1、； 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科）试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设函数2,0,() ( ) 4,0.xxfx fxx=若 ,则实数 = A -4 或 -2 B -4 或 2 C -2 或 4 D -2 或 2 2把复数 z 的共轭复数记作 z ， i 为虚数单位，若 1,(1 )zi zz= +r则 = A 3-i B 3+i C 1+3i D 3 3若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 4下列命题中错误的是 A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于
2、平面 B如果平面不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l ，那么 l 平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 5设实数 ,xy满足不等式组250270,0xyxyx+ ，y0，若 ,xy为整数，则 34x y+ 的最小值是 A 14 B 16 C 17 D 19 6若 02 ， 02- ，1cos( )43+ = ，3cos( )42 3=，则 cos( )2 += A33B33 C539D69 7若 ,ab为实数，则“ 01mab ”是11abba或 的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充
3、分也不必要条件 8已知椭圆221 22:1(0)xyCabab+= 与双曲线221:14yCx = 有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于 ,A B两点，若1C 恰好将线段 AB 三等分，则 A2132a = B213a = C212b = D22b = 9有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率 A15B25C35D4510设 a， b， c 为实数， f（ x） =（ x+a）22(),()(1)(1)x bx c g x ax ax bx+ +=+记集合S= () 0
4、, , () 0, ,x fx xRT xgx xR= = =若 S ， T 分别为集合元素 S， T 的元素个数，则下列结论不可能的是 A S =1 且 T =0 B 1T=1S = 且 C S =2 且 T =2 DS =2 且 T =3 非选择题部分（共 100 分） 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分 11若函数2()f xxxa=+为偶函数，则实数 a = = 。 12若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 k 的值是 。 13设二项式（ x-ax）6（ a0）的展开式中 X 的系数为 A,常数项为 B， 若 B=4A，则 a 的值是 。 14若平面向量，满足 |
5、|=1， | | 1，且以向量，为邻边的 平行四边形的面积为12，则与的夹角 的取值范围是 。 15某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙丙公司面试的概率为 p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记 X 为该毕业生得到面试得公司个数。若1(0)12PX= = ，则随机变量 X 的数学期望 ()EX= 16设 ,x y为实数，若2241,xyxy+=则 2x y+ 的最大值是 。 17设12,FF分别为椭圆2213xy+=的左、右焦点，点 ,A B在椭圆上，若125FA FB=uuur uuuur;则点 A的坐标是 三、
6、解答题;本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本题满分 14 分）在 ABC 中，角 .ABC所对的边分别为 a,b,c 已知 ()sin sin sin ,ACpBpR+= 且214ac b= （）当5,14pb=时，求 ,ac的值； （）若角 B 为锐角，求 p 的取值范围； 19 （本题满分 14 分）已知公差不为 0 的等差数列 na 的首项1a 为 a（ aR ） ,设数列的前 n 项和为nS ，且11a，21a，41a成等比数列 （ 1）求数列 na 的通项公式及nS （ 2）记123111 1.nnASSS S=+，2122211 1 1.n
7、nBaaa a=+ + ，当 2n 时，试比较nA与nB 的大小 20 （本题满分 15 分） 如图，在三棱锥 PABC 中， ABAC= ， D 为 BC 的中点， PO平面 ABC，垂足 O落在线段 AD 上，已知 BC=8， PO=4， AO=3， OD=2 （）证明： AP BC； （）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A-MC-B 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。 21 （本题满分 15 分） 已知抛物线1C :3x y ，圆2C :22(4)1xy+ =的圆心为点 M （）求点 M 到抛物线1c 的准线的距离； （）已知点 P 是抛物线1c 上
8、一点（异于原点） ，过点 P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于 A，B 两点，若过 M， P 两点的直线 l垂直于 AB，求直线 l 的方程 22 （本题满分 14 分） 设函数 Raxaxxf = ,ln)()(2（ I）若 )(xfyex = 为 的极值点，求实数 a； （ II）求实数 a的取值范围，使得对任意的 3,0( ex ，恒有 )4(2exf 成立，注： e为自然对数的底数。 参考答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 BADDBCACBD 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。 11 0 12
9、5 13 2 145, 66 155316210517 (0, 1) 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。 18本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14分。 （ I）解：由题设并利用正弦定理，得5,41,4acac+ =解得1, 1,41,1.4aacc=或 （ II）解：由余弦定理，2222cosbac acB=+ 222 2 22()22cos11cos ,2231cos ,22a c ac ac Bp bbbBpB=+ =+即因为230 cos 1, ( , 2)2Bp+L时 ， 即1111,12nn时 20本题主要考查空是点、线、面
10、位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。 方法一： （ I）证明：如图，以 O 为原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系 O xyz 则 (0,0,0), (0, 3,0), (4,2,0), ( 4,2,0), (0,0,4)OA BC P ， (0,3,4), ( 8,0,0)AP BC=uuuruur，由此可得 0AP BC =uuur uuur，所以 APBCuuur uuur，即 .APBC （ II）解：设 ,1, (0,3,4)PM PA PM = =uuuuruur uuuur则 BMBPPMBP P
11、A=+ =+uuuuruur uuuuruuruur(4,2,4) (0,3,4)(4,2 3,4 4)= + = ( 4,5,0), ( 8,0,0)AC BC= =uuur uuur设平面 BMC 的法向量1111(, ,)nxyz=ur， 平面 APC 的法向量2nuur222(, ,)x yz= 由110,0,BM nBC n=uuuururuuur ur得11114(23)(44) 0,80,xyxx+ + =即11110,23(0,1, )2344,44xnzy=+= +=ur可取 由220,0.AP nAC n=uuuruuruuur uur即2222340,45 0,yzxy+
12、=+=得222225,4(5, 4, 3).3,4xynzy=uur可取 由12230, 4 3 0,44nn+= =ur uur得 解得25 = ，故 AM=3。 综上所述，存在点 M 符合题意， AM=3。 方法二： （ I）证明：由 AB=AC， D 是 BC 的中点，得 ADBC 又 PO 平面 ABC，得 .PO BC 因为 PO AD O=I ，所以 BC 平面 PAD， 故 .BCPA （ II）解：如图，在平面 PAB 内作 BMPA 于 M，连 CM， 由（ I）中知 APBC ，得 AP 平面 BMC， 又 AP平面 APC，所以平面 BMC平面 APC。 在222,41,
13、41.Rt ADB AB AD BD AB=+=中得 在222,Rt POD PD PO OD=+中 ， 在222,Rt PDB PB PD BD=+中 所以222236, PB=6.PB PO OD DB=+=得 在222Rt POA , 25, 5.PA AO OP PA=+=中得 又2221cos ,23PA PB ABBPAPA PB+= =从而 PM cos 2PB BPA=，所以 AM=PA-PM=3。 综上所述，存在点 M 符合题意， AM=3。 21本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。
14、 （ I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 1,4y = 所以圆心 M（ 0， 4）到准线的距离是17.4（ II）解：设22 200 11 22(, ),(, ),(, )Px x Ax x Bx x ， 则题意得00 120, 1,x xxx， 设过点 P 的圆 C2的切线方程为200()yx kxx= ， 即200ykxkx x= + 则2002|4|1,1kx xk+=+即22 2 220000(1) 2(4)(4)10xkxxkx+ +=， 设 PA， PB 的斜率为121 2,( )kkk k ，则12,kk是上述方程的两根，所以 2200 012 122( 4) ( 4) 1
15、,.11xx xkk kk += =将代入22 2000,yx x kxkx x=+=得 由于0x 是此方程的根， 故1102 20,x kxxkx= =，所以 222200 01212 12 0 0212 0 02( 4) 422,.1AB MPxx xxxkxxkx xkxx x x =+=+= =由 MPAB ，得2200 0022( 4) 4(2)(1)1AB MPxx xkk x= =， 解得2023,5x = 即点 P 的坐标为23 23(,)55 ， 所以直线 l的方程为3 1154.115yx= + 22本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时
16、考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分 14 分。 （ I）解：求导得2()()2()ln ()(2ln1).x aafx xa x xa xx x= + = + 因为 ()x efx= 是 的极值点， 所以 ()( )(3 )0,afe eae= = 解得 3aea e=或 经检验，符合题意， 所以 3.aea e=或 （ II）解：当 01x则 且23ln(3 )(3 ) 2ln(3 ) 1 2ln(3 ) 133eeeahe e eee+=+ 12(ln 3 ) 0.ln 3ee= 又 () (0, )hx +在 内单调递增 所以函数 () (0, )hx +在 内有唯
17、一零点， 记此零点为00 0,1 3,1 .x xexa 当0(,),()0;xxa fx 即0() (0, )f xx在 内单调递增，在0(,)x a 内单调递减， 在 (, )a + 内单调递增。 所以要使( 2() 4 1,3f xex e对 恒成立，只要 2200 022()( )ln 4,(1)(3 ) (3 ) ln(3 ) 4 ,(2)fx x a x efe ea e e = = 成立。 由000()2ln 1 0ahx xx=+=，知 0002ln ,axxx=+ （ 3） 将（ 3）代入（ 1）得23 2004ln 4.x xe 又01x ，注意到函数 )33ln 1,xx+在 内单调递增， 故01 x e。 再由（ 3）以及函数 2ln (1, )xxx+在 内单调递增，可得 13.ae 由（ 2）解得，2233.ln(3 ) ln(3 )eeeae+ 所以233.ln(3 )eeaee 综上， a 的取值范围是233.ln(3 )eeaee
