1、 2013 年 普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.（ 5 分）设集合 M=x|x2+2x=0， xR ， N=x|x2 2x=0， xR ，则 MN= （ ） A.0 B.0， 2 C. 2， 0 D. 2， 0， 2 解析： M 为方程 x2+2x=0 的解集，则 M=x|x2+2x=0=0， 2， N 为方程 x2 2x=0 的解集，则 N=x|x2 2x=0=0， 2， 故集合 MN=0 ， 2， 2， 答案： D. 2.（ 5 分）定义域为 R 的四个
2、函数 y=x3， y=2x， y=x2+1， y=2sinx 中，奇函数的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 解析： y=x3的定义域为 R，关于原点对称，且（ x） 3= x3，所以函数 y=x3为奇函数； y=2x的图象过点（ 0， 1），既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称，为非奇非偶函数； y=x2+1 的图象过点（ 0， 1）关于 y 轴对称，为偶函数； y=2sinx 的定义域为 R，关于原点对称，且 2sin（ x） = 2sinx，所以 y=2sinx 为奇函数； 所以奇函数的个数为 2， 答案： C. 3.（ 5 分）若复数 z 满足 iz=2+4i，则在复平面内
3、， z 对应的点的坐标是（ ） A.（ 2， 4） B.（ 2， 4） C.（ 4， 2） D.（ 4， 2） 解析： 复数 z 满足 iz=2+4i，则有 z= = =4 2i， 故在复平面内， z 对应的点的坐标是（ 4， 2）， 答案： C. 4.（ 5 分）已知离散型随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 P 则 X 的数学期望 E（ X） =（ ） A. B.2 C. D.3 解析：由数学期望的计算公式即可得出： E（ X） = = . 答案： A. 5.（ 5 分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ） A.4 B. C. D.6 解析： 几何体是四棱台，下底面是边长
4、为 2 的正方形，上底面是边长为 1 的正方形，棱台的高为 2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四 棱 台的体积为V= = . 答案： B. 6.（ 5 分）设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A.若 ， m ， n ，则 mn B.若 ， m ， n ，则 mn C.若 mn ， m ， n ，则 D.若 m ， mn ， n ，则 解析：选项 A，若 ， m ， n ，则可能 mn ， mn ，或 m， n 异面，故 A 错误； 选项 B，若 ， m ， n ，则 mn ，或 m， n 异面，故 B 错误； 选项 C，若 mn ， m ， n ，
5、则 与 可能相交，也可能平行，故 C 错误； 选项 D，若 m ， mn ，则 n ，再由 n 可得 ，故 D正确 . 答案： D 7.（ 5 分）已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F（ 3， 0），离心率等于 ，则 C 的方程是（ ） A. B. C. D. 解析： 设双曲线方程为 （ a 0， b 0），则 双曲线 C 的右焦点为 F（ 3， 0），离心率等于 ， ， c=3 ， a=2， b 2=c2 a2=5 双曲线方程为 . 答案： B. 8.（ 5 分）设整数 n4 ，集合 X=1， 2， 3， ， n.令集合 S=（ x， y， z） |x， y， zX ，且三条件 x y
6、 z， y z x， z x y 恰有一个成立 .若（ x， y， z）和（ z， w， x）都在 S中，则下列选项正确的是（ ） A.（ y， z， w） S ，（ x， y， w） S B.（ y， z， w） S ，（ x， y， w） S C.（ y， z， w） S，（ x， y， w） S D.（ y， z， w） S，（ x， y， w） S 解析：特殊值排除法， 取 x=2， y=3， z=4， w=1，显然满足（ x， y， z）和（ z， w， x）都在 S 中， 此时（ y， z， w） =（ 3， 4， 1） S ，（ x， y， w） =（ 2， 3， 1） S ，故
7、 A、 C、 D 均错误； 只有 B 成立，故选 答案： B. 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6小题，每小题 5 分，满分 30 分 . 9.（ 5 分）不等式 x2+x 2 0 的解集为 . 解析： 方程 x2+x 2=0 的两根为 2， 1， 且函数 y=x2+x 2 的图象开口向上， 所以不等式 x2+x 2 0 的解集为（ 2， 1） . 答案：（ 2， 1） . 10.（ 5 分）若曲线 y=kx+lnx 在点（ 1， k）处的切线平行于 x 轴，则 k= . 解析： 由 题意得， y =k+ ， 在点（ 1， k）处的切线平行于 x 轴， k+1=0 ，得 k= 1，
8、答案： 1. 11.（ 5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 4，则输出 s 的值为 . 解析：当 i=1 时， S=1+1 1=1； 当 i=2 时， S=1+2 1=2； 当 i=3 时， S=2+3 1=4； 当 i=4 时， S=4+4 1=7； 当 i=5 时，退出循环，输出 S=7； 答案： 7. 12.（ 5 分）在等差数列 an中，已知 a3+a8=10，则 3a5+a7= . 解析： 由等差数列的性质得： 3a5+a7=2a5+（ a5+a7） =2a5+（ 2a6） =2（ a5+a6） =2（ a3+a8） =20， 答案： 20. 13.（ 5 分）给定区
9、域 D： .令点集 T=（ x0， y0） D|x 0， y0Z ，（ x0， y0）是 z=x+y在 D 上取得最大值或最小值的点 ，则 T 中的点共确定 条不同的直线 . 解析：画出不等式表示的平面区域，如图 . 作出目标函数对应的直线，因为直线 z=x+y 与直线 x+y=4 平行，故直线 z=x+y 过直线 x+y=4上的整数点：（ 4， 0），（ 3， 1），（ 2， 2），（ 1， 3）或（ 0， 4）时，直线的纵截距最大， z 最大； 当直线过（ 0， 1）时，直线的纵截距最小， z 最小，从而点集 T=（ 4， 0），（ 3， 1），（ 2， 2），（ 1， 3），（ 0， 4
10、），（ 0， 1） ，经过这六个点的直线一共有 6 条 . 即 T 中的点共确定 6 条不同的直线 . 答案： 6. 14.（ 5 分）（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线 C 的参数方程为 （ t 为参数）， C 在点（ 1， 1） 处的切线为 l，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 l 的极坐标方程为 . 解析：由 （ t 为参数），两式平方后相加得 x2+y2=2， （ 4 分） 曲线 C 是以（ 0， 0）为圆心，半径等于 的圆 . C 在点（ 1， 1）处的切线 l 的方程为 x+y=2， 令 x=cos ， y=sin ， 代入 x+y=2，并整理得 cos+
11、sin 2=0，即 或， 则 l 的极坐标方程为 cos+sin 2=0（填 或也得满分） . （ 10 分） 答案： cos+sin 2=0（填 或 也得满分） . 15.如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，延长 BC 到 D 使 BC=CD，过 C作圆 O的切线交AD 于 E.若 AB=6， ED=2，则 BC= . 解析： AB 是圆 O 的直径， ACB=90 .即 ACBD . 又 BC=CD ， AB=AD ， D=ABC ， EAC=BAC . CE 与 O 相切于点 C， ACE=ABC .AEC=ACB=90 . CEDACB . ，又 CD=BC， . 答
12、案： 三、 答案 题：本大题共 6 小题，满分 80分 .答案 须写出文字说明、证明过程和演算步骤 . 16.（ 12 分）已知函数 ， xR . （ 1）求 的值； （ 2）若 ， ，求 . 解析： （ 1）把 x= 直接代入函数解析式求解 . （ 2）先由同角三角函数的基本关系求出 sin 的值以及 sin2 ，然后将 x=2+ 代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果 . 答案： （ 1） （ 2）因为 ， 所以 所以 所以=17.（ 12 分）某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数 . （ 1）根据茎叶图计算样本
13、均值； （ 2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人 .根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人？ （ 3）从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率 . 解析： （ 1）茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果； （ 2）先由（ 1）求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人的人数； （ 3）设 “ 从该车间 12 名工人中，任取 2 人，恰有 1 名优秀工人 ” 为事件 A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件 A 的概率 . 答案： （ 1）样本均值为 （
14、 2）抽取的 6 名工人中有 2 名为优秀工人， 所以 12 名工人中有 4 名优秀工人 （ 3）设 “ 从该车间 12 名工人中，任取 2 人，恰有 1 名优秀工人 ” 为事件 A， 所以 ， 即恰有 1 名优秀工人的概率为 . 18.（ 14 分）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， A=90 ， BC=6， D， E 分别是 AC， AB 上的点， ， O为 BC的中点 .将 ADE 沿 DE折起，得到如图 2所示的四棱椎 A BCDE，其中 AO= . （ 1）证明： AO 平面 BCDE； （ 2）求二面角 A CD B 的平面角的余弦值 . 解析： （ 1）连接 OD， OE.
15、在等腰直角三角形 ABC 中， B=C=45 ， ，AD=AE= ， CO=BO=3.分别在 COD 与 OBE 中，利用余弦定理可得 OD， OE.利用勾股定理的逆定理可证明 AOD=AOE=90 ，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （ 2）方法一：过点 O 作 OFCD 的延长线于 F，连接 AF .利用（ 1）可知： AO 平面 BCDE，根据三垂线定理得 AFCD ，所以 AFO 为二面角 A CD B的平面角 .在直角 OCF 中，求出 OF 即可； 方法二：取 DE 中点 H，则 OHOB .以 O 为坐标原点， OH、 OB、 OA 分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系
16、 .利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角 . 答案： （ 1）证明：连接 OD， OE. 因为在等腰直角三角形 ABC 中， B=C=45 ， ， CO=BO=3. 在 COD 中， ，同理得 . 因为 ， . 所以 AO 2+OD2=AD 2， AO 2+OE2=AE 2. 所以 AOD=AOE=90 所以 AOOD ， AOOE ， ODOE=O . 所以 AO 平面 BCDE. （ 2）方法一： 过点 O 作 OFCD 的延长线于 F，连接 AF 因为 AO 平面 BCDE. 根据三垂线定理，有 AFCD . 所以 AFO 为二面角 A CD B 的平面角 . 在 RtCOF 中，
17、. 在 RtAOF 中， . 所以 . 所以二面角 A CD B 的平面角的余弦值为 . 方法二： 取 DE 中点 H，则 OHOB . 以 O 为坐标原点， OH、 OB、 OA 分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 . 则 O（ 0， 0， 0）， A （ 0， 0， ）， C（ 0， 3， 0）， D（ 1， 2， 0） =（ 0， 0， ）是平面 BCDE 的一个法向量 . 设平面 ACD 的法向量为 n=（ x， y， z） ， . 所以 ，令 x=1，则 y= 1， . 所以 是平面 ACD 的一个法向量 设二面角 A CD B 的平面角为 ，且 所以 所以二面角 A CD
18、 B 的平面角的余弦值为 19.（ 14 分）设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a1=1， ， nN *. （ 1）求 a2的值； （ 2）求数列 an的通项公式； （ 3）证明：对一切正整数 n，有 . 解析： （ 1）利用已知 a1=1， ， nN *.令 n=1 即可求出； （ 2）利用 an=Sn Sn 1（ n2 ）即可得到 nan+1=（ n+1） an+n（ n+1），可化为 ，.再利用等差数列的通项公式即可得出； （ 3）利用（ 2），通过放缩法 （ n2 ）即可证明 . 答案： 解：（ 1）当 n=1 时， ，解得 a2=4 （ 2） 当 n2 时， 得 整理得 na
19、n+1=（ n+1） an+n（ n+1），即 ， 当 n=1 时， 所以数列 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列 所以 ，即 所以数列 an的通项公式为 ， nN * （ 3）因为 （ n2 ） 所以= 20.（ 14 分）已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F（ 0， c）（ c 0）到直线 l： x y 2=0的距离为 ，设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA， PB，其中 A， B 为切点 . （ 1）求抛物线 C 的方程； （ 2）当点 P（ x0， y0）为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； （ 3）当点 P 在直线 l 上移动时，求
20、 |AF|BF|的最小值 . 解析： （ 1）利用焦点到直线 l： x y 2=0 的距离建立关于变量 c 的方程，即可解得 c，从而得出抛物线 C 的方程； （ 2）先设 ， ，由（ 1）得到抛物线 C 的方程求导数，得到切线 PA， PB 的斜率，最后利用直线 AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线 AB 的方程； （ 3）根据抛物线的定义， 有 ， ，从而表示出 |AF|BF|，再由（ 2）得 x1+x2=2x0， x1x2=4y0， x0=y0+2，将它表示成关于 y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|BF|的最小值 . 答案： （ 1）焦点 F（ 0， c）（ c 0）到直线
21、l： x y 2=0 的距离 ，解得 c=1 所以抛物线 C 的方程为 x2=4y （ 2）设 ， 由（ 1）得抛物线 C 的方程为 ， ，所以切线 PA， PB 的斜率分别为 ， 所以 PA： PB ： 联立 可得点 P 的坐标为 ，即 ， 又因为切线 PA 的斜率为 ，整理得 直线 AB 的斜率 所以直线 AB 的方程为 整理得 ，即 因为点 P（ x0， y0）为直线 l： x y 2=0 上的点，所以 x0 y0 2=0，即 y0=x0 2 所以直线 AB 的方程为 （ 3）根据抛物线的定义，有 ， 所以=由（ 2）得 x1+x2=2x0， x1x2=4y0， x0=y0+2 所以=所
22、以当 时， |AF|BF|的最小值为 点评： 本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性 . 21.（ 14 分）设函数 f（ x） =（ x 1） ex kx2（ kR ） . （ 1）当 k=1 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）当 时，求函数 f（ x）在 0， k上的最大值 M. 解析： （ 1）利用导数的运算法则即可得出 f （ x），令 f （ x） =0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间； （ 2）利用导数的运算法则求出 f （ x），令 f （ x） =0 得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间
23、端点与极值即可得到最大值 . 答案： 解：（ 1）当 k=1 时， f（ x） =（ x 1） ex x2， f（ x） =ex+（ x 1） ex 2x=x（ ex 2） 令 f（ x） =0，解得 x1=0， x2=ln2 0 所以 f（ x）， f（ x）随 x 的变化情况如下表： 所以函数 f（ x）的单调增区间为（ ， 0）和（ ln2， + ），单调减区间为（ 0， ln2） （ 2） f（ x） =（ x 1） ex kx2， x0 ， k， . f（ x） =xex 2kx=x（ ex 2k） f（ x） =0，解得 x1=0， x2=ln（ 2k） 令 （ k） =k ln（
24、 2k）， ， 所以 （ k）在 上是减函数， （ 1） （ k） ， 1 ln2 （ k） k. 即 0 ln（ 2k） k 所以 f（ x）， f（ x）随 x 的变化情况如下表： f（ 0） = 1， f（ k） =（ k 1） ek k3f（ k） f（ 0） =（ k 1） ek k3+1=（ k 1） ek（ k3 1） =（ k 1） ek（ k 1）（ k2+k+1） =（ k 1） ek（ k2+k+1） 因为 ，所以 k 10 对任意的 ， y=ek的图象恒在 y=k2+k+1 下方，所以 ek（ k2+k+1） 0 所以 f（ k） f（ 0） 0 ，即 f（ k） f （ 0） 所以函数 f（ x）在 0， k上的最大值 M=f（ k） =（ k 1） ek k3.
