1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）数学文 一、选择题：本大题共 12 小题 .每小题 5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1.(5 分 )已知集合 M=x|-3 x 1， x R， N=-3， -2， -1， 0， 1，则 MN= ( ) A. -2， -1， 0， 1 B. -3， -2， -1， 0 C. -2， -1， 0 D. -3， -2， -1 解析： 集合 M=x|-3 x 1， x R， N=-3， -2， -1， 0， 1， MN= -2， -1， 0. 答案： C 2.(5 分 ) =( ) A. 2 B. 2 C. D. 1 解析：
2、 = = = . 答案： C. 3.(5 分 )设 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x-3y 的最小值是 ( ) A. -7 B. -6 C. -5 D. -3 解析： 根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示， 由 得 ， 由图可知目标函数在点 A(3， 4)取最小值 z=23 -34= -6. 答案： B 4.(5 分 )ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 b=2， B= ， C= ，则 ABC的面积为 ( ) A. 2 +2 B. C. 2 -2 D. -1 解析： b=2 ， B= ， C= ， 由正弦定理 = 得： c= = =2 ， A= ，
3、sinA=sin( + )=cos = ，则 SABC = bcsinA= 22 = +1. 答案： B 5.(5 分 )设椭圆 C： =1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、 F2， P 是 C 上的点 PF2F 1F2，PF 1F2=30 ，则 C 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 解析： |PF2|=x， PF 2F 1F2， PF 1F2=30 ， |PF 1|=2x， |F1F2|= x， 又 |PF1|+|PF2|=2a， |F1F2|=2c2a=3x ， 2c= x， C 的离心率为： e= = . 答案： D. 6.(5 分 )已知 sin2= ，则 cos2(+
4、 )=( ) A. B. C. D. 解析： sin2= ， cos 2(+ )= 1+cos(2+ )= (1-sin2)= (1 - )= . 答案： A 7.(5 分 )执行如图的程序框图，如果输入的 N=4，那么输出的 S=( ) A. 1+ + + B. 1+ + + C. 1+ + + + D. 1+ + + + 解析： 根据题意，可知该按以下步骤运行 第一次： S=1， 第二次： S=1+ ， 第三次： S=1+ + ， 第四次： S=1+ + + . 此时 k=5 时，符合 k N=4，输出 S 的值 . S=1+ + + 答案： B 8.(5 分 )设 a=log32， b=
5、log52， c=log23，则 ( ) A. a c b B. b c a C. c b a D. c a b 解析： 由题意可知： a=log32 (0， 1)， b=log52 (0， 1)， c=log23 1， 所以 a=log32， b=log52= ，所以 c a b， 答案： D. 9.(5 分 )一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是 (1， 0， 1)， (1， 1， 0)，(0， 1， 1)， (0， 0， 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为 ( ) A. B. C. D. 解析： 因为一个四面体的顶点在
6、空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是 (1， 0， 1)， (1， 1，0)， (0， 1， 1)， (0， 0， 0)，几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以 zOx 平面为投影面，则得到正视图为： 答案： A. 2 10.(5 分 )设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A， B 两点 .若 |AF|=3|BF|，则 l 的方程为 ( ) A. y=x-1 或 y=-x+1 B. y= (x-1)或 y=- (x-1) C. y= (x-1)或 y=- (x-1) D. y= (x-1)或 y=- (x-1) 解析： 抛物
7、线 C 方程为 y2=4x，可得它的焦点为 F(1， 0)， 设直线 l 方程为 y=k(x-1)由 消去 x，得 -y-k=0 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，可得 y1+y2= ， y1y2=-4(*) |AF|=3|BF| ， y 1+3y2=0，可得 y1=-3y2，代入 (*)得 -2y2= 且 -3y22=-4， 消去 y2得 k2=3，解之得 k= ， 直线 l 方程为 y= (x-1)或 y=- (x-1) 答案： C 11.(5 分 )已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是 ( ) A. x0 R， f(x0)=0 B. 函数 y=f(x
8、)的图象是中心对称图形 C. 若 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x )在区间 (- ， x0)上单调递减 D. 若 x0是 f(x)的极值点，则 f(x 0 )=0 解析： 对于三次函数 f (x )=x3+ax2+bx+c， A：由于当 x - 时， y - ，当 x+ 时， y+ ， 故 x0 R， f(x0)=0，正确； B： f( - -x)+f(x)=(- -x)3+a(- -x)2+b(- -x)+c+x3+ax2+bx+c= - +2c， f(- )=(- )3+a(- )2+b(- )+c= - +c， f( - -x)+f(x)=2f(- )， 点 P(- ， f(-
9、)为对称中心，故 B 正确 . C：若取 a=-1， b=-1， c=0，则 f(x)=x3-x2-x， 对于 f(x)=x3-x2-x， f(x)=3x 2-2x-1， 由 f(x)=3x 2-2x-1 0 得 x (- ， - )(1 ， +) ， 由 f(x)=3x 2-2x-1 0 得 x (- ， 1)， 函数 f(x)的单调增区间为： (- ， - )， (1， +) ，减区间为： (- ， 1)， 故 1 是 f(x)的极小值点，但 f(x )在区间 (- ， 1)不是单调递减，故错； D：若 x0是 f(x)的极值点，根据导数的意义，则 f(x 0 )=0，正确 . 答案： C
10、. 12.(5 分 )若存在正数 x 使 2x(x-a) 1 成立，则 a的取值范围是 ( ) A. (- ， +) B. (-2， +) C. (0， +) D. (-1， +) 解析： 因为 2x(x-a) 1，所以 ，函数 y= 是增函数， x 0，所以 y -1，即 a -1，所以 a 的取值范围是 (-1， +). 答案： D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4分 . 13.(4 分 )从 1， 2， 3， 4， 5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 . 解析： 从 1， 2， 3， 4， 5 中任意取出两个不同的数共有 =10 种情况， 和为 5 的有 (1，
11、 4)(2， 3)两种情况，故所求的概率为： =0.2 答案： 0.2 14.(4 分 )已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 CD 的中点，则 = . 解析： 已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 CD 的中点，则 =0， 故 =( )( )=( )( )= - +- =4+0-0- =2， 答案： 2. 15.(4 分 )已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 ，底面边长为 ，则以 O 为球心， OA 为半径的球的表面积为 . 解析： 如图，正四棱锥 O-ABCD 的体积 V= sh= ( )OH= ， OH= ， 在直角三角形 OAH 中， OA= = = ， 所以表面积为
12、4r 2=24 . 答案： 24. 16.(4分 )函数 y=cos(2x+ )(- )的图象向右平移 个单位后，与函数 y=sin(2x+)的图象重合，则 = . 解析： 函数 y=cos(2x+)( - ) 的图象向右平移 个单位后，得平移后的图象的函数解析式为 y=cos2(x- )+ =cos(2x+ -) ， 而函数 y=sin(2x+ )= ， 由函数 y=cos(2x+)( - ) 的图象向右平移 个单位后，与函数 y=sin(2x+ )的图象重合，得 2x+ -= ，解得： x= .符合 - . 答案： . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.(12
13、分 )已知等差数列 an的公差不为零， a1=25，且 a1， a11， a13成等比数列 . ( )求 an的通项公式； ( )求 a1+a4+a7+a 3n-2. 解析： (I)设等差数列 an的公差为 d0 ，利用成等比数列的定义可得， ，再利用等差数列的通项公式可得 ，化为 d(2a1+25d)=0，解出 d 即可得到通项公式 an； (II)由 (I)可得 a3n-2=-2(3n-2)+27=-6n+31，可知此数列是以 25 为首项， -6 为公差的等差数列 .利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 a1+a4+a7+a 3n-2. 答案： (I)设等差数列 an的公差为 d0 ，
14、 由题意 a1， a11， a13成等比数列， ， ，化为 d(2a1+25d)=0， d0 ， 225+25d=0 ，解得 d=-2.a n=25+(n-1)( -2)=-2n+27. (II)由 (I)可得 a3n-2=-2(3n-2)+27=-6n+31，可知此数列是以 25 为首项， -6 为公差的等差数列 . S n=a1+a4+a7+a 3n-2= = =-3n2+28n. 18.(12 分 )如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中， D， E 分别是 AB， BB1的中点 ( )证明： BC1 平面 A1CD ( )AA1=AC=CB=2， AB= ，求三棱锥 C-A1DE 的体
15、积 . 解析： () 连接 AC1 交 A1C 于点 F，则 DF 为三角形 ABC1的中位线，故 DFBC 1.再根据直线和平面平行的判定定理证得 BC1 平面 A1CD. () 由题意可得此直三棱柱的底面 ABC 为等腰直角三角形，由 D 为 AB 的中点可得 CD 平面ABB1A1.求得 CD的值，利用勾股定理求得 A1D、 DE 和 A1E的值，可得 A1DDE. 进而求得的值，再根据三棱锥 C-A1DE 的体积 为 CD ，运算求得结果 . 答案： () 连接 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点 . 直棱柱 ABC-A1B1C1中， D， E分别是 AB， BB1
16、的中点，故 DF为三角形 ABC1的中位线，故 DFBC 1. 由于 DF平面 A1CD，而 BC1不在平面 A1CD 中，故有 BC1 平面 A1CD. ()AA 1=AC=CB=2， AB=2 ，故此直三棱柱的底面 ABC 为等腰直角三角形 . 由 D 为 AB 的中点可得 CD 平面 ABB1A1 ， CD= = . A 1D= = ，同理，利用勾股定理求得 DE= ， A1E=3. 再由勾股定理可得 +DE2= ， A 1DDE. = = ， = CD=1. 19.(12 分 )经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1t 亏损
17、 300 元 .根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示 .经销商为下一个销售季度购进了 130t该农产品 .以 X(单位： t， 100X150 )表示下一个销售季度内的市场需求量， T(单位：元 )表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 . ( )将 T 表示为 X 的函数； ( )根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率 . 解析： (I)由题意先分段写出，当 X 100， 130)时，当 X 130， 150)时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可 . (II)由 (I)知，利润 T不少于 57000元，当且仅当 120X150. 再由直方
18、图知需求量 X 120，150的频率为 0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值 . 答案： (I)由题意得，当 X 100， 130)时， T=500X-300(130-X)=800X-39000， 当 X 130， 150)时， T=500130=65000 ， T= . (II)由 (I)知，利润 T 不少于 57000 元，当且仅当 120X150. 由直方图知需求量 X 120， 150的 频率为 0.7， 所以下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7. 20.(12 分 )在平面直角坐标系 xO
19、y 中，己知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 ，在 y轴上截得线段长为 2 . ( )求圆心 P 的轨迹方程； ( )若 P 点到直线 y=x 的距离为 ，求圆 P 的方程 . 解析： () 由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点 P 的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹方程； () 由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点 P 的横纵坐标的方程，将此方程与 (I)所求的轨迹方程联立，解出点 P 的坐标，进而解出圆的半径即可写出圆 P 的方程 . 答案： () 设圆心 P(x， y)，由题意得 x2+3=y2+2，整理得 y2-x2=1 即为
20、圆心 P 的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线 () 由 P 点到直线 y=x 的距离为 得， = ，即 |x-y|=1，即 x=y+1或 y=x+1，分别代入 y2-x2=1 解得 P(0， -1)或 P(0， 1) 若 P(0， -1)，此时点 P 在 y 轴上，故半径为 ，所以圆 P 的方程为 (y+1)2+x2=3； 若 P(0， 1)，此时点 P 在 y 轴上，故半径为 ，所以圆 P 的方程为 (y-1)2+x2=3； 综上，圆 P 的方程为 (y+1)2+x2=3 或 (y-1)2+x2=3 21.(12 分 )己知函数 f(x)=x2e-x ( )求 f(x)的极小值和极大值； ( )
21、当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围 . 解析： () 利用导数的运算法则即可得出 f(x) ，利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值； () 利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与 x 轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可 . 答案： ()f(x)=x 2e-x， f(x)=2xe -x-x2e-x=e-x(2x-x2)， 令 f(x)=0 ，解得 x=0 或 x=2， 令 f(x) 0，可解得 0 x 2；令 f(x) 0，可解得 x 0 或 x 2， 故函数在区间
22、 (- ， 0)与 (2， +) 上是减函数，在区间 (0， 2)上是增函数 . x=0 是极小值点， x=2 极大值点，又 f(0)=0， f(2)= . 故 f(x)的极小值和极大值分别为 0， . (II)设切点为 ( )，则切线方程为 y- =(x-x0)， 令 y=0，解得 x= = ， 因为曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数， ( 0， x 0 0 或 x0 2， 令 ，则 = . 当 x0 0 时， 0，即 f(x 0) 0， f(x 0)在 (- ， 0)上单调递增，f(x 0) f(0)=0； 当 x0 2 时，令 f(x 0)=0，解得 . 当 时， f(x 0)
23、0，函数 f(x0)单调递增；当 时， f(x 0) 0，函数 f(x0)单调递减 . 故当 时，函数 f(x0)取得极小值，也即最小值，且 = . 综上可知：切线 l 在 x 轴上截距的取值范围是 (- ， 0) . 选做题 .请考生在第 22、 23、 24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号 . 22.【选修 4-1 几何证明选讲】 如图， CD 为 ABC 外接圆的切线， AB 的延长线交直线 CD 于点 D， E、 F 分别为弦 AB 与弦 AC上的点，且 BC AE=DC AF， B、 E、 F、 C 四点共圆 . (1)证明： CA 是 ABC 外
24、接圆的直径； (2)若 DB=BE=EA，求过 B、 E、 F、 C 四点的圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值 . 解析： (1)已知 CD为 ABC 外接圆的切线，利用弦切角定理可得 DCB=A ，及 BCAE=DCAF ，可知 CDBAEF ，于是 CBD=AFE. 利用 B、 E、 F、 C 四点共圆，可得 CFE=DBC ，进而得到 CFE=AFE=90 即可证明 CA 是ABC 外接圆的直径； (2)要求过 B、 E、 F、 C 四点的圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值 .只需求出其外接圆的直径的平方之比即可 .由过 B、 E、 F、 C 四点的圆的直径为 CE，及 DB=BE，
25、可得 CE=DC，利用切割线定理可得 DC2=DBDA ， CA2=CB2+BA2，都用 DB 表示即可 . 答案： (1)CD 为 ABC 外接圆的切线， DCB=A ， BCAE=DCAF ， .CDBAEF ， CBD=AFE. B 、 E、 F、 C 四点共圆， CFE=DBC ， CFE=AFE=90.CBA=90 ， CA 是 ABC外接圆的直径； (2)连接 CE， CBE=90 ， 过 B、 E、 F、 C 四点的圆的直径为 CE，由 DB=BE，得 CE=DC， 又 BC2=DBBA=2DB 2， CA 2=4DB2+BC2=6DB2.而 DC2=DBDA=3DB 2， 故过
26、 B、 E、 F、 C 四点的圆的面积与 ABC 面积的外接圆的面积比值 = = . 23.选修 4-4；坐标系与参数方程 已知动点 P， Q 都在曲线 C： 上，对应参数分别为 = 与=2 (0 2 )， M 为 PQ 的中点 . ( )求 M 的轨迹的参数方程 ( )将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数，并判断 M的轨迹是否过坐标原点 . 解析： (I)根据题意写出 P， Q 两点的坐标： P(2cos ， 2sin) ， Q(2cos2 ， 2sin2) ，再利用中点坐标公式得 PQ 的中点 M 的坐标，从而得出 M 的轨迹的参数方程； (II)利用两点间的距离公式得到 M
27、到坐标原点的距离 d= = ，再验证当= 时， d=0，故 M 的轨迹过坐标原点 . 答案： (I)根据题意有： P(2cos ， 2sin) ， Q(2cos2 ， 2sin2) ， M 为 PQ 的中点，故 M(cos+cos2 ， sin2+sin) ， 求 M 的轨迹的参数方程为： ( 为参数， 0 2). (II)M 到坐标原点的距离 d= = (0 2). 当 = 时， d=0，故 M 的轨迹过坐标原点 . 24.(14 分 )【选修 4-5；不等式选讲】 设 a， b， c 均为正数，且 a+b+c=1，证明： ( ) ( ) . 解析： () 依题意，由 a+b+c=1(a+b
28、+c)2=1a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可得 3(ab+bc+ca)1 ，从而得证； () 利用基本不等式可证得： +b2a ， +c2b ， +a2c ，三式累加即可证得结论 . 答案： () 由 a2+b22ab ， b2+c22bc ， c2+a22ca 得： a2+b2+c2ab+bc+ca ， 由题设得 (a+b+c)2=1，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1， 所以 3(ab+bc+ca)1 ，即 ab+bc+ca . () 因为 +b2a ， +c2b ， +a2c ， 故 + + +(a+b+c)2(a+b+c) ，即 + + a+b+c. 所以 + + 1.
