1、绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（文史类） 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 祝考试顺利 注间事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效 . 3.填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效 . 4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交 . 一、选择题：本大题共
2、 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设 a=(1， 2), b=( 3,4),c=(3,2)，则 (a+2b) c= A. ( 15,12) B.0 C. 3 D. 11 2. 321(2 )2xx10的展开式中常数项是 A.210 B.1052C.14D. 105 3.若集合 1,2,3,4, 0 5, ,PQxxxR= 1212.ccaa+ ABxA 的形式，并指出()f x 的周期； （）求函数17() , 12fx在 上的最大值和最小值 17.（本小题满分 12 分） 已知函数322() 1f xxmxmx= +（ m
3、为常数，且 m0）有极大值 9. （）求 m 的值； （）若斜率为 5 的直线是曲线 ()yfx= 的切线，求此直线方程。 18.（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，平面1ABC侧面11.A ABB （）求证： ;ABBC （）若1AA AC a=，直 线 AC 与平面1ABC所成的角为 ，二面角1,.2ABCA +=的大小为 求证： 19.（本不题满分 12 分） 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分） ，这两栏的面积之和为 18000cm2，四周空白的宽度为 10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm，怎样确定
4、广告的高与宽的尺寸（单位： cm） ，能使矩形广告面积最小？ 20（本小题满分 13 分） 已知双曲线 )0,0(1:2222= babyaxC 的两个焦点为12( 2,0), (2,0), (3, 7)FF P 点 在双曲线 C 上 . （）求双曲线 C 的方程； （）记 O 为坐标原点，过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、 F， 若 OEF 的面积为 22,求直线 l 的方程 21.（本小题满分 14 分） 已知数列 an和 bn满足： a1= ， an+1= 432+ nan,bn=( 1)n(an 3n+21)，其中 为实数， n 为正整数。 （ I）证
5、明：对任意实数 ，数列 an不是等比数列； （ II）证明：当 18 nb 时，数列 是等比数列； （ III）设nS 为数列 nb 的前 n 项和，是否存在实数 ，使得对任意正整数 n，都有 12?nS 若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由 . 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类）试题参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算 .第小题 5 分，满分 50 分 . 1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，第小题 5 分，满分 25 分 . 11. 10 12. 30（或
6、6） 13. 2 14. 0.98 15.（ 3， 2） ， （ x 2）2（ y 3）2 16（或 x2 y2 4x 6y 3 0） 三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分 . 16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力 . （满分 12 分） 解： ( )f(x)=21sinx+23)4sin(2223)cos(sin2122cos1+=+=+ xxxx. 故 f(x)的周期为 2k k Z 且 k 0 . ( )由 x1217 ，得 35445+ x .因为 f(x)23)4sin(22+x 在 45, 上是减函数，在 1217,45 上是增函数
7、 . 故当 x=45时， f(x)有最小值223+；而 f( )= 2， f(1217 )466+ 2， 所以当 x= 时， f(x)有最大值 2. 17.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力 .（满分 12 分） 解： ( ) f(x) 3x2+2mx m2=(x+m)(3x m)=0,则 x= m 或 x=31m, 当 x 变化时， f(x)与 f(x)的变化情况如下表： x ( , m) m ( m, m31) m31(m31,+ ) f(x) + 0 0 + f (x) 极大值 极小值 从而可知，当 x= m 时，函数 f(x)取得极大值 9， 即 f( m) m3+
8、m3+m3+1=9, m 2. ( )由 ( )知， f(x)=x3+2x2 4x+1, 依题意知 f(x) 3x2 4x 4 5， x 1 或 x31. 又 f( 1) 6， f(31)2768， 所以切线方程为 y 6 5(x 1), 或 y2768 5(x31)， 即 5x y 1 0，或 135x 27y 23 0. 18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力 .（满分 12 分） ( )证明：如右图，过点 A 在平面 A1ABB1内作 AD A1B 于 D，则由平面 A1BC侧面 A1ABB1,且平面 A1BC侧面 A1ABB1
9、A1B， 得 AD平面 A1BC.又 BC 平面 A1BC 所以 AD BC. 因为三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱 , 则 AA1底面 ABC,所以 AA1 BC. 又 AA1 AD=A,从而 BC侧面 A1ABB1, 又 AB 侧面 A1ABB1， 故 AB BC. ( )证法 1：连接 CD,则由 ( )知 ACD 就是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角， ABA1就是二面角 A1 BC A 的平面角，即 ACD ， ABA1=. 于是在 Rt ADC 中， sin =aADACAD= ,在 Rt ADA1中， sin AA1DaADAAAD=1, sin =sin AA1D,
10、由于 与 AA1D 都是锐角，所以 AA1D. 又由 Rt A1AB 知， AA1D AA1B 2，故 2. 证法 2：由 ( )知，以点 B 为坐标原点，以 BC、 BA、 BB1所在的直线分别为 x 轴、 y轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 设 AB=c（ c a，则 B(0,0,0)， A(0,c,0)， C( 0,0,22ca ), A1(0,c,a)，于是 )0,0,(22caBC = ，1BA （ 0， c， a） , )0,(22ccaAC = ,1AA =(0,0,a) 设平面 A1BC 的一个法向量为 n=(x,y,z), 则由=+=.0,0,0,0221xca
11、azcyBCnBAn得 可取 n（ 0， a， c） ，于是 n AC =ac 0， AC 与 n 的夹角 为锐角 ,则 与 互为余角 . sin=cos=222222222)()0,(),0(|cacccacaccacaACnACn+=+=, cos= ,),0,0(),0(|222211cacacaacaBABABABA+=+=所以 sin=cos=sin( 2),又 0 ， 2，所以 +=2. 19.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问题的能力 .（满分 12 分） 解法 1：设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm，则 ab=9000. 广告的
12、高为 a+20，宽为 2b+25，其中 a 0， b 0. 广告的面积 S (a+20)(2b+25) 2ab+40b+25a+500 18500+25a+40b 18500+2 ba 4025 =18500+ .2450010002 =ab 当且仅当 25a 40b 时等号成立，此时 b= a85,代入式得 a=120，从而 b=75. 即当 a=120， b=75 时 ,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小 . 解法 2：设广告的高和宽分别为 x cm， y cm，则每栏的高和宽分别为 x 20， ,225y其中x 20， y
13、 25 两栏面积之和为 2(x 20) 18000225=y,由此得 y= ,252018000+x广告的面积 S=xy=x( 252018000+x) 252018000+xxx, 整理得 S= .18500)20(2520360000+xx因为 x 20 0，所以 S 2 .2450018500)20(2520360000=+xx当且仅当 )20(2520360000=xx时等号成立， 此时有 (x 20)2 14400(x 20)，解得 x=140，代入 y=2018000x+25,得 y 175， 即当 x=140， y 175 时， S 取得最小值 24500， 故当广告的高为 14
14、0 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小 . 20.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力 . （满分 13 分） ( )解法 1：依题意，由 a2+b2=4，得双曲线方程为 142222=ayax（ 0 a2 4)， 将点（ 3， 7 ）代入上式，得 147922=aa.解得 a2=18（舍去）或 a2 2， 故所求双曲线方程为 .12222=yx解法 2：依题意得，双曲线的半焦距 c=2. 2a=|PF1| |PF2|= ,22)7()23()7()23(2222=+
15、 a2=2， b2=c2 a2=2. 双曲线 C 的方程为 .12222=yx( )解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 y=kx+2，代入双曲线 C 的方程并整理， 得 (1 k2)x2 4kx 6=0. 直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、 F, +=,33,10)1(64)4(,01222， kkkkk k ( 1,3 ) (-1,1) (1, 3 ). 设 E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得 x1+x2= ,16,142212kxxkk=于是 |EF|=2212221221)(1()()( xxkyyxx +=+ =|1|32214)(1222212212kkk
16、xxxxk+=+ 而原点 O 到直线 l 的距离 d212k+, SOEF= .|1|322|1|32211221|21222222kkkkkkEFd=+= 若 SOEF 22 ，即 ,0222|1|3222422=kkkk解得 k= 2 , 满足 .故满足条件的直线 l 有两条，其方程分别为 y= 22 +x 和 .22 += xy 解法 2：依题意，可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理， 得 (1 k2)x2 4kx 6 0. 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、 F， +=.33,10)1(64)4(,01222， kkkkk k ( 1,3 )
17、(-1,1) (1, 3 ). 设 E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得 |x1 x2|1|322|1|4)(22221221kkkxxxx=+ . 当 E、 F 在同一支上时（如图 1 所示） ， SOEF |SOQF SOQE|= |21|212121xxOQxxOQ = ； 当 E、 F 在不同支上时（如图 2 所示） ， SOEF SOQF SOQE .|21|)|(|212121xxOQxxOQ =+ 综上得 SOEF |2121xxOQ ，于是 由 |OQ| 2 及式，得 SOEF|1|32222kk. 若 SOEF 2 2 ，即0222|1|3222422=kkkk,解得
18、 k= 2 ,满足 . 故满足条件的直线 l 有两条，其方程分别为 y= 22 +x 和 y= .22 + 21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力 .（满分 14 分） ( )证明：假设存在一个实数 ，使 an是等比数列，则有2122aaa = ,即 （233 ）2=44499 2 2449 4 90,9 += =矛盾 . 所以 an不是等比数列 . （）证明：11112( 1) 3 1 21 ( 1) ( 2 14)3nnna nban an+= + + = +=nnnbna32)213()1(32=+ 又118, ( 18) 0.b = + 由上式知120, ( ),3nnnnbbnNb+ = 故当 18, 时， 数列 bn是以 （ +18） 为首项，23 为公比的等比数列 . （）当 18 时， 由（）得12(18)(),3nnb = + 于是 32(18)1(),53nnS = + 当 18 = 时， 0nb = ，从而 0.nS = 上式仍成立 . 要使对任意正整数 n , 都有 12.nS 即32 20( 18) 1 ( ) 12 18.2531( )3nn+ 的取值范围为 (,6).
