1、 绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 文科数学 注意事项 : 1. 本试卷分为两部分 , 第一部分为选择题 , 第二部分为非选择题 . 2. 考生领到试卷后 , 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息 . 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内 . 考试结束后 , 将本试卷和答题卡一并交回 . 第一部分 (共 50 分 ) 一 、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50分） 1. 设全集为 R, 函数 的定义域为 M， 则 为 (A) ( ,1) (B) (1, + )
2、(C) (D) 2. 已知向量 ， 若 a/b， 则实数 m 等于 (A) (B) (C) 或 (D) 0 3. 设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数 , 则下列 等式中恒成立的是 (A) (B) (C) (D) 4. 根据下列算法语句 , 当输入 x 为 60 时 , 输出 y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 4. 对一批产品的长度 (单位 : 毫米 )进行抽样检测 , 下图为检测结果的频率分布直方图 . 根据标准 , 产品长度在区间 20,25)上为一等品 , 在区间 15,20)和区间25,30)上为二等品 , 在 区间 10,15)和 30,35
3、)上为三等品 . 用频率估计概率 , 现从该批产品中随机抽取 1件 , 则其为二等品的概率为 (A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45 6. 设 z 是复数 , 则下列命题中的 假 命题是 ( ) 1f x x CMR( ,1 1, )(1, ) , ( , 2 )a m b m2 22 2lo glo g lo ga c cbab lo g lolo g gaaab a b( ) l o g o gg llo a a ab cbc ( ) l o gg ogo ll a a abb cc 输入 x If x 50 Then y = 0.5 * x Else y
4、= 25 + 0.6*(x-50) End If 输出 y (A) 若 , 则 z 是实数 (B) 若 , 则 z 是虚数 (C) 若 z 是虚数 , 则 (D) 若 z 是纯虚数 , 则 7. 若点 (x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围成的封闭区域 , 则 2x y 的最小值为 (A) 6 (B) 2 (C) 0 (D) 2 8. 已知点 M(a,b)在圆 外 , 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是 (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定 9 设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 , 则 ABC 的形
5、状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 10. 设 x表示不大于 x 的最大整数 , 则对任意实数 x,有 (A) x = x (B) x + = x (C) 2x = 2x (D) 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分） 11. 双曲线 的离心率为 . 12. 某几何体的三视图如图所示 , 则其 表 面积为 . 13. 观察下列等式 : 照此规律 , 第 n 个等式可为 . 14. 在如图所示的锐角三角形空地中 , 欲建一个面积最大的 内接矩形花园 (阴影部分 ), 则其边长 x 为 (m).
6、15. (考生请注意 :请在下列三题中任选一题作答 , 如果多做 , 则按所做的第一题 评 分 ) A. (不等式选做题 ) 设 a, b R, |a b|2, 则关于实数 x 的不等式 的解集是 . B. (几何证明选做题 ) 如图 , AB与 CD 相交于 点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已知 , PD = 2DA = 2, 则 PE = . C. (坐标系与参数方程 选做题 ) 圆锥曲线 (t 为参数 )的焦点坐标是 . 三、解答题 : 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6小题，共 75分） 16. (本小题满分 12 分 ) 已知向
7、量 , 设函数 . ( ) 求 f (x)的最小正周期 . 2 0z 2 0z 2 0z 2 0z 221:Ox yc o s c o s s i nb C c B a A121 2 2x x x 22116 9xy23( 1 1 ) 2 1( 2 1 ) ( 2 2 ) 2 1 3( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 2 1 3 5 | | | | 2x a x b AC 22xtyt 1( c o s , ) , ( 3 s i n , c o s 2 ) ,2x x x x ab R()fxabDBCEP A40mx 40m ( ) 求 f (x) 在 上的最大值和最小值 .
8、17. (本小题满分 12 分 ) 设 Sn 表示 数列 的前 n 项和 . ( ) 若 为等差数列 , 推导 Sn 的计算公式 ; ( ) 若 , 且对所有正整数 n, 有 . 判断 是否为等比数列 . 18. (本小题满分 12 分 ) 如图 , 四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形 , O 为底面中心 , A1O平面 ABCD, . ( ) 证明 : A1BD / 平面 CD1B1; ( ) 求 三棱柱 ABD A1B1D1 的体积 . 19. (本小题满分 12 分 ) 有 7 位歌手 (1 至 7号 )参加一场歌唱比赛 , 由 500 名大众评委现场投票决定
9、歌手名次 , 根据年龄将大众评委分为 5 组 , 各组的人数如下 : 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 ( ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况 , 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委 , 其中从 B 组中抽取了 6 人 . 请将其余各组抽取的人数填入下表 . 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 ( ) 在 ( )中 , 若 A, B两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手 , 现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人 , 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率 . 0,2nana1 1, 0a q 11
10、 nn qS q na1 2A B A A OD 1B 1C 1DACBA 1 20. (本小题满分 13 分 ) 已知 动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍 . ( ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程 ; ( ) 过 点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点 . 若 A 是 PB的中点 , 求直线 m 的斜率 . 21. (本小题满分 14 分 ) 已知函数 . ( ) 求 f(x)的反函数的图象上 图象上 点 (1,0)处的切线方程 ; ( ) 证明 : 曲线 y = f (x) 与曲线 有唯一 公共点 . ( ) 设
11、a ( ) ( ) f (x)的反函数 ,则 y=g(x)过点（ 1,0）的切线斜率 k= . .过点（ 1,0）的切线方程为： y = x+ 1 ( ) 证明曲线 y=f(x)与曲线 有唯一公共点，过程如下。 因此，11)2(21 21111 111 OASVA B DDBA AB DAB DDBA的体积三棱柱1111111 A B DDBAVABDDBA 的体积三棱柱3262926232 P92134)1(2|4| 2222 yxyxx134 22 yx21212211 3202),(B),(A yyxxyxyx ，由题知：),3-,0()3,0( 和的上下顶点坐标分别是3: kxym 方
12、程为设直线22122122 4324,43 2402424)43 kxxk kxxkxxk （232924)43()24(252)(2212221212211221 kk kxx xxxxxxxx23k)4,0( 2e 42e ），（ 42e( ) ( )2f a f b ( ) ( )f b f abaxxg ln)( (1)g1( 1 )gx1( x )g k121 2 xxy则令 ,121121)()( 22 Rxxxexxxfxh x 0)0(,0)0(0)0(,1)()(,1)( hhhexhxhxexh xx ，且的导数单调递增时当单调递减时当 )(0)(0;)(0)(0 xhyx
13、hxxhyxhx 0)(,0)0()( xRxhyhxhy 个零点上单调递增，最多有一在所以 所以，曲线 y=f(x)与曲线 只有唯一公共点 (0,1).(证毕） ( ) 设 令 。 ，且。 121 2 xxy)(2 )()2()()2()()(2 )()( ab bfabafabab afbfbfaf aabba eab eababab eabeab )(2 )2()2()(2 )2()2(xxx exexxgxexxxg )1(1)21(1)(,0,)2(2)( 则）上单调递增，在（的导函数 0)(所以,0)11()()( xgexexxgxg xx,0)0(,),0()(0)(.0)0( gxgxgg 而上单调递增在，因此0)(),0( xg上所以在
