1、 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 M=-1,0,1， N=x|x2 x，则 M N= A.0 B.0,1 C.-1,1 D.-1,0,0 【答案】 B 【解析】 0,1N M=-1,0,1 M N=0,1. 【点评】本题 考查了 集合的基本运算，较简单，易得分 . 先求出 0,1N ,再利用交集定义得出 M N. 2.命题“若 =4 ，则 tan =1”的逆否命题是 A.若 4 ，则 tan 1 B. 若 =4 ，则 ta
2、n 1 C. 若 tan 1，则 4 D. 若 tan 1，则 =4 【答案】 C 【解析】因为“若 p ，则 q ”的逆否命题为“若 p ，则 q ”，所以 “若 =4 ，则 tan=1”的逆否命题是 “若 tan 1，则 4 ” . 【 点评】本题考查了 “若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力 . 3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是 【答案】 D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何体的俯视图
3、，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形 . 【点评】本题主要考查空间几何体的三 视图，考查空间想象能力 .是近年高考中的热点题型 . 4.设某大学的女生体重 y（单位： kg）与身高 x（单位： cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ xi， yi）（ i=1， 2， n），用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（ x ， y ） C.若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重比为 58.
4、79kg 【答案】 D 【解析】【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知 ()y b x a b x y b x a y b x ，所以回归直线过样本点的中心（ x ， y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确 . 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错 . 5. 已知双曲线 C ： 22xa- 22yb=1 的焦距为 10 ，点 P （ 2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方 程为 A 220x -
5、25y =1 B. 25x - 220y =1 C. 280x - 220y =1 D. 220x - 280y =1w#ww.zz& 【答案】 A 【解析】设双曲线 C ： 22xa- 22yb=1 的半焦距为 c ，则 2 10, 5cc. 又 C 的渐近线为 byxa ，点 P （ 2,1）在 C 的渐近线上， 12ba ，即 2ab . 又 2 2 2c a b， 2 5, 5ab ， C 的方程为 220x - 25y =1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了 数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型 . 6. 函数 f（ x） =sinx-c
6、os(x+6 )的值域为 A -2 ,2 B.- 3 , 3 C.-1,1 D.- 32 , 32 【答案】 B 【 解 析 】 f （ x ） =sinx-cos(x+ 6 ) 31s i n c o s s i n 3 s i n ( )2 2 6x x x x ， sin ( ) 1,16x ， ()fx 值域为 - 3 , 3 . 【点评】利用 三角恒等变换 把 ()fx化成 sin( )Ax 的形式，利用 sin( ) 1,1x ，求得 ()fx的值域 . 7. 在 ABC 中， AB=2， AC=3， ABBC = 1 则 _BC .中 &%国教 *育出版 网 A. 3 B. 7
7、C.22 D. 23 【答案】 A 【解析】由下图知 ABBC = c o s ( ) 2 ( c o s ) 1A B B C B B C B . 1cos 2B BC .又由余弦定理知 2 2 2c o s 2A B B C A CB A B B C ， 解得 3BC . 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识 .考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法 .需要注意 ,ABBC 的夹角为 B 的外角 . 8已知两条直线 1l ： y=m 和 2l ： y= 821m (m 0)， 1l 与函数 2logyx 的图像从左至右相交于点 A， B ， 2l 与函数
8、 2logyx 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化时， ba 的最小值 为 来源 %&:中国 *教育 #出版网 A 162 B.82 C.84 D.44 AB C 【答案】 B 【解析】在同一坐标系中作出 y=m， y= 821m (m 0)， 2logyx 图像如下图， 由 2logx = m，得 122 , 2mmxx， 2logx = 821m ，得 821821342 , 2 mmxx . 依照题意得821821821821222 2 , 2 2 ,22mmmmmmm mbaba 821 8212 2 2m m
9、m m . 8 1 4 1 1 14312 1 2 2 2 22mmm m ，min( ) 8 2ba. 【点评】在同一坐标系中作出 y=m， y= 821m (m 0)， 2logyx 图像，结合图像可解得 . 二 、填空题： 本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分 ，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 . （一）选做题（请考生在第 9、 10、 11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ） 9. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 1C ： 1,12xtyt (t 为参数 )与曲线 2C ： sin ,3cosxay ( 为参数， 0a ) 有一个
10、公共点在 X 轴上，则 _a . 【答案】 32 【解析】曲线 1C ： 1,12xtyt 直角坐标方程为 32yx ，与 x 轴交点为 3( ,0)2 ； 曲线 2C ： sin ,3cosxay 直角坐标方程为 222 19xya ，其 与 x 轴交点为 ( ,0),( ,0)aa ， x821y m 2logyxym1OA BC D 由 0a ，曲线 1C 与曲线 2C 有一个公共点在 X 轴上，知 32a . 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等 .曲线 1C 与曲线 2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与 x 轴交点，即可求得 . 10
11、.不等式 |2x+1|-2|x-1|0 的解集为 _. 【答案】 14xx【解析】令 ( ) 2 1 2 1f x x x ，则由 ()fx13, ( )214 1, ( 1)23, ( 1)xxxx 得 ()fx 0 的解集为14xx. 【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组） . 11.如图 2，过点 P 的直线与圆 O 相交于 A， B 两点 .若 PA=1， AB=2， PO=3，则圆 O 的半径等于_. 【答案】 6 【解析】设 PO 交圆 O 于 C， D，如图，设圆的半径为 R，由割线定理知 , 1 ( 1 2 ) ( 3 - ) ( 3 ) , 6
12、.P A P B P C P D r r r 即 【点评】本题考查 切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知 PA PB PC PD ，ABPOAB POCD 从而求得圆的半径 . (二 )必做题（ 1216 题） 12.已知复数 2(3 )zi (i 为虚数单位 )，则 |z|=_. 【答案】 10 【解析】 2(3 )zi = 29 6 8 6i i i ， 228 6 10z . 【点评】本题考查复数的运算、复数的模 .把复数化成标准的 ( , )a bi a b R形式，利用 22z a b求得 . 13.( 2x - 1x)6 的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 【答案】
13、 -160 【解析】 ( 2x - 1x)6 的展开式项公式是 6 6 31 6 61C ( 2 ) ( ) C 2 ( 1 )r r r r r r rrT x xx .由题意知 3 0, 3rr ，所以二项展开式中的常数项为 3 3 346C 2 ( 1) 1 6 0T . 【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法 . 14.如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 1x ,n=3,则输出的数 S= . 【答案】 4 【解析】输入 1x ,n=3, ， 执 行 过 程 如 下 ： 2 : 6 2 3 3iS ；1 : 3 ( 1) 1 1 5iS ；
14、0 : 5 ( 1 ) 0 1 4iS ，所以输出的是 4 . 【 点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将 执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错 . 15.函数 f（ x） =sin ( x )的导函数 ()y f x 的部分图像如图 4 所示，其中， P 为图像与 y轴的交点， A,C 为图像与 x 轴的两个交点， B 为图像的最低点 . （ 1）若 6 ，点 P 的坐标为（ 0， 332 ），则 ; （ 2）若在曲线段 ABC 与 x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 ABC内的概率为 . 【答案】（ 1） 3；（ 2） 4 【解析】（
15、1） ()y f x cos( )x ，当 6 ，点 P 的坐标为（ 0， 332 ）时 33c o s , 362 ； （ 2）由图知 222TAC ， 122ABCS AC ，设 ,AB的横坐标分别为 ,ab. 设曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域的面积为 S 则( ) ( ) s i n ( ) s i n ( ) 2b baaS f x d x f x a b ，由几何概型知该点在 ABC 内的概率为 224ABCSP S . 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（ 1）利用点 P 在图像上求 ， （ 2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得 . 16.
16、设 N=2n（ n N*， n 2），将 N 个数 x1,x2,， xN 依次放入编号为 1,2， N 的 N 个位置， 得到排列 P0=x1x2 xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原 顺序依次放入对应的前 2N 和后 2N 个位置，得到排列 P1=x1x3 xN-1x2x4 xN，将此操作称为 C 变换，将 P1 分成两段，每段 2N 个数，并对每段 作 C 变换，得到 2p ；当 2 i n-2 时，将 Pi 分成 2i 段，每段 2iN个数，并对每段 C 变换，得到 Pi+1，例如，当 N=8 时， P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时 x7 位于 P2 中的第
17、 4 个位置 . （ 1）当 N=16 时， x7 位于 P2 中的第 _个位置； （ 2）当 N=2n（ n 8）时， x173 位于 P4 中的第 _个位置 . 【答案】（ 1） 6；（ 2） 43 2 11n 【解析】（ 1）当 N=16 时 , 0 1 2 3 4 5 6 1 6P x x x x x x x ,可设为 (1, 2, 3, 4, 5, 6, ,1 6), 1 1 3 5 7 1 5 2 4 6 1 6P x x x x x x x x x ,即为 (1, 3 , 5 , 7 , 9 , 2 , 4 , 6 , 8 , ,1 6 ), 2 1 5 9 1 3 3 7 1
18、1 1 5 2 6 1 6P x x x x x x x x x x x ,即 (1 , 5 , 9 ,1 3 , 3 , 7 ,1 ,1 5 , 2 , 6 , ,1 6 ), x7 位于 P2 中的第 6 个位置 ,； （ 2）方法同（ 1） ,归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 43 2 11n个位置 . 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力 . 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.（本小题满分 12 分） 某超市为了解顾客
19、的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100位顾客的相关数据，如下表所示 . 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 结算时间（分钟 /人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55 . （ ）确定 x， y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望； &%中国教育出 版网 *# （ ）若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间 不超过 2.5 分钟的概
20、率 . （注：将频率视为概率） 中 %#国教 *育 出版网 【解析】（ 1）由已知 ,得 2 5 1 0 5 5 , 3 5 ,y x y 所以 15, 20.xy 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 1 5 3 3 0 3 2 5 1( 1 ) , ( 1 . 5 ) , ( 2 ) ,1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 1 0 0 4p X p X p X 2 0 1 1 0 1( 2 . 5 ) , ( 3 ) .1 0 0 5 1 0 0 1 0p X p X X 的分布为 X 1
21、 1.5 2 2.5 3 P 320 310 14 15 110 X 的数学期望为 3 3 1 1 1( ) 1 1 . 5 2 2 . 5 3 1 . 92 0 1 0 4 5 1 0EX . （）记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间 不超过 2.5 分钟 ”， ( 1, 2)iXi 为该顾客前面第 i位顾客的结算时间 ，则 1 2 1 2 1 2( ) ( 1 1 ) ( 1 1 . 5 ) ( 1 . 5 1 )P A P X X P X X P X X 且 且 且. 由于顾客的结算相互独立，且 12,XX的分布列都与 X 的分布列相同，所以 1 2 1 2 1 2( ) ( 1 )
22、1 ) ( 1 ) ( 1 . 5 ) ( 1 . 5 ) ( 1 )P A P X P X P X P X P X P X ( 3 3 3 3 3 3 92 0 2 0 2 0 1 0 1 0 2 0 8 0 . 故该顾客结算前的等候时间 不超过 2.5 分钟的概率 为 980 . 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力 .第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55知 2 5 1 0 1 0 0 5 5 % , 3 5 ,y x y 从而解得 ,xy，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，
23、通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 该顾客结算前的等候时间 不超过 2.5 分钟的概率 . 18.（本小题满分 12 分） 如图 5，在四棱锥 P-ABCD 中， PA平面 ABCD， AB=4， BC=3， AD=5， DAB= ABC=90，E 是 CD 的中点 .来源 %:*中 #国教 育出 版网 （）证明： CD平面 PAE； （）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD 的体积 . 【解析】 解法 1（如图（ 1），连接 AC，由 AB=4， 3BC ， 9 0 5 .ABC AC ,得 5,AD又 是的中点，所以
24、 .CD AE ,P A A B C D C D A B C D平 面 平 面所以 .PA CD 而 ,PA AE是 平 面 PAE内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE. （）过点作 , , , , .B G C D A E A D F G P F 分 别 与 相 交 于 连 接 由（） CD平面 PAE 知，平面 PAE.于是 BPF 为直线与平面 PAE 所成的角，且 BG AE . 由 PA ABCD 平 面 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 . 4 , 2 , ,A B A G B G A F 由题意，知 ,PBA BPF 因为 s i n , s i n ,
25、P A B FP B A B P FP B P B 所以 .PA BF 由 9 0 / / , / / ,D A B A B C A D B C B G C D 知 ， 又所以四边形 BCDG 是平行四边形，故3.GD BC于是 2.AG 在 RtBAG 中， 4 , 2 , ,A B A G B G A F 所以 222 1 6 8 52 5 , .525ABB G A B A G B F BG 于是 85.5PA BF 又梯形 ABCD 的面积为 1 (5 3 ) 4 1 6 ,2S 所以四棱锥 P ABCD 的体积为 1 1 8 5 1 2 8 51 6 .3 3 5 1 5V S P
26、A 解法 2：如图（ 2）， 以 A 为坐标原点， ,AB AD AP 所在直线分别为 x y z轴 ， 轴 ， 轴 建立空间直角坐标系 .设 ,PA h 则相关的各点坐标为： ( 4 , 0 , 0 ) , ( 4 , 0 , 0 ) , ( 4 , 3 , 0 ) , ( 0 , 5 , 0 ) , ( 2 , 4 , 0 ) , ( 0 , 0 , ) .A B C D E P h （）易知 ( 4 , 2 , 0 ) , ( 2 , 4 , 0 ) , ( 0 , 0 , ) .C D A E A P h 因为 8 8 0 0 , 0 ,C D A E C D A P 所以 ,.CD
27、AE CD AP而 ,APAE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 .CD PAE平 面 ( )由题设和（）知， ,CDAP 分别是 PAE平 面 ， ABCD平 面 的法向量，而 PB 与 PAE平 面 所成的角和 PB 与 ABCD平 面 所成的角相等，所以 c o s , c o s , .C D P B P A P BC D P B P A P B C D P B P A P B , 即 由（）知， ( 4 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , ) ,C D A P h 由 (4,0, ),PB h故 2221 6 0 0 0 0 .162 5 1 6hhhh 解得 855h
28、 . 又梯形 ABCD 的面积为 1 (5 3 ) 4 1 62S ，所以四棱锥 P ABCD 的体积为 1 1 8 5 1 2 8 5163 3 5 1 5V S P A . 【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算 .第一问只要证明 PA CD 即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由 13V S PA 算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积 . 19.（本小题满分 12 分） 已知数列 an的各项均为正数，记 A（ n） =a1+a2+ +an， B（ n） =a2+a3+ +an+1， C（ n） =a3+a4+an+2， n=1,2， 来 &
29、源 :中教网 % （ 1） 若 a1=1， a2=5，且对任意 n N，三个数 A（ n）， B（ n）， C（ n）组成等差数列，求数列 an 的通项公式 . （ 2） 证明：数列 an 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 Nn ，三个数 A（ n）， B（ n）， C（ n）组成公比为 q 的等比数列 . 【解析】 解（）对任意 Nn ,三个数 ( ), ( ), ( )A n B n C n是等差数列，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ,B n A n C n B n 即 1 1 2,nna a a 亦即 2 1 2 1 4.nna a a a 故数列 na 是首项为，
30、公差为的等差数列 .于是 1 ( 1) 4 4 3 .na n n （）（）必要性：若数列 na 是公比为 的等比数列，则对任意 Nn ，有 1 .n nqaa 由 0na 知， ( ), ( ), ( )A n B n C n均大于 ，于是 1 2 )2 3 11 2 1 2( . . .() ,( ) . . . . . . nnnnq a a aa a aBn qA n a a a a a a 2 3 1 )3 4 22 3 1 2 3 1( . . .() ,( ) . . . . . . nnnnq a a aa a aCn qB n a a a a a a 即 ()()BnAn (
31、)()CnBn q ，所以三个数 ( ), ( ), ( )A n B n C n组成公比为 q 的等比数列 . （）充分性：若对于任意 Nn ，三个数 ( ), ( ), ( )A n B n C n组成公比为 q 的等比数列， 则 ( ) ( ) , ( ) ( )B n q A n C n q B n， 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ,C n B n q B n A n 得 2 2 1 1( ),nna a q a a 即 2 1 2 1.nna qa a a 由 1n 有 (1) (1),B qA 即 21a qa ，从而 210nna qa. 因为 0na ，所以 2 211
32、nna a qaa ，故数列 na 是首项为 1a ，公比为 q 的等比数列， 综上所述，数列 na 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 n N，三个数( ), ( ), ( )A n B n C n组成公比为 q 的等比数列 . 【点评】本题考查 等差数列 、等比数列的定义、性质及充要条件的证明 .第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数 列的定义及性质易得证 . 20.（本小题满分 13 分） 来 #源 :中教 %&*网 某企业接到生产 3000 台某产品的 A， B，三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为 , ,（单位：件） .
33、已知每个工人每天可生产部件件，或部件件，或部件件 .该企业计划安排名工人分成三组分别生产这三种部件，生产部件的人数与生产部件的人数成正比，比例系数为 k（ k 为正整数） . （）设生产部件的人数为，分别写出完成，三种部件生产需要的时间； （）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案 . 【解析】 解：（）设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为 1 2 3( ), ( ), ( ),T x T x T x由题设有 1 2 32 3 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 5 0 0(
34、) , ( ) , ( ) ,6 2 0 0 ( 1 )T x T x T xx x k x k x 期中 , , 200 (1 )x kx k x均为 1 到 200 之间的正整数 . （）完成订单任务的时间为 1 2 3( ) m a x ( ) , ( ) , ( ) ,f x T x T x T x 其定义域为 2000 , .1x x x Nk 易知， 12( ), ( )T x T x 为减函数， 3()Tx为增函数 .注意到 212( ) ( ),T x T xk于是 （ 1）当 2k 时， 12( ) ( ),T x T x 此时 13 1 0 0 0 1 5 0 0( ) m
35、 a x ( ) , ( ) m a x , 2 0 0 3f x T x T x xx ， 由函数 13( ), ( )T x T x 的单调性知，当 1000 1500200 3xx 时 ()fx取得最小值，解得 4009x .由于 134 0 0 2 5 0 3 0 04 4 4 5 , ( 4 4 ) ( 4 4 ) , ( 4 5 ) ( 4 5 ) , ( 4 4 ) ( 4 5 )9 1 1 1 3f T f T f f 而. 故当 44x 时完成订单任务的时间最短，且最短时间为 250(44) 11f . （ 2 ）当 2k 时， 12( ) ( ),T x T x 由于 k
36、为 正 整 数 ， 故 3k ， 此 时 1375( ) , ( ) m a x ( ) , ( )50T x x T x T xx 易知 ()Tx为增函数，则 13( ) m a x ( ), ( )f x T x T x 1m ax ( ), ( )T x T x 1 0 0 0 3 7 5( ) m a x , 50x xx . 由函数 1( ), ( )T x T x 的单调性知，当 1000 37550xx 时 ()x 取得最小值，解得 40011x .由于14 0 0 2 5 0 2 5 0 3 7 5 2 5 03 6 3 7 , ( 3 6 ) ( 3 6 ) , ( 3 7)
37、 ( 3 7) ,1 1 9 1 1 1 3 1 1TT 而此时完成订单任务的最短时间大于 25011 . （ 3 ）当 2k 时， 12( ) ( ),T x T x 由于 k 为正整数，故 1k ，此时 23 2 0 0 0 7 5 0( ) m a x ( ) , ( ) m a x , .100f x T x T x xx 由函数 23( ), ( )T x T x 的单调性知， 当 2000 750100xx 时 ()fx取得最小值，解得 80011x .类似（ 1）的讨论 .此时 完成订单任务的最短时间为 2509 ，大于 25011 . 综上所述， 当 2k 时完成订单任务的时间
38、最短，此时生产，三种部件的人数 分别为 44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力 .第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想 . 21.（本小题满分 13 分） www.z%zstep.co*&m 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的点均在 C2：（ x-5） 2 y2=9 外，且对 C1 上任意一点 M， M 到直线 x= 2 的距 离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值 . （）求曲线 C1 的方程； （）设 P(x0,y0)（ y0 3）为圆 C2 外一点，过 P
39、作圆 C2 的两条切线，分别与曲线 C1相交于点 A， B 和 C， D.证明：当 P 在直线 x= 4 上运动时，四点 A， B， C， D 的纵坐标之积为定值 . 【解析】（）解法 1 ：设 M 的坐标为 (, )xy ，由已知得 222 ( 5 ) 3x x y ， 易知圆 2C 上的点位于直线 2x 的右侧 .于是 20x，所以 22( 5 ) 5x y x . 化简得曲线 1C 的方程为 2 20yx . 解法 2 ：由题设知，曲线 1C 上任意一点 M 到圆心 2C (5,0) 的距离等于它到 直线 5x 的距离，因此，曲线 1C 是以 (5,0) 为焦点，直线 5x 为准线的抛物
40、线，故其方程为 2 20yx . （）当点 P 在直线 4x 上运动时， P 的坐标为 0( 4, )y ，又 0 3y ，则过 P 且与圆 2C 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0 ( 4 ) ,y y k x 0即 k x - y + y + 4 k = 0.于是 02543.1k y kk 整理得 22007 2 1 8 9 0 .k y k y 设过 P 所作的两条切线 ,PAPC 的斜率分别为 12,kk，则 12,kk是方程的两个实根，故 0012 18 .7 2 4yykk 由 1 0 124 0 ,2 0 ,k x y y kyx
41、得 21 0 12 0 2 0 ( 4 ) 0 .k y y y k 设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 1 2 3 4, , ,y y y y ，则是方程的两个实根，所以 011212 0 ( 4 ) .ykyy k 同理可得 023422 0 ( 4 ) .ykyy k 于是由，三式得 0 1 0 21 2 3 4124 0 0 ( 4 ) ( 4 )y k y ky y y y kk 20 1 2 0 1 2124 0 0 4 ( ) 1 6y k k y k kkk 220 0 1 2124 0 0 1 6 6400y y k kkk . 所以，当 P在直线 4x 上运动时， 四点
42、 A， B， C， D 的纵坐标之积为定值 6400. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想 方法 .第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到 , , ,ABCD 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想 . 22.（本小题满分 13 分） 已知函数 ()fx= axex，其中 a 0.来源 :zz#s& （ 1） 若对一切 x R， ()fx 1 恒成立，求 a 的取值 集合 . （ 2）在函数 ()fx的图像上取定两点 11( , ( )A x f
43、 x ， 22( , ( )B x f x 12()xx ，记直线 AB的斜率为 K， 问：是否存在 x0（ x1， x2），使 0()f x k 成立？若存在，求 0x 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 【解析】（）若 0a ，则对一切 0x ， ()fx 1axex ，这与题设矛盾，又 0a ， 故 0a . 而 ( ) 1,axf x ae 令 11( ) 0 , ln .f x x aa 得 当 11lnx aa 时， ( ) 0, ( )f x f x 单调递减；当 11lnx aa 时， ( ) 0, ( )f x f x 单调递增，故当 11lnx aa 时， ()fx取最小值 1 1 1 1 1( ln ) ln .f a a a a a 于是对一切 , ( ) 1x R f x恒成立，当且仅当 1 1 1ln 1a a a. 令 ( ) ln ,g t t t t 则 ( ) ln .g t t 当 01t 时， ( ) 0, ( )g t g t 单调递增；当 1t 时， ( ) 0, ( )g t g t 单调递减 . 故当 1t 时， ()gt 取最大值 (1) 1g .因此，当且仅当 1 1a 即 1a 时，式成立 . 综上所述， a 的取值集合
