 y(0)=1 的解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：整理微分方程(x 2 一 1)dy(2xycosx)dx=0，得 ， 先解对应的齐次方程 ，解得 lny=一lnx 2 一 1C，即有 y= 。 将上式代入原微分方程得到 ，故 C(x)=sinx+c， 则原微分方程的解为 y= 。 又因为 y(0)=1，代入上式得到 c=一 1，则原微分方程的解为 y= )解析：17.求微分方程 y (x+y 2 )=y 满足初始条件 y(1)=y (1)=1 的特解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因本题不含 y，所以可设 y =p，于是 y =p ，因此原方程变为 p
18、(x+p 2 )=p， 从而有 +p，解之得 x=p(p+C)。 将 P(1)=1 代入 x=p(p+c)得 C=0。于是 x=p 2 ，所以 y = +C 1 ，结合 y(1)=1 得 C 1 = 。 故 y= )解析：设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1，且满足等式 f (x)+f(x)一 （分数：4.00）(1).求导数 f (x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 (x+1)f (x)+(x+1)f(x)一 0 x f(t)dt=0。 上式两边对 x 求导，得 (x+1)f (x)=一(x+2)f (x)， 即有 。 两边积分，得 lnf (x)=一 x 一
19、 ln(x+1)+C 1 ， 所以 f (x)= 。 在题设等式中令 x=0，得 f (0)+f(0)=0。又已知 f(0)=1，于是 f (0)=一 1，代入 f (x)的表达式，得 C=一 1，故有 f (x)= )解析：(2).证明：当 x0 时，成立不等式 e x f(x)1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(I)中结果知，当 x0 时，f (x)0，即 f(x)单调减少，又 f(0)=1，所以f(x)f(0)=1。 设 (x)=f(x)一 e x ，则 (0)=0， (x)=f (x)+e x = )解析：18.利用代换 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由
20、 y= =secx，得 y = secx+secxtanx， y = secx+2 secxtanx+(secxtan 2 x+sec 3 x)， 代入原方程 y cosx 一 2y sinx+3ycosx=e x ，得 +4=e x 。 (*) 先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为 2 +4=0，则特征方程的根为=2i。所以通解为 =C 1 cos2x+C 2 sin2x(C 1 ，C 2 为任意常数)。 再求非齐次方程的特解。设其特解为 * (x)=Ae x ，代入(*)式，得(Ae x ) +4Ae x =Ae x +4Ae x =5Ae x =e x ， 解得 e x 。 故(*
21、)的通解为 (x)=C 1 cos2x+C 2 sin2x+ e x (C 1 ，C 2 为任意常数)。 所以，原微分方程的通解为 y= )解析：19.设 y=y(x)是区间(一 ，)内过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，当一 x0 时，法线均过原点，所以有 y= ，即 ydy=一 xdx，得 y 2 =一 x 2 +C。 又 ，代入 y 2 =一 x 2 +C 得 C= 2 ，从而有 x 2 +y 2 = 2 ，即 y= 。 当 0x 时，y +y+x=0，得其对应齐次微分方程 y +y=0 的通解为 y * =C 1 cosx+C 2 sinx。 设其特解为 y 1 =A
22、x+B，则有 0+Ax+B+x=0，得 A=一 1，B=0，故 y 1 =一 x 是方程的特解，因此 y +y+x=0 的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx 一 x。 因为 y=y(x)是(一 ，)内的光滑曲线，故 y 在 x=0 处连续且可导，所以由已知得 y x=0 =，y x=0 =0， 故得 C 1 =，C 2 =1，所以 )解析：设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点( （分数：4.00）(1).(I)试求曲线 L 的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 L 过点 P
23、(x，y)的切线方程为 Y 一 y=y (X 一 x)，令 X=0，则 Y=xy +y，即它在 y 轴上的截距为xy +y。根据距离公式，点 P(x，y)到坐标原点的距离为 。故由题设条件得 一 xy +y= (x0)， 即得 y = (x0)， 此为一阶齐次微分方程，令 y=x，则 ，代入上式，方程变为 )解析：(2).()求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形面积最小。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(I)知曲线的方程为 y= 一 x 2 ，则 y =一 2x，点 P(x，y)=P(x， 一 x 2 )，所以在点 P 处的切线方程为 Y 一(
24、一 x 2 )=一 2x(X 一 x)， 分别令 X=0，Y=0，解得在 y 轴，x 轴上的截距分别为 x 2 + 。 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 A(x)= (4x 2 +1) 2 ，x0。 由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为 S 0 ，于是题中所求的面积为 S(x)=A(x)一 S 0 = (4x 2 +1) 2 一 S 0 ， 求最值点时与 S 0 无关，而 S (x)= ， 令 S (x)=0，得 x= ，S (x)0。 根据极值存在的第一充分条件知，x= 是 S(x)在 x0 时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为 )解析：20.设 y=y(x
25、)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设及曲率公式，有 ，(因曲线)y=y(x)是凸的，所以 y 0，y =一 y 。) 化简得 =一 dx，两端同时积分解得 arctany =一 x+C 1 。 由题设，曲线上点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，可知 y(0)=1，y (0)=1。 以 x=0 代入上式，得 C 1 = 。 (本题选择 是因为已知曲线在 X=0 处有值，且曲线是一条连续曲线，因此该解的范围应该包含 X=0 在内并且使 y(X)连续的一个区间。) 对上式积分得 又由题设可知 y(0)=1，代入上式，得 C 2 =1
26、 一 ，于是所求的曲线方程为 y= 。 由于 cos( 一 x)1，且 lnx 在定义域内是增函数，所以当且仅当 cos( 一 x)=1 时，即 x= ，所以此时 y 取极大值，极大值为 y=1+ ln2，显然 y 在 )解析：21.假设： 函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)e x 一 1； 平行于 y 轴的动直线MN 与曲线 y=f(x)和 y=e x 一 1 分别相交于点 P 1 和 P 2 ； 曲线 y=f(x)，直线 MN 与 x 轴所围成的封闭图形的面积 S 恒等于线段 P 1 P 2 的长度。 求函数 y=f(x)的表达式。（分数：2.00）_正确答
27、案：(正确答案：由题设可得 0 x f(x)dx=e x 一 1 一 f(x)， 两端求导，得 f(x)=e x 一 f (x)， 即有 f (x)+f(x)=e x 。 由一阶线性方程求解公式，得 f(x)=e x e x e x dx+C=Ce x + e x 。 由 f(0)=0 得 C= ，因此所求函数为 f(x)= )解析：22.设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1。对任意的 t0，+)，直线x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f(x)的表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：旋转体的体积公式 V= 0 t f 2 (x)dx， 侧面积公式 S=2 0 t f(x) ， 根据已知 0 t f 2 (x)dx= 0 t f(x) ， 上式两端对 t 求导得 由分离变量法解得 y+ =Ce t 。 将 y(0)=1 代入，知 C=1，故 因此，所求函数为 y=f(x)= )解析：
