1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（供文科考生使用） 第卷（选择题 共 60 分） 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4R2如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P(AB)=P(A) P(B) 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 V=43R3 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径
2、 Pn(k)=CknPk(1-p)n-k(k=0,1,2,n) () (1 ) ( 012 )kk nknnPk CP p k n=L， ， ， 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 31Mx x= B zyx C yxz D zxy 5已知四边形 ABCD的三个顶点 (0 2)A ， ， (1 2)B ， ， (31)C ， ，且 2BCAD=uuur uuur，则顶点D 的坐标为（ ） A722， B122， C (3 2)， D (1 3)， 6设 P 为曲线 C：223y
3、xx=+上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为04， ，则点 P 横坐标的取值范围为（ ） A112， B 10 ， C 01， D112 ， 7 4 张卡片上分别写有数字 1， 2， 3， 4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A13B12C23D348将函数 21xy =+的图象按向量 a 平移得到函数12xy+= 的图象，则（ ） A (1 1)=，a B (1 1)=，a C (1 1)= ，a D (11)=，a 9已知变量 x y， 满足约束条件1031010yxyxyx+，则 2zxy= + 的最大值为（ ）
4、 A 4 B 2 C 1 D 4 10一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有（ ） A 24 种 B 36 种 C 48 种 D 72 种 11已知双曲线22291(0)ymx m=的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则 m =（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 12在正方体111 1ABCD A B C D 中， EF， 分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11AD， EF ， CD都相交
5、的直线（ ） A不存在 B有且只有两条 C有且只有三条 D有无数条 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13函数21()xye x+= ，求 b 的取值范围 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供文科考生使用）试题 参考答案和评分参考 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，共 60 分 1 D 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 C 8 A 9 B 10 B 11 D 12 D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分 131(ln 1)( 0)2yxx= 1432
6、15 35 16 3 三、解答题 17本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力满分 12 分 解： （）由余弦定理得，224abab+=， 又因为 ABC 的面积等于 3 ，所以1sin 32ab C = ，得 4ab = 4 分 联立方程组2244ababab +=，解得 2a = ， 2b = 6 分 （）由正弦定理，已知条件化为 2ba= ， 8 分 联立方程组2242ababba +=，解得233a = ，433b = 所以 ABC 的面积123sin23SabC= 12 分 18本小题主要考查频率、概率等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分12 分 解：
7、 （）周销售量为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2， 0.5 和 0.3 4 分 （）由题意知一周的销售量为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2， 0.5 和 0.3，故所求的概率为 （）411 0.7 0.7599P = = 8 分 （）334240.5 0.3 0.3 0.0621PC= + = 12 分 19本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力满分 12 分 解法一： （）证明：在正方体中， ADAD ， ADAB ，又由已知可得 PF A D ， PH AD ， PQ AB ， 所以 PH PF ， PH
8、 PQ ， 所以 PH 平面 PQEF 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分 （）证明：由（）知 22PF AP PH PA=， ，又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形，且 PQ=1，所以截面PQEF 和截面 PQGH 面积之和是 (2 2 ) 2AP PA PQ+=，是定值 8 分 （）解：设 AD交 PF 于点 N ，连结 EN ， 因为 AD平面 PQEF ， 所以 DEN 为 DE 与平面 PQEF 所成的角 因为12b = ，所以 PQEF， 分别为 AA， BB， BC ， AD 的中点 可知324DN = ，32DE = 所以3224sin322DEN
9、= 12 分 解法二： 以 D 为原点，射线 DA， DC， DD分别为 x， y， z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D xyz由已知得 1DF b=，故 (1 0 0)A ， ， ， (1 0 1)A ， ， ， (000)D ， ， ， (0 0 1)D ， ， ， (1 0 )Pb， ， ， (1 1 )Qb， ， ， (1 1 0)Eb ， ， ， (1 0 0)Fb ， ， ， (11)Gb， ， ， (01)Hb， ， （）证明：在所建立的坐标系中，可得 (0 1 0) ( 0 )PQ PF b b=uuur uuur， ， ， ， ， (101)PH b b= uuur，
10、， ， (101) (10 1)AD A D= = uuuur uuuur， ， ， ， 因为 00AD PQ AD PF=uuuur uuur uuuur uuurnullnull， ，所以 ADuuuur是平面 PQEF 的法向量 因为 00AD PQ AD PH=uuuur uuur uuuur uuurnullnull， ，所以 A Duuuur是平面 PQGH 的法向量 AB C DE FP Q HAB C Dy xzG A BCD EF P QH A BCD GN 因为 0AD A D=uuuur uuuurnull ，所以 A DADuuuur uuuur， 所以平面 PQEF
11、和平面 PQGH 互相垂直 4 分 （）证明：因为 (0 1 0)EF =uuur， ，所以 EFPQEFPQuuuur uuuuruuuruur，= ，又 PF PQuuur uuur，所以 PQEF为矩形，同理 PQGH 为矩形 在所建立的坐标系中可求得 2(1 )PH b=uuuur， 2PF b=uuuur， 所以 2PH PF+=uuuur uuuur，又 1PQ =uuuur， 所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 2 ，是定值 8 分 （）解：由（）知 (101)AD=uuuur， ， 是平面 PQEF 的法向量 由 P 为 AA中点可知， QEF， 分别为 BB，
12、BC ， AD 的中点 所以1102E， ， ，1112DE =uuuur， ， ，因此 DE 与平面 PQEF 所成角的正弦值等于 2|cos |2AD D E ，nb 的公比为22(0)qq ，则 11 1 21110nnnnnnnnnncbabaqcabba q+ += =nullnull ，故nc 为等比数列 5 分 （）数列 lnna 和 lnnb 分别是公差为1ln q 和2ln q 的等差数列 由条件得1112(1)ln ln22(1)21ln ln2nnna qnnnnb q+=+，即 11122ln ( 1)ln2ln ( 1)ln 2 1an q nbn q n+=+ +
13、7 分 故对 1n = ， 2 ， 212 11 12 11(2ln ln ) (4ln ln 2ln ln ) (2ln ln ) 0qqn aq bqn aq+= 于是 1211 1 2112ln ln 04ln ln 2ln ln 02ln ln 0.qqaq bqaq= +=， 将12a = 代入得14q = ，216q = ，18b = 10 分 从而有11816424nnn nc=nullnull 所以数列nc 的前 n 项和为 2444 4 (4 1)3nn+= 12 分 21本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决
14、问题的能力满分 12 分 解： （）设 P（ x， y） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 (0 3) (0 3)， 为焦点，长半轴为 2 的椭圆它的短半轴222(3)1b = =， 故曲线 C 的方程为2214yx += 4 分 （）设11 2 2()( )Ax y Bx y， ， ，其坐标满足 22141.yxykx+=+，消去 y 并整理得22(4)230kxkx+ +=， 故12 12222344kxx xxkk+= =+， 6 分 OA OBuuur uuur，即12 120xx yy+ = 而212 12 1 2()1yy k xx k x x=+， 于是22 212 1
15、2 222 233 2 411444 4kk kxx yykkk k += +=+ + 所以12k = 时，12 120xx yy+=，故 OA OBuuur uuur 8 分 当12k = 时，12417xx+=m ，121217xx = 222221 21 21()( )(1)()ABxxyy kxx=+=+ uuuur， 而2221 21 12()()4x xxxx=+ 2322443413417 17 17=+ = ， 所以46517AB =uuuur 12 分 22本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力满分 14 分 解：22
16、() 3 2 3f xaxbxa =+ 2 分 （）当 1a = 时， 2() 3 2 3f xxbx =+； 由题意知12x x， 为方程23230xbx+=的两根，所以 2124363bxx+= 由122xx=，得 0b = 4 分 从而2() 3 1f xx x=+，2() 3 3 3( 1)( 1)fx x x x =+ 当 (11)x， 时， () 0fx 故 ()f x 在 (11) ， 单调递减，在 (1)， ， (1 )+， 单调递增 6 分 （）由式及题意知12x x， 为方程223230xbxa+ =的两根， 所以23124363baxxa+= 从而221229(1)x xbaa= ， 由上式及题设知 01a 8 分 考虑23() 9 9ga a a=， 22( ) 18 27 273ga a a aa = = 10 分 故 ()ga在203， 单调递增，在213， 单调递减，从而 ()ga在 (01， 的极大值为2433g= 又 ()ga在 (01， 上只有一个极值，所以2433g=为 ()ga在 (01， 上的最大值，且最小值为(1) 0g = 所以2403b， ，即 b 的取值范围为232333 ， 14 分
