1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟第 I 卷至 2 页，第 II 卷 3 至 10 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效 3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 参考公式： 如果事件 AB，
2、 互斥，那么 球的表面积公式24SR= ()()()PA B PA PB+= + 球的体积公式343VR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 08Ux x= ， 的右焦点与抛物线28y x= 的焦点相同， 离心率为12，则此椭圆的方程为（ ） A22112 16xy+= B22116 12xy+ = C22148 64xy+ = D22164 48xy+= 8已知函数20()20xxfxxx+=+ ，则不等式2()f xx 的解集为（ ）
3、A 11 ， B 22 ， C 21 ， D 12 ， 9设5sin7a= ，2cos7b= ，2tan7c= ，则（ ） A abc ，若对于任意的 2x aa ， ，都有2yaa ， 满足方程 log log 3aaxy+=，这时 a 的取值的集合为（ ） A 12aa， 的最小正周期是2 （）求 的值； （）求函数 ()f x 的最大值，并且求使 ()f x 取得最大值的 x 的集合 18 （本小题满分 12 分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与 p ，且乙投球 2 次均未命中的概率为116 （）求乙投球的命中率 p ； （）求甲投球 2 次，至少命中
4、1 次的概率； （）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形已知 3AB = ， 2AD = ， 2PA = ，22PD = ， 60PAB =o （）证明 AD 平面 PAB ； （）求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小； （）求二面角 PBDA 的大小 20 （本小题满分 12 分） 已知数列 na 中，11a = ，22a = ，且11(1 )nnnaqaqa+ = + (2 0)nq， （）设1()nn nba an+=*N ，证明 nb 是等比数列； （）求数列 na 的通项
5、公式； （）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求 q 的值，并证明：对任意的 n*N ，na 是3na+与6na+的等差中项 21 （本小题满分 14 分） 设函数432() 2 ( )fx x ax x bx=+ + + R ，其中 abR， （）当103a = 时，讨论函数 ()f x 的单调性； （）若函数 ()f x 仅在 0x = 处有极值，求 a 的取值范围； （）若对于任意的 22a， ，不等式 () 1fx 在 11 ， 上恒成立，求 b 的取值范围 22 （本小题满分 14 分） 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是1(30)F ， ，一条渐近线的方程是 52 0xy=
6、 （）求双曲线 C 的方程； （） 若以 (0)kk 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M N， ， 且线段 MN 的ABC D P垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求 k 的取值范围 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 C 7 B 8 A 9 D 10 B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 24 分 11 10 12 10 13 12 14 82 1522(1)18xy+= 16 4
7、32 三、解答题 17本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数sin( )yA x =+的性质等基础知识，考查基本运算能力满分 12 分 （）解：1cos2() 2 sin2 12xf xx+=+ sin 2 cos 2 2xx =+ 2sin2 cos cos2 sin 244xx+2sin 2 24x=+ 由题设，函数 ()f x 的最小正周期是2，可得222 = ，所以 2 = （）解：由（）知， () 2sin4 24fx x=+ 当 4242x k+=+，即 ()16 2kxk=+ Z 时， sin 44x+取得最大值 1，所以函数()f x 的最大值是
8、 22+ ，此时 x 的集合为16 2kxx k =+ Z， 18本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分 （）解法一：设“甲投球一次命中”为事件 A ， “乙投球一次命中”为事件 B ，由题意得 221(1 ( ) (1 )16PB p=， 解得34p = 或54p = （舍去） ，所以乙投球的命中率为34 解法二：设“甲投球一次命中”为事件 A ， “乙投球一次命中”为事件 B ，由题意得 1()()16PBPB= ， 于是1()4PB= 或1()4PB= （舍去） ，故31()4pPB= = 所以乙投球的命中率为34
9、 （）解法一：由题设和（）知，1()2PA= ，1()2PA= 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为31( )4PAA =null 解法二：由题设和（）知，1()2PA= ，1()2PA= 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为123C ()() ()()4PAPA PAPA+ = （）解：由题设和（）知，1()2PA= ，1()2PA= ，3()4PB= ，1()4PB = 甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中 2 次，乙 2次均不中；甲 2 次均不中，乙中 2 次概率分别为 11223C ()()C ()()16PAPA PBPB= ， 1()
10、()64PAAPBB=nullnull ， 9()()64PAAPBB=nullnull 所以甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次的概率为 319116 64 64 32+= 19本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力满分 12 分 （） 证明： 在 PAD 中， 由题设 2PA = ， 2AD = ， 22PD = ， 可得222PA AD PD+=，于是 AD PA 在矩形 ABCD 中， AD AB ，又 PA AB A=I ，所以 AD 平面 PAB （）解：由题设， BCAD ，所以 PCB （或其补角）是异面直
11、线 PC 与 AD 所成的角 在 PAB 中，由余弦定理得 222cos 7PB PA AB PA AB PAB=+ =nullnull 由（）知 AD 平面 PAB ， PB 平面 PAB ， 所以 ADPB ，因而 BCPB ，于是 PBC 是直角三角形， 故7tan2PBPCBBC= 所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为7arctan2 A BC DP H E （）解：过点 P 作 PH AB 于 H ，过点 H 作 HE BD 于 E ，连结 PE 因为 AD 平面 PAB ， PH 平面 PAB ， 所以 AD PH 又 AD AB A=I ， 因而 PH 平面 ABCD
12、，故 HE 为 PE 在平面 ABCD 内的射影由三垂线定理可知， BDPE 从而 PEH 是二面角 PBDA的平面角 由题设可得， sin 60 3PH PA=onull ， cos 60 1AH PA=onull ， 2BHABAH=，2213BD AB AD=+=， 413ADHE BHBD=null 于是在 Rt PHE 中，39tan4PHPEHHE= 所以二面角 PBDA的大小为39arctan4 20本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 n 项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分 12 分 （）证明：由题设11(1 ) ( 2)nn
13、naqaqa+=+ ，得 11()nn nnaaqaa+= ， 即 12nnbqb n= ， 又1211baa=， 0q ，所以 nb 是首项为 1，公比为 q 的等比数列 （）解：由（） ， 211aa=， 32aa q=， 21(2)nnnaa q n= 将以上各式相加，得211(2)nnaa q q n=+所以当 2n 时， 111111.nnqqa qnq += =， 上式对 1n = 显然成立 （）解：由（） ，当 1q = 时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故 1q 由36 93aa aa=可得52 28qq qq=，由 0q 得 3611qq= ， 整理得32 3()
14、20qq+=，解得32q = 或31q = （舍去） 于是 32q = 另一方面， 21 133(1)11nn nnnqq qaa qqq+ += = ， 15 166(1 )11nn nnnqq qaa qqq+ += = 由可得 36nn n naa a an+= *N， 所以对任意的 n*N ，na 是3na+与6na+的等差中项 21本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力满分 14 分 （）解：32 2() 4 3 4 (4 3 4)fx x ax x xx ax =+ += + 当103a = 时， 2( ) (4
15、 10 4) 2 (2 1)( 2)fx xx x xx x =+= 令 () 0fx = ，解得10x = ，212x = ，32x = 当 x 变化时， ()f x ， ()f x 的变化情况如下表： x (0)， 0 102，12122，2 (2 )+，()f x 0 + 0 0 + ()f x 极小值 极大值 极小值 所以 ()f x 在102， ， (2 )+， 内是增函数，在 (0)， ，122， 内是减函数 （）解：2() (4 3 4)fx xx ax =+，显然 0x = 不是方程24340xax+ +=的根 为使 ()f x 仅在 0x = 处有极值，必须24340xax+
16、 恒成立，即有29640a= 解此不等式，得8833a 这时， (0)f b= 是唯一极值 因此满足条件的 a 的取值范围是8833， （）解：由条件 22a， 可知29640a=恒成立 当 0x 时， () 0fx 因此函数 ()f x 在 11 ， 上的最大值是 (1)f 与 (1)f 两者中的较大者 为使对任意的 22a， ，不等式 () 1fx 在 11 ， 上恒成立，当且仅当 (1) 1(1) 1ff，即22baba+，在 22a， 上恒成立 所以 4b ，因此满足条件的 b 的取值范围是( 4 ， 22本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点
17、等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力满分 14 分 （）解：设双曲线 C 的方程为22221( 0 0)xyabab = ， ，由题设得 2295.2abba +=，解得2245.ab =，所以双曲线 C 的方程为22145xy= （）解：设直线 l 的方程为 (0)ykxmk=+ ，点11()M xy， ，22()Nx y， 的坐标满足方程组 221.45ykxmxy=+=， 将式代入式，得22()145xkxm+=，整理得 22 2(5 4 ) 8 4 20 0kx kmx m= 此方程有两个不等实根，于是254 0k，且 222( 8 ) 4(5
18、4 )(4 20) 0km k m= + + 整理得 2254 0mk+ 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标00()x y， 满足 12024254xx kmxk+=，002554mykxmk=+= 从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 2251454 54mkmyxkk k= 此直线与 x 轴， y 轴的交点坐标分别为29054kmk， ，29054mk， 由题设可得 2219 9 8125 4 5 4 2km mkk=null 整理得 222(5 4 )kmk= ， 0k 将上式代入式得222(5 4 )54 0kkk+ ， 整理得 22(4 5)(4 5) 0kkk， 0k 解得502k 所以 k 的取值范围是55 550042 24 + UUU， ， ， ，
