1、考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编 3及答案解析(总分：90.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知函数 yy(x)在任意点 x处的增量 （分数：2.00）A.B.2C.D.3.已知 是微分方程 的解，则 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y“p(x)yq(x)的两个特解若常数 ， 使 y 1 y 2 是该方程的解，y 1 y 2 是对应的齐次方程的解，则（分数：2.00）A.B.C.D.5.具有特解 y 1 e x
2、，y 2 2xe x ，y 3 3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是（分数：2.00）A.y“y“y“y0B.y“y“y“y0C.y“6y“11y“6y0D.y“2y“y“2y06.微分方程 y“yx 2 1sinx 的特解形式可设为（分数：2.00）A.y * ax 2 bxcx(AsinxBcosc)B.y * x(ax 2 bxcAsinxBcosx)C.y * ax 2 bxcAsinxD.y * ax 2 bxcAcosx7.函数 yC 1 e x C 2 e 2x xe x 满足的一个微分方程是（分数：2.00）A.y“y“2y3xe x B.y“y“2y3e x C.y“y“
3、2y3xe x D.y“y“2y3e x 8.在下列微分方程中，以 yC 1 e x C 2 2cos2xC 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是（分数：2.00）A.y“y“4y“4y0B.y“y“4y“4y0C.y“y“4y“4y0D.y“y“4y“4y09.微分方程 y“ 2 ye x e x (0)的特解形式为（分数：2.00）A.a(e x e x )B.ax(e x e x )C.x(ae x be x )D.x 2 (ae x be x )二、填空题(总题数：11，分数：22.00)10.过点 且满足 （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程(
4、yx 2 )dx2xdy0 满足 （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 xy“2yxlnx 满足 （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程(yx 2 e x )dxxdy0 的通解是 y 1（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 y“ye x cosx满足条件 y(0)0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 ydx(x3y 2 )dy0 满足条件 （分数：2.00）填空项 1:_17.微分方程 y“4ye 2x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_18.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“4y“
5、3y2e 2x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.三阶常系数线性齐次微分方程 y“2y“y“2y0 的通解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_20.已知 y 1 e 3x xe 2x ，y 2 e x xe 2x ，y 3 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3个解，则该方程满足条件 y x0 0，y“ x0 1 的解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.求微分方程(3x 2 2xyy 2 )dx出(x 2 2xy)dy0 的通解（分数
6、：2.00）_23.求初值问题 （分数：2.00）_24.求微分方程 xdy(x2y)dx0 的一个解 yy(x)，使得由曲线 yy(x)与直线 x1，x2 以及 x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周的旋转体体积最小（分数：2.00）_25.微分方程 yy“y“ 2 0 满足初始条件 （分数：2.00）_26.求微分方程 y“(zxy“ 2 )y“满足初始条件 y(1)y“(1)1 的特解（分数：2.00）_27.设函数 yf(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且 （分数：2.00）_28.已知 y 1 xe x e 2x ，y 2 xe x e x ，y 3 xe x e 2
7、x e x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求该微分方程（分数：2.00）_29.利用代换 （分数：2.00）_30.设函数 f(x)，g(x)满足 f“(x)g(x)，g“(x)2e 2x f(x)，且 f(0)0，g(0)2，求 （分数：2.00）_31.设函数 yy(x)在(，)内具有二阶导数，且 y“0，xx(y)是 yy(x)的反函数(1)试将xx(y)所满足的微分方程 变换为 yy(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0， （分数：2.00）_32.用变量代换 xcost(0t)化简微分方程(1x 2 )y“xy“y0，并求其满足 （分数：2.00）
8、_33.已知函数 f(x)满足方程 f“(x)f“(x)2f(x)0 及 f“(x)f(x)2e x (1)求 f(x)的表达式； (2)求曲线 yf(x 2 ) 0 x f(t 2 )dt的拐点（分数：2.00）_34.设曲线 L的极坐标方程为 rr()，M(r，)为 L上任一点，M 0 (2，0)为 L上一定点，若极径 OM 0 ，OM 与曲线 L所围成的曲边扇形面积值等于 L上 M 0 、M 两点间弧长值的一半，求曲线 L的方程（分数：2.00）_35.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面
9、由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用，设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y与 v所满足的微分方程，并求出函数关系式 yy(v)（分数：2.00）_36.设 yy(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_37.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y“(x)0，y(0)1_过曲线 yy(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x轴的垂线，上述两直线与 x轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 yy(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2
10、S 1 S 2 恒为 1，求此曲线 yy(X)的方程（分数：2.00）_38.某湖泊的水量为 V，每年排人湖泊内含污染物 A的污水量为 ，流入湖泊内不含 A的水量为 ，流出湖泊的水量为 已知 1999年年底湖中 A的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2000年年初起，限定排入湖泊中含 A污水的浓度不超过 （分数：2.00）_39.设 L是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y轴上的截距，且 L经过点 （分数：2.00）_40.一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S成正比，比例系数 K0假设在融化过程中雪堆始终
11、保持半球体状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的 3小时内，融化了其体积的 （分数：2.00）_41.设位于第一象限的曲线 yf(x)过点 （分数：2.00）_42.有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x(y)(y0)绕 y轴旋转而成的旋转曲面(如图 161)，容器的底面圆的半径为 2m根据设计要求，当以 3m 3 min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以m 2 min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) （分数：2.00）_43.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下现有一质量为 9 000kg的飞机，着
12、陆时的水平速度为 700kmh经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k6010 6 )问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg 表示千克，kmh 表示千米小时)（分数：2.00）_44.设 yy(x)是区间(，)内过点2046*的光滑曲线当x0 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当 0x 时，函数 y(x)满足 y“yx0求函数 y(x)的表达式（分数：2.00）_45.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：yy(x)与直线 yx 相切于原点记 为曲线 l在点(x，y)处切线的倾角，若 （分数：2.00）_考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编
13、3答案解析(总分：90.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知函数 yy(x)在任意点 x处的增量 （分数：2.00）A. B.2C.D.解析：解析：分析 由题设可知函数 yy(x)在点 x处可微，根据微分与导数的关系，可得 ，解此可分离变量方程 详解 根据微分的定义，可知函数 yy(x)在点 x处可微，且由微分与导数的关系，得 ，此为可分离变量方程，分离变量得业 ， 两边积分得 lnyarctanxlnC，即 yCe arctanx ， 代入 y(0)，得 C，于是
14、 ye arctanx ， ，故应选(A) 评注 由 ，根据导数定义得 3.已知 是微分方程 的解，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：分析 将 代入微分方程，再令 的中间变量为 u，求出 (u)的表达式，进而可求出 详解 将 代入微分方程 ，得 令 lnxu，有4.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y“p(x)yq(x)的两个特解若常数 ， 使 y 1 y 2 是该方程的解，y 1 y 2 是对应的齐次方程的解，则（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：分析 此题主要考查线性微分方程解的性质和结构 详解 因 y 1 y 12 是方程y“p(x)y0 的解
15、，所以 (y 1 y 2 )“p(x)(y 1 y 2 )0， 即 y“ 1 p(x)y 1 y“ 2 p(x)y 2 0 由已知得 ()q(x)0， 因为 q(x)0，所以 0， 又 y 1 y 21 是非齐次方程 y“p(x)yq(x)的解， 故 (y 1 y 2 )“p(x)(y 1 y 2 )g(x) 即 y“ 1 p(x)y 1 y“ 2 p(x)y 2 q(x) 由已知得 ()q(x)g(x) 因为 q(x)0，所以 u1， 解得 5.具有特解 y 1 e x ，y 2 2xe x ，y 3 3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是（分数：2.00）A.y“y“y“y0B.y“y“
16、y“y0 C.y“6y“11y“6y0D.y“2y“y“2y0解析：解析：分析 由于常系数线性齐次微分方程由其特征方程唯一确定，因此可先由齐次方程的解得到对应的特征根，再由根与系数的关系确定特征方程，从而得到齐次微分方程 详解 由特解的形式可知，对应特征方程的根为 1 2 1， 3 1，于是特征方程为 (1) 2 (1) 3 3 10，故所求方程为 y“y“y“y0，故应选(B) 评注 已知齐次微分方程的特解，求微分方程，关键在于掌握特征根与对应特解之间的关系，包括实单根、重根和复数根所对应的特解形式6.微分方程 y“yx 2 1sinx 的特解形式可设为（分数：2.00）A.y * ax 2
17、 bxcx(AsinxBcosc) B.y * x(ax 2 bxcAsinxBcosx)C.y * ax 2 bxcAsinxD.y * ax 2 bxcAcosx解析：解析：分析 本题应注意方程的右端为两项之和，因此由叠加原理，方程 y“yx 2 1sinx的特解为方程 y“yx 2 1 的特解与方程 y“ysinx 的特解之和 详解 方程 y“yx 2 1sinx 对应的齐次方程的特征方程为 2 10，特征根为 1，2 i， 由于 a0 不是特征根，于是方程 y“yx 2 1 的特解可设为 y * 1 ax 2 bxc， 而 i 是特征方程的根，于是方程y“ysinx 的特解可设为 y
18、* 1 x(Asinxcosx)， 所以，由叠加原理得原方程的特解可设为 y * ax 2 bxcx(AsinxBcosx) 故应选(A)7.函数 yC 1 e x C 2 e 2x xe x 满足的一个微分方程是（分数：2.00）A.y“y“2y3xe x B.y“y“2y3e x C.y“y“2y3xe x D.y“y“2y3e x 解析：解析：分析 考虑到本题的四个选项都是二阶方程，可先由 yC 1 e x C 2 e 2x xe x 求出 y“，y“，再从 y，y“，y“中消去 C 1 ，C 2 ，即可得到所求的二阶方程 详解 由 yC 1 eC 2 e 2x xe x ，得 y“C
19、1 e x 2C 2 e 2x (x1)e x ，y“C 1 e x 4C 2 e 2x (x2)e x ，从y，y“，y“中消去 C 1 ，C 2 ，得 y“y“2y3x x ，故应选(D)8.在下列微分方程中，以 yC 1 e x C 2 2cos2xC 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是（分数：2.00）A.y“y“4y“4y0B.y“y“4y“4y0C.y“y“4y“4y0D.y“y“4y“4y0 解析：解析：详解 由通解表达式 yC 1 e x C 2 cos2xC 3 sin2x可知其特征根为 1 1， 2，3 2i可见对应特征方程为(1)( 2 4
20、) 3 2 44，故对应微分方程为y“y“4y“4y0，应选(D) 评注 对于三阶或三阶以上的常系数线性微分方程，同样应该掌握其特征方程与对应解之间的关系9.微分方程 y“ 2 ye x e x (0)的特解形式为（分数：2.00）A.a(e x e x )B.ax(e x e x )C.x(ae x be x ) D.x 2 (ae x be x )解析：解析：分析分别把自由项为 e x 及 e x 的特解相加 详解 均是特征方程 r 2 2 0 的根自由项为 e x 及 e x 如的特解形式分别为 x(ae x )及 x(be x )，所以微分方程y“ 2 ye x e x (0)的特解形
21、式为 x(ae x be x )故应选(C) 评注此题主要考查线性微分方程解的结构二、填空题(总题数：11，分数：22.00)10.过点 且满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*。）解析：解析：详解 原方程等价于 ， 方程的通解为 评注 原方程变形为(yarcsinx)“1， 得 yarcsinxxC11.微分方程(yx 2 )dx2xdy0 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*。）解析：解析：详解 所给方程为一阶线性微分方程，先化为一阶线性方程的标准形式 ， 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解为 代入初始条件 ，得 C1， 于是
22、所求特解为12.微分方程 xy“2yxlnx 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*。）解析：解析：分析 先将方程化为一阶线性微分方程的标准形式，再利用其通解公式求解 详解 将原方程化为 ， 于是通解为 代入 ，得 C0，故所求特解为 。 评注 本题也可如下求解： 原方程可化为 x 2 y“2xyx 2 lnx，即 (x 2 y)“x 2 lnx， 两边积分得 ， 再代入初始条件即可得所求解为 13.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 yCre x ）解析：解析：分析 本方程为可分离变量方程先分离变量，然后两边积分 详解 原方程
23、化为 14.微分方程(yx 2 e x )dxxdy0 的通解是 y 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 yx(Ce x )）解析：解析：详解 原方程可改写为 ， 于是通解为15.微分方程 y“ye x cosx满足条件 y(0)0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 e x sinx）解析：解析：分析直接按一阶线性微分方程公式求解 详解微分方程的通解为 16.微分方程 ydx(x3y 2 )dy0 满足条件 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*。）解析：解析：分析 求解本题的关键是把 x看作未知函数，把
24、 y看作自变量，从而化为一阶线性非齐次方程 详解 由 ydx(x 一 3y 2 )dy0 有 ，所以 将 代入得 C0，即解为 xy 2 又 x1，y1，故 17.微分方程 y“4ye 2x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：详解 方程 y“4ye 2x 对应的齐次方程的特征方程为 2 40，特征根为 1 2， 2 2，故对应的齐次方程通解为 C 1 e 2x C 2 e 2x 因为 2 为特征方程的一重根，因此原方程的特解可设为 yAxe 2x ，代入原方程得 所以原方程的通解为 yC 1 e 2x C 2 e 2x 18.二阶常系数非齐
25、次线性微分方程 y“4y“3y2e 2x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 yC 1 e x C 2 e 3x 2e 2x ）解析：解析：详解 特征方程为 2 430，解得 1 1， 2 3可见对应齐次线性微分方程 y“4y“3y0 的通解为 yC 1 e x C 2 e 3x 设非齐次线性微分方程 y“4y“3y2e 的特解为 yke 2x ，代入非齐次方程可得 k2 故通解为 yC 1 e x C 2 e 3x2 2e 2x 19.三阶常系数线性齐次微分方程 y“2y“y“2y0 的通解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
26、：应填 yC 1 e 2x C 1 cosxC 3 sinx。）解析：解析：分析 求特征方程的解，直接写出三阶常系数线性齐次微分方程的通解，属基础题型 详解y“2y“y“2y0 的特征方程为 3 2 2 20， 即(2)( 2 1)0，解得 1 2， 2,3 i，所以通解为 yC 1 e 2x C 2 cos xC 3 sin x 评注 虽然此题是三阶微分方程，但是考试大纲明确要求会的内容20.已知 y 1 e 3x xe 2x ，y 2 e x xe 2x ，y 3 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3个解，则该方程满足条件 y x0 0，y“ x0 1 的解为 y 1（分数：
27、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 e 3x e x xe 2x ）解析：解析：详解 由已知条件有 y 1 y 3 e 3x ，y 2 y 3 e x ，显然 y 1 y 3 ，y 2 y 3 线性无关， 所以该二阶常系数非齐次线性微分方程方程的通解为 yC 1 e 3x C 2 e x xe 2x ，C 1 ，C 2 为任意常数 由 y x0 O，有 C 1 C 2 0， 由 y“ x0 1，有 3C 1 C 2 11， 解得 C 1 1，C 1 1，故该方程满足条件 y x0 0，y“ x0 1 的解为 ye 3x e x xe 2x 三、解答题(总题数：25，分数：50
28、.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.求微分方程(3x 2 2xyy 2 )dx出(x 2 2xy)dy0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程化为 令 ，有 y一xu，y“uxu“， 代入方程并分离变量得 两边积分得 ln1uu 2 3lnxlnC， 即 1uu 2 Cx 3 ， 代入 ，得方程的通解为 x 2 xyy 2 )解析：解析：分析 本题的方程是齐次方程，按齐次方程的方法进行求解即可 评注 对于齐次方程，有时化为 进行求解会更简单：此时令 ，有 ，方程化为23.求初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
29、案：将方程化为 ， 令 ，有 yxu， ， 代入方程并分离变量得 ，两边积分得 ， 代入 ，得方程的通解为 代入初始条件 ，得 C1， 于是所求解为)解析：解析：所给方程为齐次方程，按齐次方程的方法进行求解即可24.求微分方程 xdy(x2y)dx0 的一个解 yy(x)，使得由曲线 yy(x)与直线 x1，x2 以及 x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周的旋转体体积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程为 ，则 所求旋转体的体积为 令 ，得唯一驻点又 为最小值点，于是所求曲线方程为 )解析：25.微分方程 yy“y“ 2 0 满足初始条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
30、案：应填 )解析：解析：详解 这是不显含 x的可降阶方程，令 py“，有 原方程化为 ， 于是有p0 或 ， 显然 p0 不满足初始条件 ， 因此必有 两边积分得 代入初始条件 于是 ，即 2ydydx，两边积分得 y 2 xC， 代入 得 C 2 1， 故所求特解为 y 2 x1 或 (由初始条件 ，故取 )。 评注 对于不显含 x的可降阶方程 y“f(y，y“)，令 py“(这里 )对于该类型方程，通过变量代换 py“，将原方程化为关于变量 p与 y的一阶方程 26.求微分方程 y“(zxy“ 2 )y“满足初始条件 y(1)y“(1)1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令
31、 y“u，则原方程化为 u“(xu 2 )u 即 ，利用 uy“(1)1，有C0，于是 xu 2 或1890*，代入初始条件 y(1)1，得 ，故满足初始条件 y(1)y“(1)1 的特解为 )解析：解析：本题为可降阶的二阶微分方程，作变量代换即可27.设函数 yf(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由参数方程确定函数的求导公式 可得 。 由题意知 ， 从而“(t)(t1)“(t)3(t1) 2x 。 解微分方程 令 y“(t)，则 。 所以 。 因为 y(1)“(1)6，故 y3t(t1)，即 “(t)3f(t1)， 故 。 又由
32、 )解析：解析：此题是参数方程确定函数的导数与微分：疗程相结合的一道综合题，有一定难度28.已知 y 1 xe x e 2x ，y 2 xe x e x ，y 3 xe x e 2x e x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求方程为 y“py“qyf(x)，只需求出 p，q，f(x)即可 由线性方程解的性质，得 y 1 y 3 e x ，(y 1 y 2 )(y 1 y 3 )e 2x 是对应的齐次方程 y“py“qy0 的两个线性无关的解，所以 1 1， 2 2 是特征方程 2 pq0 的根，由根与系数的关系，得 P1，q2将 y
33、 1 xe x e 2x 代入方程 y“Py“qyf(x)，可得 f(x)(12x)e x 所求方程为 y“y“2y(12x)e)解析：解析：分析 由于二阶常系数线性齐次微分方程由其特征方程唯一确定，因此可先由齐次方程的解得到对应的特征根，再由根与系数的关系确定特征方程，从而得到齐次微分方程 评注 1 对于二阶常系数线性齐次微分方程 y“py“qy0，函数 Ae x 是其解的充要条件为 是特征方程 2 pq0 的根；函数 Aesinx，Be x cosx，或 e x (AsinxBcosx)是其解的充要条件为 土 是特征方程 2 pq0 的根 评注 2 对于本题，由于 y 1 y 3 e x ，(y 1 y 21 )(y 1 y 3 )e 2x 是对应的齐次方程 y“py“qy0 的两个线性无关的解，y 2 (y 3 y 1 )xe x 是对应的非齐次方程的一个特解，所以，所求方程的通解为 yC 1 e 2x C 2 e x xe x 评注 3 易求出 y“2C 1 e 2x C 2 e x xe x e x ，y“4C 1 e 2x C 2 e x xe x 2e x ，从 y，y“，y“中消去 C 2 ，C 2 ，即可得到所求的二阶方程为 y“y“2y(12x)e x 29.利用代换 （分数：2.00）_
