1、在职硕士学位入学资格考试 GCT 数学真题 2004 年及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.在一条长 3600m 的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔 40m 原已挖好一个坑，现改为每隔 60m立一根电线杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是( )（分数：4.00）A.(A) 50 和 40B.(B) 40 和 50C.(C) 60 和 30D.(D) 30 和 602.某校有若干女生住校，若每间房住 4 人，则还剩 20 人未住下，若每间住 8 人，则仅有一间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为( )（分数：4.
2、00）A.(A) 4B.(B) 5C.(C) 6D.(D) 73.甲、乙两种茶叶以 x:y(重量比)混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤 50 元，乙种每斤 40 元，现甲种茶价格上涨 10%，乙种茶价格下降 10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则 x:y 等于( )（分数：4.00）A.(A) 1:1B.(B) 5:4C.(C) 4:5D.(D) 5:64.设 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则 S2004+S2005=( )（分数：4.00）A.(A) 2B.(B) 1C.(C) 0D.(D) -15.在一条公路上，汽车 A，B，C 分别以每小时 80km，70km，50km 的速度
3、匀速行驶，汽车 A 从甲站开向乙站，同时车 B、车 C 从乙站出发与车 A 相向而行开往甲站，途中车 A 与车 B 相遇两小时后再与车 C 相遇，那么甲乙两站相距( )（分数：4.00）A.(A) 2010kmB.(B) 2005kmC.(C) 1690kmD.(D) 1950km6.已知 ab1，且满足 2a2+2008a+3=0 和 3b2+2008b+2=0，则( )（分数：4.00）A.(A) 3a-2b=0B.(B) 2a-3b=0C.(C) 3a+2b=0D.(D) 2a+3b=07.实数 a，b，c 在数轴上的位置如图 26 所示，图中 O 为原点，则代数式|a+b|-|b-a|
4、+|a-c|+c=( ) （分数：4.00）A.(A) -3a+2cB.(B) -a-ab-2cC.(C) a-2bD.(D) 3a8.设 a，b，c 均为正数，若 （分数：4.00）A.(A) cabB.(B) bcaC.(C) abcD.(D) cba9.argz 表示 z 的幅角，今又 =arg(2+i)，=arg(-1+2i)，则 sin(+)=( ) （分数：4.00）A.B.C.D.10.将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，每格至多放一个球，则 3 个空格相连的概率是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.11.如图 27 所示，直角ABC 中C 为直角，点 E 和
5、D，F 分别在直角边 AC 和斜边 AB 上，且AF=FE=ED=DC=CB，则A=( ) （分数：4.00）A.B.C.D.12.如图 28 所示，长方形 ABCD 由 4 个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH 构成，若长方形 ABCD 的面积为S，则正方形 EFGH 的面积为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.13.ABC 中，AB=5，AC=3，A=x，该三角形 BC 边上的中线长是 x 的函数 y=f(x)，则当 x 在(0，)中变化时，函数 f(x)取值的范围是( )（分数：4.00）A.(A) (0，5)B.(B) (1，4)C.(C) (3，4)D.(D) (2，5)14
6、.直线 l 与直线 2x-y=1 关于直线 x+y=0 对称，则直线 l 的方程为( )（分数：4.00）A.(A) x-2y=1B.(B) x+2y=1C.(C) 2x+y=1D.(D) 2x-y=115.在圆心为 O，半径为 15 的圆内有一点 P，若 OP=12，则在过 P 点的弦中，长度为整数的有( )（分数：4.00）A.(A) 14 条B.(B) 24 条C.(C) 12 条D.(D) 11 条16.如图 29 所示，f(x)，g(x)是两个逐段线性的连续函数，设 u(x)=f(g(x)，则 u(1)的值为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.17.过点(p，sinp)作曲线
7、y=sinx 的切线，设该曲线与切线及 y 轴所围成的面积为 S1，曲线与直线 x=P 及x 轴所围成的面积为 S2，则( )（分数：4.00）A.B.C.D.18.如下不等式成立的是( )（分数：4.00）A.(A) 在(-3，0)区间上，ln3-xln(3+x)B.(B) 在(-3，0)区间上，ln3-xln(3+x)C.(C) 在(0，+)区间上，ln3-xln(3+x)D.(D) 在0，+)区间上，ln3-xln(3+x)19.设 f(x)为连续函数，且 ，则 （分数：4.00）A.(A) 0B.(B) 1C.(C) -1D.(D) 20.如图 30 所示，抛物线 把曲线 y=x(b-
8、x)(b0)与 轴所构成的区域面积分为 SA与 SB两部分，则( ) （分数：4.00）A.(A) SAS BB.(B) SA=SBC.(C) SAS BD.(D) SA与 SB的大小关系与 b 的数值有关21.设 =M0，则行列式 （分数：4.00）A.(A) 8MB.(B) 2MC.(C) -2MD.(D) -8M22.若向量 ， 线性无关，而向量 +2，2+k，3+ 线性相关，则 k=( )（分数：4.00）A.(A) 3B.(B) 2C.(C) -2D.(D) -323. ，C=AB -1，则矩阵 C-1中，第 3 行第 2 列的元素是( )（分数：4.00）A.B.C.D.24.设矩
9、阵 （分数：4.00）A.(A) x=-8，B 的秩=1B.(B) x=-8，B 的秩=2C.(C) x=8，B 的秩=1D.(D) x=8，B 的秩=225.下列矩阵中，与对角阵 相似的矩阵是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.在职硕士学位入学资格考试 GCT 数学真题 2004 年答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.在一条长 3600m 的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔 40m 原已挖好一个坑，现改为每隔 60m立一根电线杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是( )（分数：4.00）A.(A) 50 和
10、 40B.(B) 40 和 50C.(C) 60 和 30D.(D) 30 和 60 解析：解析 方法一 每隔 40m 挖坑的数为 360040+1=91，每隔 60m 挖坑的数量是 360060+1=61 由于 40 和 60 的最小公倍数为 120，可知挖重叠的坑的数量为：3600120+1=31，因此需要重新挖坑的数量为 91-31=60，选(D) 方法二 40 和 60 的最小公倍数是 120，在 120m 的距离内需挖一个新坑和填掉原来的两个坑，故需重新挖坑和填坑的个数分别是 30 和 602.某校有若干女生住校，若每间房住 4 人，则还剩 20 人未住下，若每间住 8 人，则仅有一
11、间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为( )（分数：4.00）A.(A) 4B.(B) 5C.(C) 6 D.(D) 7解析：解析 设该校有女生宿舍 z 间，则有 7x4x+208x，解得 x=6，选(C)3.甲、乙两种茶叶以 x:y(重量比)混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤 50 元，乙种每斤 40 元，现甲种茶价格上涨 10%，乙种茶价格下降 10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则 x:y 等于( )（分数：4.00）A.(A) 1:1B.(B) 5:4C.(C) 4:5 D.(D) 5:6解析：解析 方法一 价格变化前成品价格为 元，价格变化时成品价格为 元，浮动前后成品价格保持不变
12、方法二 由于 50x+40y=(50+500.1)x+(40-400.1)y，所以 = ，选(C)4.设 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则 S2004+S2005=( )（分数：4.00）A.(A) 2B.(B) 1 C.(C) 0D.(D) -1解析：解析 方法一 S n=1-2+3-4+(-1)n-1n= ，S2004=-10025.在一条公路上，汽车 A，B，C 分别以每小时 80km，70km，50km 的速度匀速行驶，汽车 A 从甲站开向乙站，同时车 B、车 C 从乙站出发与车 A 相向而行开往甲站，途中车 A 与车 B 相遇两小时后再与车 C 相遇，那么甲乙两站相距( )
13、（分数：4.00）A.(A) 2010kmB.(B) 2005kmC.(C) 1690kmD.(D) 1950km 解析：解析 方法一 设 AB 相遇时所用时间为 t，则 AC 相遇时所用时间为(t+2)，则有(70+80)t=(80+50)(t+2)t=13，因此甲、乙两站距离为(70+80)13=1950km 方法二 设甲乙两站相距 lkm，则 ，解得l=1950选(D)6.已知 ab1，且满足 2a2+2008a+3=0 和 3b2+2008b+2=0，则( )（分数：4.00）A.(A) 3a-2b=0B.(B) 2a-3b=0 C.(C) 3a+2b=0D.(D) 2a+3b=0解析
14、：解析 方法一2a2+2008a+3=0 4a2+20082a+6=0 3b2+2008b+2=0 9b2+20083b+6=0 式-得(2a-3b)(2a+3b)+2008(2a-3b)=0(2a-3b)(2a+3b+2008)=0 2a-3b=0 或 2a+36+2008=0方法二 由于 ，且 ab1，所以当 时， ，当时，从而有 2a-3b=0选(B)或根据 4a2-9b2+2008(2a-3b)=0，也可以推出有 2a-3b=07.实数 a，b，c 在数轴上的位置如图 26 所示，图中 O 为原点，则代数式|a+b|-|b-a|+|a-c|+c=( ) （分数：4.00）A.(A) -
15、3a+2c B.(B) -a-ab-2cC.(C) a-2bD.(D) 3a解析：解析 由图 47 可知 ba0，c0，因此 a+b0，b-a0，a-c0，故有|a+b|-|b-a|+|a-c|+c=-a-b+b-a-(a-c)+c=-3a+2c，选(A) 8.设 a，b，c 均为正数，若 （分数：4.00）A.(A) cab B.(B) bcaC.(C) abcD.(D) cba解析：解析 方法一 ，因 a，b，c 均为正数，故 a+bb+ca+c bac 方法二 本题利用代入法最为简单，当 cab 时，正分数 ， 的分子依次增大、分母依次减小，所以9.argz 表示 z 的幅角，今又 =a
16、rg(2+i)，=arg(-1+2i)，则 sin(+)=( ) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 依题意可知： ， ，10.将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，每格至多放一个球，则 3 个空格相连的概率是( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 3 个空格相连的放法有 种，又总的放法有 种(由于是相同的球，故不是 )，故 3 个空格相连的概率为选(C)11.如图 27 所示，直角ABC 中C 为直角，点 E 和 D，F 分别在直角边 AC 和斜边 AB 上，且AF=FE=ED=DC=CB，则A=( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A
17、F=FE=ED=CB A=FEA，EFB=EDA，DCE=DEC，B=CDB 由三角形性质知：EFB=2A，EFB+A=CED CED=3A 又因 ，知12.如图 28 所示，长方形 ABCD 由 4 个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH 构成，若长方形 ABCD 的面积为S，则正方形 EFGH 的面积为( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 方法一 设 AB=a，BC=b，则 S=ab 由ADE，AHB，EFG 和BGC 都是等腰直角三角形，知 又因四边形 EFGH 是正方形，故 ，即有 ， ，选(C) 方法二 设小正方形的边长是 a，则 GC 的长度是 2a，HB 的长度
18、是 3a，AD 的长度是 ，所以 ，从而13.ABC 中，AB=5，AC=3，A=x，该三角形 BC 边上的中线长是 x 的函数 y=f(x)，则当 x 在(0，)中变化时，函数 f(x)取值的范围是( )（分数：4.00）A.(A) (0，5)B.(B) (1，4) C.(C) (3，4)D.(D) (2，5)解析：解析 方法一 如图 48 所示，SABC =SABD +SADC 5ysin+3ysin=15sinx 在ACD 和ABD 中由余弦定理得：|BD|2=|AB|2+|AD|2-2|AB|AD|cos=5 2+y2-25ycos；|DC|2=|AC|2+|AD|2-2|AC|AD|
19、cos=3 2+y2-23ycos；因 D 是 BC 的中线，故 5ycos-3ycos=8 由式 2+ 2整理得 34y2-30y2cos(+)=225sin 2x+64(+=x)，(15cosx-y2)2=(17-y2) 2y2=17-15cosx，由 x(0，)，知 1y 216，即 1y4方法二 如图 49 所示，当A=x 在(0，)内变化时，BC 边上的中线长 f(x)的变化范围是(1，4)选(B)14.直线 l 与直线 2x-y=1 关于直线 x+y=0 对称，则直线 l 的方程为( )（分数：4.00）A.(A) x-2y=1 B.(B) x+2y=1C.(C) 2x+y=1D.
20、(D) 2x-y=1解析：解析 如图 50 所示，由于直线 2x-y=1 过点(0，-1)， ，这两点关于直线 x+y=0 的对称点分别是(1，0)， ，故直线 l 过点(1，0)，所以其方程为 y=，选(A) 15.在圆心为 O，半径为 15 的圆内有一点 P，若 OP=12，则在过 P 点的弦中，长度为整数的有( )（分数：4.00）A.(A) 14 条B.(B) 24 条 C.(C) 12 条D.(D) 11 条解析：解析 最长的弦长是直径，OP 垂直于所求的直线是，弦长最短最短的弦长为16.如图 29 所示，f(x)，g(x)是两个逐段线性的连续函数，设 u(x)=f(g(x)，则 u
21、(1)的值为( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 u(1)=f(g(1)g(1)，g(1)=3，g(1)=-3，f(g(1)=f(3)= ，所以17.过点(p，sinp)作曲线 y=sinx 的切线，设该曲线与切线及 y 轴所围成的面积为 S1，曲线与直线 x=P 及x 轴所围成的面积为 S2，则( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 如图 51 所示由于 所以18.如下不等式成立的是( )（分数：4.00）A.(A) 在(-3，0)区间上，ln3-xln(3+x)B.(B) 在(-3，0)区间上，ln3-xln(3+x) C.(C) 在(0，+)区间上，
22、ln3-xln(3+x)D.(D) 在0，+)区间上，ln3-xln(3+x)解析：解析 方法一 x0 x+33 ln(x+3)ln3 ln(x+3)ln3-x 当-3x0 时，有33+x，ln3ln(3+x)，In3-xln(3+x)，故选(B) 方法二 令 f(x)=ln(3+x)+x-ln3，则19.设 f(x)为连续函数，且 ，则 （分数：4.00）A.(A) 0B.(B) 1C.(C) -1 D.(D) 解析：解析 方法一 因(xsinx)=sinx+xcosx，而 ，故 ， =-1 方法二 因为 20.如图 30 所示，抛物线 把曲线 y=x(b-x)(b0)与 轴所构成的区域面积
23、分为 SA与 SB两部分，则( ) （分数：4.00）A.(A) SAS BB.(B) SA=SB C.(C) SAS BD.(D) SA与 SB的大小关系与 b 的数值有关解析：解析 如图 52 所示，有交点 ，得 x=0 或 ，SB=S1+S2，因，所以 选(B)21.设 =M0，则行列式 （分数：4.00）A.(A) 8M B.(B) 2MC.(C) -2MD.(D) -8M解析：解析 22.若向量 ， 线性无关，而向量 +2，2+k，3+ 线性相关，则 k=( )（分数：4.00）A.(A) 3B.(B) 2C.(C) -2D.(D) -3 解析：解析 因为向量 +2，2+k，3+ 线
24、性相关，所以存在不全为零的 k1，k 2，k 3使得 k1(+2)+k2(2+k)+k 3(3+)=0，即(k 1+k3)+(2k 2+2k2)+(kk 2+3k3)=0，又向量 ， 线性无关，故由非零解，从而23. ，C=AB -1，则矩阵 C-1中，第 3 行第 2 列的元素是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 C=AB-1，以 C-1=(AB-1)-1=BA-1所以矩阵 C-1中，第 3 行第 2 列的元素是24.设矩阵 （分数：4.00）A.(A) x=-8，B 的秩=1 B.(B) x=-8，B 的秩=2C.(C) x=8，B 的秩=1D.(D) x=8，B 的秩=2解析：解析 方法一 由 ，因 AB=0，B0，故有即 故可令 ，r(B)=1，选(A) 方法二 根据题意可知 AX=0 有非零解，所以25.下列矩阵中，与对角阵 相似的矩阵是( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 与对角阵 相似的矩阵对应于特征值 =1 应有两个线性无关的特征向量，由于秩等于2，秩等于 2，秩等于 1，秩等于 2，所以矩阵对应于特征值 =1 有两个线性无关的特征向量，故其与对角阵 相似选(C)
