1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学文 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5分，共 45分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(5 分 )复数 z=i (1+i)(i 为虚数单位 )在复平面上对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析 ： z=i(1+i)= -1+i，故复数 z 对应的点为 (-1， 1)， 在复平面的第二象限 . 答案： B. 2.(5 分 )“1 x 2” 是 “x 2” 成立的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要
2、条件 解析 ： 设 A=x|1 x 2， B=x|x 2， A B，故 “1 x 2” 是 “x 2” 成立的充分不必要条件 . 答案： A. 3.(5 分 )某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件， 80 件， 60 件 .为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n=( ) A. 9 B. 10 C. 12 D. 13 解析 ： 甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是 120， 80， 60， 甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为 6： 4： 3， 丙车间生产产品所占的比
3、例 ， 因为样本中丙车间生产产品有 3 件，占总产品的 ，所以样本容量 n=3 =13. 答案： D. 4.(5 分 )已知 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，且 f(-1)+g(1)=2， f(1)+g(-1)=4，则 g(1)等于 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解析 ： 由 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数得， -f(1)+g(1)=2 ， f(1)+g(1)=4 ， 由 消掉 f(1)得 g(1)=3， 答案： B. 5.(5分 )在锐角 ABC 中，角 A， B所对的边长分别为 a， b.若 2asinB= b，则角 A等于 ( ) A. B. C. D. 解
4、析 ： 在 ABC 中， 2asinB= b， 由正弦定理 = =2R 得： 2sinAsinB= sinB， sinA= ，又 ABC 为锐角三角形， A= . 答案： D. 6.(5 分 )函数 f(x)=lnx 的图象与函数 g(x)=x2-4x+4 的图象的交点个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析 ： 在同一个坐标系中，画出函数 f(x)= x 与函数 g(x)=x2-4x+4=(x-2)2 的图象，如图所示： 故函数 f(x)= x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+4 的图象的交点个数为 2， 答案： C. 7.(5 分 )已知正方体的棱长为 1，其俯视图
5、是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 ( ) A. B. 1 C. D. 解析 ： 因为正方体的棱长为 1，俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为 的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图： 那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为： . 答案： D. 8.(5 分 )已知 ， 是单位向量， =0.若向量 满足 | - - |=1，则 | |的最大值为( ) A. B. C. D. 解析 ： | |=| |=1，且 ， 可设 ， ， . . ， ，即 (x-1)2+(y-1)2=1.
6、的最大值 = = . 答案： C. 9.(5 分 )已知事件 “ 在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使 APB 的最大边是 AB” 发生的概率为 ，则 =( ) A. B. C. D. 解析 ： 记 “ 在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使 APB 的最大边是 AB” 为事件 M，试验的全部结果构成的长度即为线段 CD， 构成事件 M 的长度为线段 CD 其一半，根据对称性，当 PD= CD 时， AB=PB，如图 . 设 CD=4x，则 AF=DP=x， BF=3x，再设 AD=y，则 PB= = ， 于是 =4x，解得 ，从而 . 答案： D. 二、填空题：本大
7、题共 6 小题，每小题 5分，共 30分 . 解析 ： 由题意 U=2 ， 3， 6， 8，集合 A=2， 3， C UA=6， 8， 又 B=2， 6， 8，故 (CUA)B=6 ， 8. 答案： 6， 8. 11.(5 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 (s 为参数 )和直线(t 为参数 )平行，则常数 a 的值为 . 解析 ： 直线 l1的参数方程为 (s 为参数 )，消去 s 得普通方程为 x-2y-1=0， 直线 l2的参数方程为 (t 为参数 )，消去 t 得普通方程为 2x-ay-a=0， l 1l 2， x-2y-1=0 的斜率为 k1= ， 2x -ay-a=0 的
8、斜率 k2= = ， 解得： a=4. 答案： 4. 12.(5 分 )执行如图所示的程序框图，如果输入 a=1， b=2，则输出的 a 的值为 . 解析 ： 程序在运行过程中各变量的聚会如下表示： 是否继续循环 a b 循环前 /1 2 第一圈 是 3 2 第二圈 是 5 2 第三圈 是 7 2 第四圈 是 9 2 第五圈 否 故最终输出的 a 值为 9. 答案： 9. 13.(5 分 )若变量 x， y 满足约束条件 ，则 x+y 的最大值为 . 解析 ： 画出可行域如图阴影部分， 由 得 A(4， 2)， 目标函数 z=x+y 可看做斜率为 -1 的动直线，其纵截距越大 z 越大， 由图
9、数形结合可得当动直线过点 A 时， z 最大 =4+2=6. 答案： 6. 14.(5 分 )设 F1， F2是双曲线 C： (a 0， b 0)的两个焦点 .若在 C 上存在一点P.使 PF1PF 2，且 PF 1F2=30 ，则 C 的离心率为 . 解析 ： 依题意可知 F 1PF2=90|F 1F2|=2c， |PF 1|= |F1F2|= c， |PF2|= |F1F2|=c， 由双曲线定义可知 |PF1|-|PF2|=2a=( -1)c， e= = . 答案： . 15.(5 分 )对于 E=a1， a2， .a100的子集 X=ai1， ai2， ， aik，定义 X的 “ 特征数
10、列 ” 为x1， x2 ， x100，其中 xi1=xi2=x ik=1.其余项均为 0，例如子集 a2， a3的 “ 特征数列 ” 为 0，1， 1， 0， 0， ， 0 (1)子集 a1， a3， a5的 “ 特征数列 ” 的前 3 项和等于 ； (2)若 E 的子集 P 的 “ 特征数列 ”P 1， P2， ， P100 满足 p1=1， pi+pi+1=1， 1i99 ； E 的子集 Q 的 “ 特征数列 ”q 1， q2， q100满足 q1=1， qj+qj+1+qj+2=1， 1j98 ，则 PQ 的元素个数为 . 解析 ： (1)子集 a1， a3， a5的 “ 特征数列 ”
11、为： 1， 0， 1， 0， 1， 0， ， 0.故前三项和等于1+0+1=2； (2)E 的子集 P 的 “ 特征数列 ”P 1， P2， ， P100 满足 P1+Pi+1=1， 1i99 ， P 的特征数列为 1， 0， 1， 0， ， 1， 0.其中奇数项为 1，偶数项为 0. 又 E 的子集 Q 的 “ 特征数列 ”q 1， q2， ， q100满足 q1=1， qj+qj+1+qj+2=1， 1j98 ，可知：j=1 时， q1+q2+q3=1， q 1=1， q 2=q3=0；同理 q4=1=q7=q 3n-2. 子集 Q 的 “ 特征数列 ” 为 1， 0， 0， 1， 0，
12、0， 1， ， 1， 0， 0， 1. 则 PQ 的元素为 a1， a7， a13， ， a91， a97. 97=1+(17 -1)6 ， 共有 17 相同的元素 . 答案： 2， 17. 三、解答题；本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.(12 分 )已知函数 f(x)=cosx cos(x- ). (1)求 f( )的值 . (2)求使 f(x) 成立的 x 的取值集合 . 解析 ： (1)将 x= 代入 f(x)解析式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到结果； (2)f(x)解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特
13、殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，变形后，利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意 x 的集合 . 答案： (1)f( )=cos cos( - )=cos cos =-cos2 =- ； (2)f(x)=cosxcos(x- )=cosx( cosx+ sinx)= cos2x+ sinxcosx= (1+cos2x)+sin2x= cos(2x- )+ ， f(x) ，化为 cos(2x- )+ ，即 cos(2x- ) 0， 2k+ 2x- 2k+ (k Z)，解得： k+ x k+ (k Z)， 则使 f(x) 成立的 x 取值集合为 x|k+ ， k+ (k Z). 17.(12
14、 分 )如图 .在直棱柱 ABC-A1B1C1中， BAC=90 ， AB=AC= ， AA1=3， D 是 BC 的中点，点 E 在棱 BB1上运动 . (1)证明： ADC 1E； (2)当异面直线 AC， C1E 所成的角为 60 时，求三棱锥 C1-A1B1E 的体积 . 解析 ： (1)根据直三棱柱的性质，得 ADBB 1，等腰 ABC 中利用 “ 三线合一 ” 证出 ADBC ，结合线面垂直判定定理，得 AD 平面 BB1C1C，从而可得 ADC 1E； (2)根据 ACA 1C1，得到 EC 1A1(或其补角 )即为异面直线 AC、 C1E 所成的角 .由 A1C1A 1B1且A
15、1C1AA 1，证出 A1C1 平面 AA1B1B，从而在 RtA 1C1E中得到 EC 1A1=60 ，利用余弦的定义算出 C1E=2A1C1=2 ，进而得到 A 1B1E 面积为 ，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1-A1B1E 的体积 . 答案： (1) 直棱柱 ABC-A1B1C1中， BB1 平面 ABC， AD平面 ABC， ADBB 1， ABC 中， AB=AC， D 为 BC 中点， ADBC ， 又 BC 、 BB1平面 BB1C1C， BCBB 1=B， AD 平面 BB1C1C，结合 C1E平面 BB1C1C，可得 ADC 1E； (2) 直棱柱 ABC-A1B1C
16、1中， ACA 1C1， EC 1A1(或其补角 )即为异面直线 AC、 C1E 所成的角 ， BAC=B 1A1C1=90 ， A 1C1A 1B1， 又 AA 1 平面 A1B1C1，可得 A1C1AA 1， 结合 A1B1AA 1=A1，可得 A1C1 平面 AA1B1B， A 1E平面 AA1B1B， A 1C1A 1E， 因此， RtA 1C1E 中， EC 1A1=60 ，可得 cosEC 1A1= = ，得 C1E=2A1C1=2 ， 又 B 1C1= =2， B 1E= =2， 由此可得 V = S A 1C1= = . 18.(12 分 )某人在如图所示的直角边长为 4 米的
17、三角形地块的每个格点 (指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点 )处都种了一株相同品种的作物 .根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量 Y(单位： kg)与它的 “ 相近 ” 作物株数 X 之间的关系如下表所示： 这里，两株作物 “ 相近 ” 是指它们之间的直线距离不超过 1 米 . ( )完成下表，并求所种作物的平均年收获量； ( )在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48kg 的概率 . 解析 ： () 根据题意可知所种作物的总株数为 1+2+3+4+5，其中 “ 相近 ” 作物株数为 1 的有2 株， “ 相近 ” 作物株数为 2 的有 4 株， “ 相近 ” 作物株数为
18、3 的有 6 株， “ 相近 ” 作物株数为 4 的有 3 株，据此列表，且可得出所种作物的平均所收获量 . () 由 () 知， P(Y=51)= ， P(Y=48)= ，从而根据互斥事件的概率加法公式得出在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48kg 的概率 . 答案： () 所种作物的总株数为 1+2+3+4+5=15，其中 “ 相近 ” 作物株数为 1 的有 2 株， “ 相近 ” 作物株数为 2 的有 4 株， “ 相近 ” 作物株数为 3 的有 6 株， “ 相近 ” 作物株数为 4的有 3 株，列表如下 . 所种作物的平均所收获量为： (512+484+456+423)
19、= =46， () 由 () 知， P(Y=51)= ， P(Y=48)= ， 故在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48kg 的概率为 P(Y48)=P(Y=51)+P(Y=48)= + = . 19.(13 分 )设 Sn为数列 an的前 n 项和，已知 a10 ， 2an-a1=S1 Sn， n N* ( )求 a1， a2，并求数列 an的通项公式； ( )求数列 nan的前 n 项和 . 解析 ： () 令 n=1和 2，代入所给的式子求得 a1和 a2，当 n2 时再令 n=n-1得到 2an-1-1=Sn-1，两个式子相减得 an=2an-1，判断出此数列为等比数列，
20、进而求出通项公式； () 由 () 求出 nan=n2 n-1，再由错位相减法求出此数列的前 n 项和 . 答案： () 令 n=1，得 2a1-a1= ，即 ， a 10 ， a 1=1， 令 n=2，得 2a2-1=1(1+a 2)，解得 a2=2， 当 n2 时，由 2an-1=Sn得， 2an-1-1=Sn-1， 两式相减得 2an-2an-1=an，即 an=2an-1， 数列 an是首项为 1，公比为 2的等比数列， a n=2n-1，即数列 an的通项公式 an=2n-1； () 由 () 知， nan=n2 n-1，设数列 nan的前 n 项和为 Tn， 则 Tn=1+22+3
21、2 2+n2 n-1， 2Tn=12+22 2+32 3+n2 n， - 得， -Tn=1+2+22+2 n-1-n2 n=2n-1-n2 n， T n=1+(n-1)2n. 20.(13 分 )已知 F1， F2分别是椭圆 的左、右焦点 F1， F2关于直线 x+y-2=0的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点 . ( )求圆 C 的方程； ( )设过点 F2的直线 l 被椭圆 E 和圆 C所截得的弦长分别为 a， b.当 ab 最大时，求直线 l的方程 . 解析 ： (I)由题意可知： F1(-2， 0)， F2(2， 0)，可得 C 的半径为 2，圆心为原点 O 关于直线x+y-2=0
22、的对称点 .设圆心的坐标为 (m， n).利用线段的垂直平行的性质可得 ，解出即可得到圆的方程； (II)由题意，可设直线 l 的方程为 x=my+2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线 l 的距离 d= ，再利用弦长公式即可得到 b= .把直线 l 的方程为 x=my+2 与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到 a，进而得到 ab，利用基本不等式的性质即可得出结论 . 答案： (I)由题意可知： F1(-2， 0)， F2(2， 0).故 C 的半径为 2，圆心为原点 O 关于直线 x+y-2=0的对称点 .设圆心的坐标为 (m， n).则 ，解得 . 圆 C 的方程为
23、(x-2)2+(y-2)2=4； (II)由题意，可设直线 l 的方程为 x=my+2，则圆心到直线 l 的距离 d= ， b= . 由 得 (5+m2)y2+4my-1=0. 设 l 与 E 的两个交点分别为 (x1， y1)， (x2， y2).则 ， . a= = =， ab= = = . 当且仅当 ，即 时等号成立 . 故当 时， ab 最大，此时，直线 l 的方程为 ，即 . 21.(13 分 )已知函数 f(x)= . ( )求 f(x)的单调区间； ( )证明：当 f(x1)=f(x2)(x1x 2)时， x1+x2 0. 解析 ： (I)利用导数的运算法则求出 f(x) ，分别
24、解出 f(x) 0与 f(x) 0的 x 取值范围即可得到单调区间； (II)当 f(x1)=f(x2)(x1x 2)时，不妨设 x1 x2.由 (I)可知： x1 (- ， 0)， x2 (0， 1).利用导数先证明： x (0， 1)， f(x) f(-x).而 x2 (0， 1)，可得 f(x2) f(-x2).即 f(x1) f(-x2).由于 x1， -x2 (- ， 0)， f(x)在 (- ， 0)上单调递增，因此得证 . 答案： (I)易知函数的定义域为 R. = =， 当 x 0 时， f(x) 0；当 x 0 时， f(x) 0. 函数 f(x)的单调递增区间为 (- ，
25、0)，单调递减区间为 (0， +). (II)当 x 1 时，由于 ， ex 0，得到 f(x) 0；同理，当 x 1 时， f(x) 0. 当 f(x1)=f(x2)(x1x 2)时，不妨设 x1 x2. 由 (I)可知： x1 (- ， 0)， x2 (0， 1). 下面证明： x (0， 1)， f(x) f(-x)，即证 .此不等式等价于. 令 g(x)= ，则 g(x)= -xe-x(e2x-1). 当 x (0， 1)时， g(x) 0， g(x)单调递减， g(x) g(0)=0. 即 . x (0， 1)， f(x) f(-x). 而 x2 (0， 1)， f(x 2) f(-x2).从而， f(x1) f(-x2). 由于 x1， -x2 (- ， 0)， f(x)在 (- ， 0)上单调递增， x 1 -x2，即 x1+x2 0.
