1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 文科数学 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 2|0Axxx=，则yx的取值范围是（ ） (0,2) (0,2 (2, )+ 2, )+ 11如果函数 ()yfx= 的图像如右图 ,那么导函数 ( )yfx= 的图像可能是（ ） 12 双曲线22221( 0, 0)xyabab=的两个焦点为12,FF，若 P 为其上一点，且12|2|PF PF= ，则双曲线离心率的取值范围为（ ） (1, 3) (1, 3 (3, )+ 3
2、, )+ 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在答题卡的相应位置 13. 91()xx+ 展开式中3x 的系数是 （用数字作答） 14.若直线 34 0xym+=与圆222440xy xy+ +=没有公共点，则实数 m 的取值范围是 15.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 16.设 P 是一个数集， 且至少含有两个数， 若对任意 ,ab P ， 都有 ,aababab Pb+ （除数 0b ） ，则称 P 是一个数域。例如有理数集 Q 是数域，有下列命题： 数域必含有 0，1 两个数； 整数集是
3、数域； 若有理数集 QM ，则数集 M 必为数域； 数域必为无限域。 其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 已知向量 (sin ,cos ), (1, 2),mAAn=ur r且 0mn =urr。 （ 1）求 tan A 的值； （ 2）求函数 ( ) cos 2 tan sin ( )f xxAxR=+ 的值域。 18. （本小题满分 12 分） 三人独立破译同一份密码，已知三人各自译出密码的概率分别为111,543，且他们是否破译出密码互不影响。 （ 1
4、）求恰有二人破译出密码的概率； （ 2） “密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由。 19. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD,侧棱PA=PD= 2 ，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC AD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点。 （ 1）求证： PO平面 ABCD; （ 2）求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值； （ 3）求点 A 到平面 PCD 的距离 20. （本小题满分 12 分） 已知 na 是正整数组成的数列，11a = ，且点*1(,)( )nnaa n N+ 在函数21yx=+的图
5、像上： （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）若数列 nb 满足111, 2nannbbb+=+，求证：221nn nbb b+ +0，求函数 ()yfx= 在区间 (1,1)aa + 内的极值。 22. （本小题满分 14 分） 如图，椭圆 C:22221( 0)xyabab+=的一个焦点为 F（ 1， 0）且过点（ 2， 0） 。 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若 AB 为垂直与 x 轴的动弦，直线 l:x=4 与 x 轴交于 N，直线 AF 与 BN 交于点M. 求证：点 M 恒在椭圆 C 上； 求AMN 面积的最大值。 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
6、文科数学参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 1 A 2 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 A 9 A 10 D 11 A 12 B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分 13. 84 14. (,0)(10,) +U 15. 9 16. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力。满分 12 分。 解： （ 1）由题意得 sin 2cos 0mn A
7、 A= =ur r, 因为 cosA 0，所以 tanA=2 （ 2）由（ 1）知 tanA=2 得 213() cos2 2sin 2(sin )22fx x x x=+=+ ,sin 1,1xR x Q 当1sin2x = ， ()f x 有最大值32； 当 sin 1x = ， ()f x 有最小值 3 。 所以所求函数 ()f x 的值域为33, 2 18.解：记“第 i 个人破译出密码”为事件 (1,2,3)iAi= ，依题意有 123111() ,() ,()543PA PA PA=且 A1， A2， A3相互独立。 （ 1） 设“恰好二人破译出密码”为事件 B,则有： B A1
8、A23A A12A A3+1A A2 A3且 A1 A23A ， A12A A3，1A A2 A3彼此互斥 于是 P(B)=P(A1 A23A )+P（ A12A A3） +P（1A A2 A3） 314154314351324151+ 203. （ 2）设“密码被破译”为事件 C， “密码未被破译”为事件 D，则有： D1A 2A 3A ，且1A ，2A ，3A 互相独立，则有 P（ D） P（1A ） P（2A ） P（3A ）324354 52. 而 P（ C） 1-P（ D）53，故 P（ C） P（ D） . 所以密码被破译的概率比密码未被破译的概率大 19.解： 解法一： （）证明
9、：在 PA D 中 PA PD， O 为 AD 中点，所以 PO AD. 又侧面 PA D底面 ABCD，平面 PA D平面 ABCD AD， PO 平面 PA D， 所以 PO平面 ABCD. （）连结 BO，在直角梯形 ABCD 中， BC AD, AD=2AB=2BC， 有 OD BC 且 OD BC，所以四边形 OBCD 是平行四边形， 所以 OB DC. 由（）知 PO OB， PBO 为锐角， 所以 PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角 . 因为 AD 2AB 2BC 2，在 Rt AOB 中， AB 1， AO 1，所以 OB 2 ， 在 Rt POA 中，因为 AP 2
10、 ， AO 1，所以 OP 1， 在 Rt PBO 中， PB 322=+OBOP , cos PBO=3632=PBOB, 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为36. ( )由（）得 CD OB 2 ， 在 Rt POC 中， PC 222=+OPOC ， 所以 PC CD DP， SPCD=43 2=23. 又 S = ,121= ABAD 设点 A 到平面 PCD 的距离 h， 由 VP-ACD=VA-PCD， 得31SACD OP31SPCD h， 即31 1 13123 h， 解得 h332. 解法二： （）同解法一， （）以 O 为坐标原点， OPODOC 、 的方向分
11、别为x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 A（ 0， -1， 0） ， B（ 1， -1， 0） ， C（ 1， 0， 0） ， D（ 0， 1， 0） ， P（ 0， 0， 1） . 所以 CD （ -1， 1， 0） ， PB （ t， -1， -1） ， cos PB 、 CD =362311CDPBCDPB， 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为36， （）设平面 PCD 的法向量为 n（ x0,y0,x0） ， 由（）知 CP =（ -1， 0， 1） ， CD （ -1， 1， 0） ， 则 n CP 0，所以 -x0+ z0=0,n
12、 CD 0， -x0+ y0=0，即 x0=y0=z0, 取 x0=1，得平面的一个法向量为 n=(1,1,1). 又 AC =(1,1,0). 从而点 A 到平面 PCD 的距离 d .33232=nnAC20.解： 解法一： （）由已知得 an+1=an+1、即 an+1-an=1，又 a1=1, 所以数列 an是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列 . 故 an=1+(a-1) 1=n. ( )由（）知： an=n 从而 bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ +（ b2-b1） +b1=2n-1+2n-2+ +2+1 2121n=2n-1. 因为
13、bn bn+2-b21+n=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2 =(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1) =-5 2n+4 2n =-2n 0, 所以 bn bn+2 b21+n, 解法二： （）同解法一 . （）因为 b2=1, bn bn+2- b21+n=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b21+n=2n+1 bn-1-2n bn+1-2n 2n+1 2n（ bn+1-2n+1） =2n（ bn+2n-2n+1） =2n（ bn-2n） = =2n（ b1-2） =-2n 0， 所以 bn-bn+2得 x2 或 x0, 故 f(x)的
14、单调递增区间是（， 0） ， （ 2，） ； 由 f (x)0 得 0x2, 故 f(x)的单调递减区间是（ 0， 2） . ( )由（）得 f (x) 3x(x-2), 令 f (x) 0 得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时， f (x)、 f(x)的变化情况如下表： X (- .0) 0 (0,2) 2 (2,+ ) f (x) + 0 0 f(x) 极大值 极小值 由此可得： 当 0a1 时， f(x)在（ a-1,a+1）内有极大值 f(O)=-2,无极小值； 当 a=1 时， f(x)在（ a-1,a+1）内无极值； 当 1a3 时， f(x)在（ a-1,a+1）内有极小值
15、f(2) 6，无极大值； 当 a 3 时， f(x)在（ a-1,a+1）内无极值 . 综上得：当 0a1 时， f(x)有极大值 2，无极小值，当 1a3 时， f(x)有极小值 6，无极大值；当 a=1 或 a 3 时， f(x)无极值 . 22.解： （ 1）由题设 a=2,c=1,从而：2223,bac= =所以椭圆 C 的方程为：22143xy+= （ 2） (i)由题意得 F(1,0),N(4,0). 设 A(m,n),则 B(m,-n)(n 0),3422nm+ =1. AF 与 BN 的方程分别为： n(x-1)-(m-1)y=0， n(x-4)-(m-4)y=0. 设 M(x
16、0,y0),则有 n(x0-1)-(m-1)y0=0, n(x0-4)+(m-4)y0=0, 由，得 x0=523,52850=mnymm. 所以点 M 恒在椭圆 G 上 . ( )设 AM 的方程为 x=ty+1,代入3422yx+ 1 得（ 3t2+4） y2+6ty-9=0. 设 A(x1,y1),M（ x2， y2） ，则有： y1+y2= .439,4362212+=+tyyxx|y1-y2|= .4333344)(2221221+=+ttyyyy 令 3t2+4= ( 4),则 1)52(4936)85()52(412)85()52(3)52(4)85()52(3)52(4)85(
17、34222222222222222020=+=+=+=+=+mmmmnmmnmmmnmmyx由于|y1-y2| ，）（）（4121134113413432因为 4， 0 时，即所以当 04411,411=t|y1-y2|有最大值 3，此时 AM 过点 F. AMN 的面积 SAMN= .292323y212121有最大值yyyyyFN = 解法二： （）同解法一： （） （）由题意得 F(1,0),N(4,0). 设 A(m,n),则 B(m,-n)(n 0), .13422=+nm AF 与 BN 的方程分别为： n(x-1)-(m-1)y=0, n(x-4)-(m-4)y=0, 由，得：当 x523,528525=xynxxm时， . 由代入，得3422yx+ =1（ y 0） . 当 x=52时，由，得：3(1)023(4)0,2nm ynm y=+=解得0,0,ny=与 a 0 矛盾 . 所以点 M 的轨迹方程为221( 0),43xxy+=即点 M 恒在锥圆 C 上 . （）同解法一 .
